2024-2025学年辽宁省大连市经济技术开发区第一中学高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年辽宁省大连市经济技术开发区第一中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题(★)1.抛物线的焦点到其准线的距离是（）

A．1B．2C．3D．4(★)2.在棱长为1的正方体中，（）

A．1B．C．D．2(★)3.方程表示的图形是（）

A．直线B．直线C．点D．直线和直线(★★★)4.已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（）

A．B．C．D．(★★★)5.“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★)6.已知直线恒过点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（）

A．B．C．D．(★★★)7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（）

A．B．C．D．(★★)8.设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（）

A．4B．C．2.D．二、多选题(★★★)9.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（）

A．的一个方向向量为B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为C．与直线垂直D．与直线平行(★★★)10.已知曲线，则（）

A．当时，则的焦点是，B．当时，则的渐近线方程为C．当表示双曲线时，则的取值范围为D．存在，使表示圆(★★)11.正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（）

A．直线与、与所成的角相等B．侧棱与底面所成角的正切值为C．该四棱锥的体积为D．该四棱锥的外接球的表面积为(★★)12.如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为（）

A．两个椭圆的离心率相等B．到，，，四点的距离之和为定值C．曲线关于直线，均对称D．曲线所围区域面积必小于36三、填空题(★)13.两圆和的公切线有______条．(★★)14.过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____．(★★)15.平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____．(★★★)16.如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标______.四、解答题(★★)17.已知直线l经过两直线：和：的交点．(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若点，到直线的距离相等，求直线的方程．(★★★)18.如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，(1)求C点到平面的距离.(2)求直线与平面所成的角的正弦值.(★★)19.已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线距离为，且抛物线的焦点与椭圆：的右焦点F重合，直线与椭圆相交于A，B两点，若.(1)求抛物线的标准方程；(2)求椭圆的标准方程.(★★★)20.如图，在四棱锥中，，，，.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.(★★★★)21.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.(★★★★)22.设圆的圆心为A，直线l过点B(1，0)，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线