2025-2026学年上海市延安中学高三上学期9月质量调研数学试题

2025-2026学年上海市延安中学高三上学期9月质量调研数学试题一、填空题(★)1.已知集合，，则_____．(★)2.不等式的解集是______．(★)3.已知，则______．(★)4.已知函数，则_______．(★)5.若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______.(★★)6.已知、，且是关于的方程的一个根，______．(★★)7.2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是___________．(★★)8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则______．(★★★)9.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.(★★)10.已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______．(★★★★)11.已知集合，是由函数，的图像上两两不同的点构成的点集．集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列，符合条件的点集的个数为________．(★★★★)12.若函数在定义域内的图像上的所有点均在直线的下方，则称函数为定义域内的“下界函数”.若函数为定义域内的“下界函数”，则的最大值减去的最小值等于________.二、单选题(★)13.是的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★)14.根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（）

A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8(★★★)15.正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（）

A．B．C．D．(★★★★)16.已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（）

A．B．C．D．三、解答题(★★)17.设的内角所对的边分别是，且向量与共线，(1)求；(2)若，，求边上的高.(★★)18.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；(2)求点B到平面PAD的距离.(★★★)19.暑期旅游期间，小明一家四口到西湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）．(1)小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的不同组合方式有多少种？(2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布和期望．(★★★★)20.已知双曲线的离心率为，且过点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知直线l经过点，①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程；②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值．(★★★★)21.已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”．(1)判断函数是否是的“2倍导函数”