第二章一元二次方程（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

2/30第二章一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版】TOC\o"1-3"\h\u【培优篇】 7【题型1一元二次方程的相关概念】 7【题型2一元二次方程的一般解法】 8【题型3配方法的应用】 11【题型4根的判别式与一元二次方程根的情况】 15【题型5根的判别式与根与系数关系的综合】 17【题型6一元二次方程的实际应用】 21【拔尖篇】 25【题型7利用根与系数的关系求值】 25【题型8利用一元二次方程的根求取值范围】 27【题型9一元二次方程解决动点问题】 31【题型10一元二次方程与几何图形】 36知识点1一元二次方程的定义1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.例如：1x2+x=2，x2+1，知识点2一元二次方程的一般形式1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.3.一元二次方程的特殊形式.（1)当b=0时，得ax2+c=0(（2)当c=0时，得ax2+bx=0(（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(知识点3一元二次方程的解（根）1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：ax1知识点4直接开平方法解一元二次方程

1.非负数a的算术平方根为a，平方根为±a例如：144的算术平方根为144=12，平方根为±2.根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．例如x2=25，解得一般地，对于方程x2=p方程有两个不等的实数根x1=p=方程有两个相等的实数根xp<方程无实数根3.直接降次解一元二次方程的步骤(1)将方程化为x2=p或(（2)直接开平方化为两个一元一次方程；（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．知识点5配方法解一元二次方程1.解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为(x+a)2=2.配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)一般步骤方法实例(9y一移移项将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边9y二化二次项系数化为1方程左、右两边同时除以二次项系数y三配配方方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方y即(y−1)四开开平方利用平方根的意义直接开平方(y−1)=五解得出两个根移项，合并同类项y1=1+归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根．3.解题依据：(a±b)2=a2±2ab+b2，把公式中的a看作未知数知识点6一元二次方程根的判别式1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，通过配方可得一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=02.根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根3.应用（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．知识点7公式法解一元二次方程1.当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±∆>方程有两个不相等的实数根x=∆方程有两个相等的实数根x∆<方程无实数根2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；（2）求出∆=（3）若∆≥0，则将a，b，c的值代人求根公式x=−b±b2−4ac2a知识点8因式分解法解一元二次方程1.先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2.适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式3.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤一移使方程的右边为0二分将方程的左边因式分解三化将方程化为两个一元一次方程四解写出方程的两个解知识点9一元二次方程根与系数的关系1.由求根公式可得当∆≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1=例如：方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，2.一元二次方程根与系数的关系的应用（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．知识点10实际问题中常见的数量关系及表示方法

1.平均增长（降低）率问题设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为a(1+x)n=b，降低率公式为2.销售利润问题（1）利润=售价－进价；（2）利润率=利润进价（3）售价=进价×(1+（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．3.几何问题（1）面积公式：S长方形=ab，S正方形=a说明：①a，b分别为长方形的长、宽；②a为正方形的边长；③r为圆的半径；④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高．（2）体积公式：V长方体=abℎ，V正方体=a说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高；②a为正方体的棱长；③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高；④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高．4.传播问题传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．5.计数问题若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(n−1)场，比赛总场数为n(n−1)2场.双循环赛中每队比赛场数为2(n数字问题两位数十位数字个位数字10xy三位数百位数字十位数字个位数字100abc7.存款利息问题本息和=本金+利息；利息=本金×利率×存期．8.工程（行程）问题工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间．9.动点问题解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决．知识点2列一元二次方程解应用题的一般步骤可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤．（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；（2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量；（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；（4）解：解方程，求出未知数的值；（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；（6）答：写出答案（包括单位名称)．【培优篇】【题型1一元二次方程的相关概念】【例1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知a是方程x2−2x+1=0的解，则代数式2023−a2+2a的值为．【答案】2024【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得a2−2a+1=0，整理得到【详解】解：∵a是方程x2∴a2∴a2∴2023−a故答案为：2024．【变式1-1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）下列是一元二次方程的是（

）A．x2+3=1x B．x2−x=0【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可．【详解】解：A、该选项的方程含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、该选项有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意；C、该选项的方程是一元一次方程，故该选项不符合题意；D、该选项有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B．【变式1-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程4x−1=3x2化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为3时，一次项系数和常数项分别为（A．4，−1 B．4，1 C．−4，−1 D．−4，1【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可．【详解】解：将一元二次方程4x−1=3x2变形为：此时二次项系数为3，一次项系数为−4，常数项为1．故答案为：D．【变式1-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程a−2xa+3x−a=0是关于x的一元二次方程，则【答案】−2【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可．【详解】解：∵方程a−2xa+3x−a=0∴a=2且a−2≠0，则a=±2且a≠2∴a=−2，故答案为：−2．【题型2一元二次方程的一般解法】【例2】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x满足方程x2+x1−x2【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，令t=x2+x【详解】解：令t=x则原式为t1−t解得t1当x2+x=3时，当x2+x=−2时，∴x故答案为：3．【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程(1)x+5(2)x(3)x(4)3【答案】(1)x1=0(2)x1=0(3)x1=−3(4)x1=−1+【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤．（1）利用开平方根法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；（3）利用十字相乘法即可求解；（4）利用求根公式即可求解．【详解】（1）解：x+5x+5=±5∴x1=0，（2）解：xx∴x1=0，（3）解：xx+3∴x1=−3，（4）解：3∵a=3,b=6,c=−4，Δ=∴x=−b±∴x1=−1+21【变式2-2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于x的方程xx−1①两边同时除以x−1得x=3.②化简整理得x2−4x=−3，∵a=1，b=−4，c=−3，b2−4ac=28③整理得x2−4x=−3，配方得x2+4x+2=−1，∴x−22=−1，∴x−2=±1④移项得：(x−3)(x−1)=0，∴x−3=0或x−1=0，∴x1=1，A．① B．② C．④ D．③④【答案】C【分析】本题考查了解二元一次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可．【详解】解：A．①不符合解一元二次方程的方法，故①错误；B．c=3不是−3，故②错误；C．配方时，等式两边应该加4，故③错误；D．xx−1xx−1x−1x−3∴x−3=0或x−1=0，∴x1=1，故选：C．【变式2-3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径作弧与AC交于点F，以点C为圆心，CD为半径作弧与AC交于点E．设AB=a,AD=b，则方程x2A．AE的长 B．CF的长 C．EF的长 D．AC的长【答案】A【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．先算出方程x2+2ax=b2的正根为a2+b【详解】解：∵x∴x2∴(x+a)2∴x=−a±a∵a2∴方程x2+2ax=b∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，BC=AD=b，在Rt△ABD中，AB=a，AD=b由勾股定理得：AC=A由作图过程知AF=b，CE=a，∴AE=AC−CE=a∴方程x2+2ax=b故选：A．【题型3配方法的应用】【例3】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）王老师在讲完乘法公式(a±b)2=ax==因为(x+2)2≥0，所以当x=−2时，(x+2)所以(x+2)所以当(x+2)2=0时，(x+2)所以x2+4x+5依据上述方法，解决下列问题：(1)当x=______时，(x+5)2(2)多项式−x2−4x+18有最______((3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−2a=8b−17【答案】(1)−5，7(2)大，最值为22(3)9【分析】（1）根据题例解答方法解答即可；（2）把多项式转化为−x2−4x+18=−(x+2)2+22，进而由（3）由a2+b2−2a=8b−17得(a−1)本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【详解】（1）解：∵对于任意实数x都有(x+5)2∴当x=−5时，(x+5)2的最小值是0∴(x+5)2∴当x=−5时，(x+5)2+7有最小值是故答案为：−5；7；（2）解：−=−(x+2)∵对于任意实数x都有(x+2)2∴−(x+2)∴−x∴当x=−2时，多项式−x2−4x+18故答案为：大；（3）解：∵a∴a∴(a−1)∴a−1=0，b−4=0，∴a=1，b=4，∵c=4，∴△ABC的周长=1+4+4=9．【变式3-1】（2025·安徽六安·一模）已知x，y，z为实数，且y+z=5−4x+3xA．x<y≤z B．y<x≤z C．y≤z<x D．z<x≤y【答案】A【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出y=x2−x+2，z=2x2【详解】解：∵y+z=5−4x+3x解得y=x2−x+2∴y−x=x∴y>x；∵z−y=1−2x+x∴z≥y，∴x<y≤z，故选：A．【变式3-2】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足a+2b=4,a>0，则下列判断正确的是（

）A．a+b>2,a2+5a+2b<4C．a+b>2,a2+5a+2b>4【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方法的应用，由a+2b=4可得b=4−a2，可得a+b=a+4−a2=2a+4−a2=a+42.可得出a+42>【详解】解：由a+2b=4可得b=4−a∴a+b=a+∵a>0，∴a+4>4，∴a+4即a+b>2对所有a>0成立．将2b=4−a代入a2a∵a>0，∴a+2>2，∴(a+2)即a2+5a+2b>4对所有故选：C．【变式3-3】（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c，−x2+qx+c（其中二次多项式对二次多项式进行因式分解对二次多项式使用配方法2(2x+a)(x+b)2−(x+a)(−x+b)−（说明：a，b，m，n，k1，k有学生探究得到以下四个结论：①若p+q=12，则2m+6=n；②若p=q=2，则c=−83；③若有且只有一个x的值，使代数式2x2+px+c的值为0，则p−4q=0；④若m−n=2，则c的值不可能是−5【答案】①④/④①【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得p=a+2b,c=ab,q=b−a,m=−p【详解】解：∵2x(2x+a)(x+b)=2x−x(x+a)(−x+b)=−x∴p=a+2b,c=ab,q=b−a,m=−p①∵m=−p∴2m+6=2×−∵p+q=12，∴q=12−p，∴q2∴2m+6=n；故正确；②∵p=q=2，∴a+2b=2b−a=2解得：a=−2∴c=ab=−2③由题意可知：当2x∴Δ=∴a=2b，∴p=4b,q=−b，∴p−4q=4b−4×−b④当m−n=2，即−p∴p+2q=−8，∴a+2b+2b−a∴a=4b+8，∴c=ab=b4b+8∵4b+1∴c=4b+12−4≥−4，所以c综上所述：正确的结论有①④；故答案为①④．【题型4根的判别式与一元二次方程根的情况】【例4】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)已知2是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根．【答案】(1)见解析(2)k=−1，方程的另一个根为−1【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出k和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理）．（1）根的判别式应用：通过计算得：Δ=k2+8，利用平方数非负性，证明无论（2）方程根的定义与求解：已知根x=2，代入方程可求出k的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路．【详解】（1）证明：由题意得：a=1，则：Δ=∵无论k取何值，k2≥0，则∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．（2）解：将x=2代入方程可得4−2k+2+k−1=0，解得当k=−1时，原方程为x2−x−2=0，解得：即方程的另一个根为−1．【变式4-1】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）若关于x的一元二次方程2x2−4x−1+k=0有两个相等的实数根，则kA．6 B．4 C．2 D．3【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac=0，可得出【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x∴Δ解得：k=3，故选：D．【变式4-2】（2025·河南焦作·二模）定义运算：a※b=a2+ab−2b2，例如4※3=【答案】有两个不等实数根【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键．先利用新定义得到x+12【详解】解：∵x+1※2=0∴x+1即x2∵a=1,b=4,c=−5∴Δ∴方程x+1※2=0故答案为：有两个不等实数根．【变式4-3】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③【答案】B【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可．【详解】解：若a+b+c=0，则方程有一个根为x=1，则b2若方程ax2+c=0则：ax2+bx+c=0∴方程ax若c是方程ax2+bx+c=0当c≠0时，ac+b+1=0，故③错误；若x0是一元二次方程ax2∴2ax∴b2故选B．【题型5根的判别式与根与系数关系的综合】【例5】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程x2（1）该方程根的情况是（填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；（2）当m=1，2，3，⋯，【答案】两个不相等实根2025【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．（1）根据根的判别式即可进行判断；（2）根据根与系数的关系x1+x2=−ba【详解】解：（1）∵Δ=∴故该方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．（2）设方程x2+2x−m则x1+x∴1x∴1∴1=2×(=2×(1−=2×故答案为20251013【变式5-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根x1，x2，且满足A．−3或1 B．1 C．3或−1 D．−1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．根据一元二次方程根与系数的关系得到m2+2m−3=0，解得m1【详解】解：由根与系数关系可得x1+x代入x1x2即m解得：m1=−3∵原方程有实数根，∴Δ=解得m≥0.5因此m=−3不满足，舍去，综上，m=1，故选：B．【变式5-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1，x2，若xA．1 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=−ba，根据x2=2x1得到3此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值．【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根x1、x∴x1+x∵x2∴3x1=−∴x1∴2−∴2b∴3ac=2∴4b−3ac=4b−=−2∵−2∴当b=3时，4b−3ac有最大值6．故选：C．【变式5-3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x=m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当(1)关于x的代数式x2−6的不动值是(2)判断关于x的代数式2x(3)已知关于x的代数式ax①若此代数式仅有一个不动值，求a的值；②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值．【答案】(1)3或−2(2)关于x代数式2x(3)①a=−3；②正整数a的值为3．【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．（1）根据题意可得x2（2）根据可得只需要判断出方程2x（3）①根据题意可得关于x的一元二次方程ax②根据题意可得方程ax2+3−ax−3=0，设a由根与系数的关系得α+β=a−3a，αβ=−3【详解】（1）解：由题意得x2−6=x，则∴x+2x−3∴x+2=0或x−3=0，解得x=−2或x=3，∴关于x的代数式x2−6的不动值是3或故答案为：3或−2；（2）解：关于x代数式2x当2x2−x+1=x∴Δ=∴原方程无解，∴2x∴关于x代数式2x（3）解：①∵关于x的代数式ax∴关于x的一元二次方程ax∴关于x的一元二次方程ax∴Δ=整理得3+a解得a=−3；②由题意得ax2+设ax2+3−ax−3=0∴α+β=a−3a，由题意得α−β=2∴α2−2αβ+β∴a−3a整理得a2解得a=3或−1，∴正整数a的值为3．【题型6一元二次方程的实际应用】【例6】（24-25九年级下·重庆石柱·期中）一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是a元，每桶乙化工原料的进价是23a元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少10a%【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元(2)a的值为6【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的分式方程和一元二次方程是解题的关键．（1）设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为x−4元，根据花费800元采购甲化工原料的桶数是花费240元采购乙化工原料桶数的2倍．列出分式方程，求解并检验即可得到答案；（2）先求出第一次购买甲、乙化工原料的桶数，根据供应商第二次共获利368元，列出一元二次方程，解方程选取符合实际的值，即可得到答案．【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为x−4元，根据题意：800解得：x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，则x−4=6（元），答：每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元；（2）解：第一次购买甲化工原料800÷10=80（桶），第一次购买乙化工原料240÷6=40（桶），由题意得，10−a80−80×10a整理得：a2解得：a=6或a=24（舍去，不符合题意），答：a的值为6．【变式6-1】如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人感染．(1)平均每人每轮感染多少人？(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的a%，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求a【答案】(1)18人(2)50【分析】（1）设平均每人每轮感染x人，开始是1个人，则第一轮感染x人，第二轮感染xx+1人，根据经过两轮传播，共有361人感染，得出关于x（2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的a%可知，第三轮的传染人数为361×18×a%，根据第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍列出关于【详解】（1）.解：设平均每人每轮感染x人，根据题意得，1+x+xx+1解得x1=18，答：平均每人每轮感染18人；（2）依题意得：361+361×18⋅a%解得a=50，答：a的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键．【变式6-2】2025年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10)），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵【分析】（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，根据题意列出方程680x+100050−x（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(680−10m)元每棵，(1000−10m)元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m)=42400方程式求出满足条件m的值，即可得出答案．【详解】（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，根据题意，可得680x+100050−x解得，x=35．答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．（2）根据题意，可得(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m)=42400，整理得，30m解得：m1=2，∵m≤10，∴m=2，∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．【变式6-3】1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少124m小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快14m千米/小时，乙步行了【答案】(1)甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；(2)4．【分析】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，根据甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时．列出分式方程，解方程即可；（2）根据乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程．【详解】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，由题意得：5025x解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，∴25x=25×2=50，答：甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；（2）由（1）可知，甲开车的时间为50÷50=1小时)，则乙开车的时间为1−1由题意可知，乙开车的速度为50+m千米/小时，乙步行的速度为2+14m由题意得：50+m1−整理得：m2解得：m1=4，m2答：m的值为4．【拔尖篇】【题型7利用根与系数的关系求值】【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那么多项式m3【答案】2029【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，x1+x2=−ba，x1x【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2∴m+n=−1，mn=−3，m2+m−3=0∴m2∴1n=∴=4m−3+3n−mn+n+1+2032=4m+4n−mn−2+2032=4=4×=2029故答案为：2029．【变式7-1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，则m3【答案】−2【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；首先把m、n代入方程，可得m2=3−m，n2=3−n，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2∴m2+m−3=0，n∴m2=3−m∴m∴m=4m−3−4=4m−3−12+4n+17=4=4×=−2，故答案为：−2．【变式7-2】已知互不相等的三个实数a、b、c满足ca=−a−3，cb=−b−3，求【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由ca=﹣a﹣3得：a2+3a+c=由cb=﹣b﹣3得：b2+3b+c∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴a2c+b2c﹣9c=a2+故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知m，n，s，t为互不相等的实数，且m+sm+tA．−2 B．0 C．12 【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x1+x2=−ba和x1【详解】解：∵m+sm+t=2，∴m2+ms+t∵m，∴m和n可以看作方程x2∴mn=c∴mn−st=st−2−st=−2．故选A．【题型8利用一元二次方程的根求取值范围】【例8】若关于x的方程1−m2x2+2mx−1=0【答案】m>2或m=1/m=1或m>2【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．分1−m2=0【详解】解：当1−m2=0当m=1时，可得2x−1=0，解得：x=1当m=−1时，可得−2x−1=0，解得：x=−1当1−m2≠0时，∴x1∵关于x的方程1−m∴0<11+m<1，解得：m>0，0<−11−m综上可得，实数m的取值范围是m>2或m=1．故答案为：m>2或m=1．【变式8-1】（2025·福建三明·一模）已知方程x−2x2−4x+a=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数A．1<a<3 B．1<a<4C．3<a<4 D．2<a<3【答案】C【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为x=2，结合题意可得x2−4x+a=0方程有两个不相等的正实数根，且【详解】解：∵x−2x∴x−2=0或x2当x−2=0时，则x=2，当x2∴Δ=−42−4a>0，解得：a<4，∵方程x−2x∴x1∴x1∴0≤16−4a<4，解得：3<a≤4，综上：3<a<4，故选：C【变式8-2】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<【答案】−1<t<0【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，x1+x2=−a，x1x2=b【详解】解：由根和系数的关系可得，x1+x∴a=−x1+∴t=a+b=−x∵1<x∴0<x1−1<1∴0<x∴−1<x即−1<t<0，故答案为：−1<t<0．【变式8-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元二次方程x2−m+2x−3m−3=0在−2≤x≤2范围内有且只有一个根，则【答案】−35【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键．当Δ=m2+16m+16=0，解得m=−8+43；当Δ【详解】解：当一元二次方程x2−m+2则Δ=解得：m=−8±43此时x1∴−2≤m+2解得：−6≤m≤2，∴m=−8+43当一元二次方程x2−m+2Δ=解得：m>43−8，或当m>43−8时，∵x1设x2>x1，则∴22解得−3当m=−35时，原方程为：x2−75x−当m=5时，原方程为：x2−7x−18，解得，x1=−2，x2因此，−当m<−43−8时，∵x1∴x1不在−2≤x≤2∴22解得无解，∴m的取值范围为−35<m≤5故答案为：−35<m≤5【题型9一元二次方程解决动点问题】【例9】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为A．4+22sC．4+22s或4−22【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，AQ=CP=tcm，则CQ=AC−AQ=4−tcm，由勾股定理得到AB=5cm，则【详解】解：由题意得，AQ=CP=tcm∴CQ=AC−AQ=4−t在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则∴PQ=3在Rt△CPQ中，由勾股定理得P∴32解得t=4+22故选：C．【变式9-1】如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，当点(1)经过多长时间，MN长为22(2)经过多长时间，△AMN面积等于矩形面积的19【答案】(1)经过2秒或145(2)经过1秒或2秒．【分析】（1）设经过x秒，MN长为22，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出AD=BC=6cm，∠A=90°，根据勾股定理得到AN2+AM2=222（2）设经t秒，△AMN面积等于矩形面积的19，先用t表示出AN，AM【详解】（1）解：设经过x秒，MN长为22∵当点M到达点B时，两点同时停止运动，∴0≤x≤3，∵四边形ABCD是矩形，AB=3cm，BC=6∴AD=BC=6cm，∠A=90°∴AN∴AN∵动点M从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点∴经过x秒，AN=AD−DN=6−2x，AM=x，∴6−2x2∴x1=2，答：经过2秒或145秒，MN长为2（2）设经t秒，△AMN面积等于矩形面积的19∴AN=AD−DN=6−2t，AM=t，∵当点M到达点B时，两点同时停止运动，∴0≤t≤3，∵S△ANM∴12解得：t=1或t=2，答：经过1秒或2秒，△AMN面积等于矩形面积的19【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长．【变式9-2】（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点【答案】4或6【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键．设经过t秒后△AEF的面积恰为12cm2，过点F作FD⊥AB于点D，求出DF=1【详解】解：设经过时间为ts，过点F作FD⊥AB于点D∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=5∴AC=2BC=10，∵CF=t，∴AF=10−t，∴DF=1∴S△AEF∵S△AEF∴−1解得t=4或t=6，即经过4s或6s后，△AEF的面积恰为故答案为：4或6．【变式9-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，∠BAC=60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A−C方向运动，点Q以1cm/s的速度沿A−B−C的方向运动．当其中一点到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s，△APQ的面积为S1【答案】2【分析】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、动点问题的分类讨论以及一元二次方程的应用，解题的关键是分阶段确定点Q的运动位置，通过作高表示三角形的高，建立面积表达式后结合面积关系列方程求解．先根据矩形边长和∠BAC=60°求出BC的长及矩形面积S2,确定运动总时间范围；分点Q在AB上0≤t≤1和在BC上1<t≤2两种情况，分别过动点作高，利用直角三角形性质表示出△APQ的高；根据三角形面积公式得出S1【详解】∵AB=1cm，∠BAC=∴BC=3∴S2=3，当点P到达点C．即如图1、当点Q在AB上运动时，0≤t≤1，AP=tcm过点P作PM⊥AB于点M．∵∠PAQ=60∴PM=32∴∵S1解得t1如图2，当点Q在BC上运动时，1<t≤2．AP=t cm过点Q作QN⊥AC于点N．∵∠ACB=∴QN=12∴∵∴−解得t∵∴均不符合题意，舍去．综上所述，当S1=1故答案为22【题型10一元二次方程与几何图形】【例10】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形ABFE中，C是边BF上一点，且AB=BC，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转至点C与点E重合时停止，且点B的对应点D恰好落在AC上，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．已知GF=2，则EG=．【答案】2【分析】根据矩形的性质和旋转的性质证明△BCD≌△DEG，得到CD=EG，设CD=EG=x，则EF=AD=AB=BC=x+2，在Rt△ABC【详解】解：由题意，得AB=BC=AD=DE=EF，∴∠BAC=∠BCA=∠AED=45°，∴∠ABD=∠ADB=180°−45°∴∠GDE=180°−90°−67.5°=22.5°，∴∠DBC=∠GDE，∵∠DCB=∠GED=45°，在△BCD和△DEG中，∠GDE=∠DBC=22.5°BC=DE∴△BCD≌△DEGASA∴CD=EG，设CD=EG=x，则EF=EG+GF=x+2，∵EF=AD=AB=BC，∴AD=AB=BC=x+2，∴AC=x+2+x=2x+2，∵在Rt△ABC中，A∴2x+22解得：x=2∴EG=2故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质和判定、等边对等角、全等三角形的性质和判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【变式10-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC=DF+2，则线段AE的长度为．【答案】14【分析】由题意可得CF=EF，连接DE，过点D,C分别作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为点M,N，设DF=2x，AM=a，由DF⊥CE，得到DC=DE=DA=5，那么有三线合一可得AM=ME=a，则CF=EF=x+1，在Rt△DFC中，由勾股定理建立方程求出x=2，则CE=6，可得四边形DMNC为矩形，则由双勾股定理可得DE2−ME【详解】解：由题意得可得CF=EF，连接DE，过点D,C分别作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为点M,N，设DF=2x，AM=a，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=BC=AB=5，AD∥BC,CD∥AB，∵CF=EF，DF⊥CE，∴DC=DE=DA=5，∵DM⊥AB，∴AM=ME=a∵EC=DF+2=2x+2，∴CF=EF=x+1，在Rt△DFC中，由勾股定理得D∴2x2解得：x=2或x=−12∴CE=6，∵CD∥AB，DM⊥AB，CN⊥AB，∴∠DMN=∠N=∠NCD=90°，∴四边形DMNC为矩形，∴CD=MN=5，∴EN=5−a，∵D∴52解得：a=7∴AE=2a=14故答案为：145【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，正确构造辅助