专题01二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期沪科版

专题01二次函数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律二次函数的定义及一般形式能准确判断二次函数，明确其系数、自变量取值范围等基础必考点，常结合函数概念在小题中考查二次函数的图象与性质能根据二次函数表达式分析开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性核心考点，是二次函数应用的基础，各类题型均有涉及，需熟练掌握二次函数的表达式能根据不同已知条件（三点、顶点、与x轴交点），选择合适形式求二次函数解析式高频考点，常以解答题形式考查，需灵活运用三种表达式二次函数与一元二次方程的关系能利用二次函数图象与x轴的交点，分析一元二次方程的根的情况，反之亦然重要考点，常与方程、不等式综合，在中档题中考查二次函数的应用能运用二次函数解决实际问题中的最值、近似解等问题高频考点，多为实际应用类解答题，难度中等及以上，需结合实际意义分析知识点01二次函数的定义及一般形式1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．2、二次函数的结构特征（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.（2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（3）二次项系数不为0.3、二次函数的一般形式y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．4、二次函数的取值范围一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．知识点02二次函数的图象与性质二次函数y=ay=ax²+bx+c开口方向a>0 开口向上a<0 开口向下对称轴x=−ℎx=−顶点坐标−ℎ−最值a>0yya<0yy增减性a>0在对称轴左边，随着x的增大y减小，在对称轴右边，随着x增大y增大a<0在对称轴左边，随着x增大y增大，在对称轴右边，随着x的增大y减小知识点03二次函数的表达式有三种常见形式：①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法.顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法.交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）；知识点04二次函数与一元二次方程的关系1、当二次函数y＝ax2+bx+c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．判别式Δ=b2－4acΔ>0Δ＝0Δ＜0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根两个不相等的实数根x1，x2两个相等实数根x1=x2＝没有实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点有两个公共点有一个公共点没有公共点知识点05二次函数的应用1、二次函数的应用包括以下两个方面：(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．2、一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义；(5)作答.题型一根据二次函数的定义求参数解｜题｜技｜巧二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】故答案为：．A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1【答案】A答案：A．【答案】故答案为：．题型二待定系数法，求二次函数解析式解｜题｜技｜巧1.设合适的解析式形式2.代入已知点坐标，将已知点的坐标代入所设的解析式中，得到关于a、b、c（或仅a）的方程（组）。3.解方程（组）求系数，求解方程（组），确定a、b、c的值。4.写出解析式，将求出的系数代入所设解析式，得到二次函数的解析式。【典例1】求满足下列条件的二次函数的解析式：题型三y=ax2+bx+c的图象与性质解｜题｜技｜巧二次函数y=ay=ax²+bx+c开口方向a>0 开口向上a<0 开口向下对称轴x=−ℎx=−顶点坐标−ℎ−最值a>0yya<0yy增减性a>0在对称轴左边，随着x的增大y减小，在对称轴右边，随着x增大y增大a<0在对称轴左边，随着x增大y增大，在对称轴右边，随着x的增大y减小【答案】D综上：只有选项D正确；故选D．【答案】D故选：D．题型四二次函数图象与各项系数符号解｜题｜技｜巧1.判断a的符号。看抛物线的开口方向：开口向上，a>0；开口向下，a<0。2.判断b的符号。利用对称轴公式：结合a的符号，若对称轴在y轴左侧（x<0），则a、b同号；若在y轴右侧（x>0），则a、b异号；若在y轴上（x=0），则b=0。3.判断c的符号。看抛物线与y轴的交点：交点在y轴正半轴，c>0；在负半轴，c<0；在原点，c=0。4.判断b24ac的符号。看抛物线与x轴的交点个数：有两个交点，b24ac>0；有一个交点，b24ac=0；无交点，b24ac<0。5.判断a+b+c的符号。令x=1，看此时函数值y=a+b+c的符号，即抛物线在x=1处的纵坐标的符号。6.判断ab+c的符号。令x=1，看此时函数值y=ab+c的符号，即抛物线在x=1处的纵坐标的符号。【答案】B【详解】∵抛物线的开口向上，∵抛物线与y轴交于负半轴，故选：B．【答案】抛物线开口向上，故答案为：A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A∴抛物线开口向下，∴抛物线与轴有两个交点，与轴交于负半轴，抛物线的图象大致如下：由图象可得，抛物线不经过第一象限．故选：A．题型五一次函数、二次函数图象综合判断解｜题｜技｜巧1.先定一次函数关键信息，由一次函数y=kx+b（k≠0）的图象：直线上升则k>0，下降则k<0；与y轴交点在正半轴则b>0，负半轴则b<0，先确定k、b的符号。2.再定二次函数关键信息，由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：开口向上则a>0，向下则a<0；结合对称轴判断b的符号，结合与y轴交点判断c的符号。3.对比系数符号一致性，若两个函数含相同字母系数（如均有b），检查同一系数在两个函数中的符号是否一致，不一致的选项可排除。4.利用特殊点验证，取特殊x值（如x=0、x=1、x=1），计算两个函数在该点的函数值，对比图象中对应点的位置是否匹配，不匹配的排除。5.结合函数性质辅助判断，如二次函数的顶点、与x轴交点个数（b24ac符号），一次函数与坐标轴的交点位置，综合这些性质进一步筛选正确选项。A．B． C． D．【答案】D∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；故选：D．A．B．C． D．【答案】C故选：C．A． B．C． D．【答案】C结合选项可知，只有C选项符合题意；故选：C．题型六两个二次函数图象综合判断解｜题｜技｜巧1.先定系数符号：根据抛物线开口方向（向上→a>0，向下→a<0）、与y轴交点（上→c>0，下→c<0，原点→c=0）、对称轴位置（x=b/(2a)，结合a的符号判断b的正负），初步确定两个函数的a、b、c符号是否矛盾。2.再看特殊点值：代入x=1或x=1，计算y=a+b+c或y=abc的值，对比图像中该点的函数值正负，判断是否一致（如x=1时图像在x轴上方，则a+b+c>0）。3.对比对称轴与交点：若两个函数有公共点，联立方程看判别式（Δ=b²4ac）是否符合交点个数（Δ>0→2个交点，Δ=0→1个交点，Δ<0→无交点）；同时观察对称轴是否平行或位置关系，辅助验证系数合理性。4.排除法筛选选项：根据前3步得出的系数符号、特殊点值、交点情况，逐一排除与图像矛盾的选项，缩小范围直至确定正确答案。【典例1】如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】∵二次函数的图像为抛物线，∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，故选：B.【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式1】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，故选C．【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是()A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．故选D．题型七已知抛物线上对称的两点求对称轴解｜题｜技｜巧1.明确核心原理：抛物线上关于对称轴对称的两点，其连线与对称轴垂直，且对称轴过该连线的中点。2.提取两点坐标：设已知两点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，因两点对称，故y1=y2（纵坐标相等）。x…012…y…0…【答案】B故选：B．【答案】B故选：B．…0123……500…二次函数图象的对称轴是（

）【答案】D故选：D．题型八抛物线与x轴的交点问题解｜题｜技｜巧1.转化核心方程：抛物线与x轴交点的纵坐标为0，需将抛物线解析式（如y=ax²+bx+c）转化为一元二次方程ax²+bx+c=0，方程的解即为交点横坐标。2.用判别式定交点个数：通过计算判别式∆=b²4ac判断：∆=b²4ac>0：方程有两个不同实根，抛物线与x轴有2个交点；∆=b²4ac=0：方程有两个相等实根，抛物线与x轴有1个交点（即顶点在x轴上）；∆=b²4ac<0：方程无实根，抛物线与x轴无交点。3.求具体交点坐标：若∆=b²4ac≥，可通过因式分解法、求根公式或配方法求解方程，得到的x值与0组成的坐标（(x1,0)、(x2,0)）即为交点坐标。4.利用交点与系数关系（韦达定理）：若交点横坐标为x1、x2，则x1+x2=ba，x1x2=ca【答案】B故选：B．题型九根据二次函数图象确定相应方程根的情况解｜题｜技｜巧1.明确对应关系：二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点，其横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根，根的情况直接由交点个数决定。2.看交点个数定根的数量：图像与x轴有2个不同交点→方程有2个不相等的实数根；图像与x轴有1个交点（顶点在x轴上）→方程有2个相等的实数根；图像与x轴无交点→方程没有实数根。3.结合开口方向辅助验证：若图像开口向上（a>0）且顶点纵坐标<0，或开口向下（a<0）且顶点纵坐标>0，必存在2个不同实根，可辅助快速判断。【典例1】根据下表对应值：x012340

【答案】B故选：B．题型十利用不等式求自变量或函数值的范围解｜题｜技｜巧明确不等式方向：根据题意确定是求“y>k”“y<k”（函数值范围）还是“ax²+bx+c>0”“ax²+bx+c<0”（自变量范围，k为常数）。2.结合图像找边界：先找到二次函数图像与直线y=k（或x轴，即y=0）的交点，这些交点的横坐标（或纵坐标）是不等式的“边界值”。3.根据开口方向定范围：若抛物线开口向上（a>0）：函数值y>k→对应图像在直线y=k上方的自变量范围，即“x<x1或x>x2”（x1<x2为交点横坐标）；函数值y<k→对应图像在直线y=k下方的自变量范围，即“x1<x<x2”。若抛物线开口向下（a<0）：函数值y>k→对应图像在直线y=k上方的自变量范围，即“x1<x<x2”；函数值y<k→对应图像在直线y=k下方的自变量范围，即“x<x1或x>x2”。4.确定端点是否包含：若不等式是“≥”或“≤”，范围需包含边界值；若为“>”“<”，则不包含边界（用“<”“>”）。对称轴为直线，∴抛物线开口向下，A． B．3 C． D．6【答案】B∴的最大值为，故选：B．【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题．【变式2】抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是．【答案】﹣1≤x≤3【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴y≥0时，x的取值范围为：﹣1≤x≤3，故答案是：﹣1≤x≤3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标．题型十一二次函数的应用解｜题｜技｜巧二次函数解应用题的一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义；(5)作答.【典例1】七月中旬正值青岛旅游旺季，青岛旅游纪念品深受大家喜爱．某公司销售一种纪念品，每件成本为50元，经过市场调查发现，该商品的日销售量(件)与销售单价(元)是一次函数关系，销售单价、日销售量的3组对应数值如下表：销售单价/元日销售量/件(1)求关于的函数表达式．（2）解：设公司销售该商品获得的日利润为元，顶点不在取值范围内．抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，(1)求b的值；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度．(3)小球飞行过程中这束红外线的最大长度为．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．（2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6，期中基础通关练（测试时间：10分钟）【答案】A故选：A．A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【详解】解：抛物线开口向上，抛物线与轴的交点在轴下方，③错误；故选：A．②求的最大值．(2)①证明见解析；②的最大值为4(1)求抛物线的解析式；抛物线开口向下，（3）解：点是抛物线上一点，其横坐标为，分种情况进行讨论，此方程无解；期中综合拓展练（测试时间：15分钟）【答案】A∴抛物线的