正、余弦定理的综合应用-2026高三一轮复习讲与练

4.7正、余弦定理的综合应用

1.会利用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的最值、范围问题.

2.会利用正、余弦定理求解平面多边形、三角形的中线、高线、角平分线等问题.

俣键能力提升互动探究•考点精讲

考点1多边形中的解三角形问题

【例1】如图，四边形45co为梯形，4"CQ,/14=2CO=62,tan/l=,cosZADB

2

=1

O

(1)求cosN8OC的值；

(2)求8c的长.

【解】(1)因为tan/l=sin'=?,且sinM+cos?/^1,解得sinJ=cos4=".而

cos4233

I7?

cosN/O3=3,所以sin乙4DB=1—cos2ZADB=，所以cosN/180=cos(“一力一N408)

=cos(AIZADB)=(cosAcosZADBsinJsinZADB)=I^X2^2=\因

为AB〃CD,所以N8OC=//8D,所以cosNBOC=cos6.

9

(2)在中，由正弦定理得'°=AB，因为力4=62,所以8。="'sin"=

smAsinZADBsinNADB

33.在MBD中，由余弦定理得8C2=8。2+。02-ZBDCDcosZBDC=27+18-

2X33X32X6=33,所以AC=33.

9

,规律总结

平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理

求解.

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

【对点训练1】如图所示，在平行四边形力8CQ中，有ACcos/BAC=(24B—BC>

cosZ.ABC.

⑴求NN8C的大小；

(2)若4c=3,AC=7,求平行四边形力4C。的面积.

解：(1)由题意得力CeosZBAC=(2AB-BQcosNA3C,

由正弦定理得2sinZACBcosZABC=sinZBACcosZ/i^C+sinABCcosABAC,

A2sinAACBcosZABC=sin(ZBAC-^-ZABC)=s\n(n-ZACB)=s\nNACB,

乂/CBW(0,7c),

AsinN4CB于0,/.cosZABC=,

2

VZABC^(G,兀)，AZABC=\

(2)在平行四边形4%?。中，ZABC=\BC=3,AC=7,

在△48C中，由余弦定理得，AC2=AB2-^-BC2-2ABXBCcosZABC,即7=4¥+9—

2X/18X3X1

2

解得43=1或48=2,

当“8=1时，平行四边形ABCD的面积为S=2S^BC=2X；ABXBCsin：=

1333

2XX1X3X=；

222

当力8=2时,平行四边形ABCD的面积为S=2S^BC=2X1AB^BCsinn=

23

2X1x2X3X3=33

22

故平行四边形48C。的面积为3、3或33.

2

考点2三角形中的最值、范围问题

【例2】(2024•河北衡水一模)在。中，/BAC,NABC,N/C4所对的边分别

是。，b,c,三角形面积为S,若。为月C边上一点，满足力6_1_6。，BD=2,且标=-2385

-\~abcosZ.ACB.

(1)求4叱：

(2)求八的取值范围.

ADCD

【解】(1)・・・次=一/JS^abcosZACB,

3

ahsinZACB-\-abcosNACB,

3

即a=—sinZ.ACB-\~hcos/ACB,

由正弦定理得,

sinZBAC=—^sinZ.ABCsinZJCB+sinZABCcosZACB,

3

3

/.sin(Z.ABC~\~Z.ACB)=—sinN48csinN/C8+sinZ.ABCcos/ACB,

3

/.cosNABCsinNACB=-sinNABCsinNACB,

3

VsinZACB^O,AtanZABC=-3,

[t]0<ZABC<n,得/.48。=27c

3

(2)由(1)知，ZABC=2\,：ABLBD,

JIJI

:.ZABD=,NDBC=,

26

DCBD

在△5CO中，由正弦定理得

sinZDBC-sinNACB'

2sini

即DC=6=i,

sin/ACBs,nZACB

在RtAABD中，

sinZ.BACsinZ.BAC

2i21

+=ii=sinZ/?JC+sin/ACR.

ADCD21

sinZBACsinZACB

■:NABC=?T:.ZBAC+/ACB=n,

33

,7c-4C6

.2.1=sinZ5JC+sinZ.ACB=s\n[3,+sinZACB=sinHcosZ.ACB

TADCD3

N4C8+；)口2；］,

一cos'sinZJC5+sinN4C4=sinV(I<Z/4C5<K,

333

N/C8+H[3,1

sin3闫2

的取值范围为I2,।

・2+1

ADCD

规律总结

1.三角形中的最值、范围问题的解题策略

=s\n(ZBAC+ZABC),

.,.sin^BACsinZ/i5C+sinZ5JCcos/ABC

=sinZBACcosZJ5C+cosZBACsin/ABC,

AsinZBJCsinZABC=cosZB/1Csin又兀)，AsinZABOQ,

sinZ5JC=cosZ,BAC,/.tanZ.BAC=1»

又1CW((),兀)，・・・NB4C=:.

(2)根据余弦定理有«2=Z>2+c2—2Z>ccosABAC,

则有5=〃+2—26解得力=3或力=一I(舍去)，

如图，T。为8C的中点，

：,AD=X(前+充)，

2

f,1/一一一一112+9+2X2X3X2]17

.\/ir>2=(4"+/4C2+2N8/C)=x12)=,

444

Z./1D=17

2

规律总结

中线的相关结论

如图，在△力8c中，D是8c的中点，ABAC.NABC,N/8所对的边分别为a,b,

(1)向量形式：(记忆核心技巧,结论不用记忆)

核心技巧：2历=叁+企；

结论：AD2=\b2-\-c2-^~2bccosZ.BAC).

4

(2)角形式：

ZJD54-ZJDC=7r=>cosN力。8+COSN/4DC=0.

D/G+DB2fB2

在△力。6中，cosN408=

2DAXDB

在会中,c…C=”累/

命题角度2高线

【例4】(2024•山东枣庄一模)在△力4。中，ZBAC,ZABC,NHC4的对边分别为

a,b,c,且"=sin/8/Clan,"a

2c2

⑴求4C8；

(2)若a=8,b=5,€7/是边,49上的高，且昂=利己多〃无，求。

n

【解】(1)因为“=sinZ^Ctan/一，由正弦定理和同角三角函数的基本关系，得

2c

/n.Z.ACB

sinZBACsin

sinNBAC2，由倍角公式得sinABAC

2sinZACBZACBAACBZACB

cos4sin,cos

222

ZACH

sinZ.BACsin

2

ZACB

cos

2

[0,3,所以

ZACB

又因为力C,N4C8为△48C的内角，所以N历fC£(O,it),

2

sin/BAC#。,cosAACB

#0.

2

口./ACB1.NACB1耐1ANACB

所以sin?=sin=、，则1有=兀，所以N力。8=兀

2422263

(2)如图，由题意知。=8,b=5,ZACB=\CACB=\CA\\CB[CQSZACB=abcosNACB

-jr->

=5X8Xcos=20,CA?=b?=25,。52=〃2=64,

3

由题意知C〃_L4L所以4•行=0,即(加8+〃为)♦(S-S)=(m-n)(SC4)

—niCA2+nCB2=20(〃?一〃)-25m+64〃=0.

所以5m=44〃，所以J".

n5

」规律总结

高线的相关结论

⑴高的性质：hi,h2,心分别为△48C边a,b,。上的高，则hi："：/A」」：1=

abc

1•.1.•1・

sinAsinBsinC

(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度.

命题角度3角平分线

【例5】(2024•山东淄博一模)如图，在中，ZBAC=2n,NA4c的平分线交

3

BC于点P,AP=2.

BP

(1)若8C=8,求。的面积；

(2)若CP=4,求〃尸的长.

【解】。中，设/胡C,NABC,

N/1C3的对边分别为a,h,c,

在△力4C中，由余弦定理得BC2=AB2-\-AC2-2ABACCOSNCAB,

即64=c2+Z>2+/),c(l)«

因为Sj8c=SJBP+S^S所以:,丁=孑，整理得力。=28+2@1,

由①②解得加。=2+265,

所以SJBC=।besinNBAC='十1‘5

22

(2)因为彳尸=2,CP=4,ZPAC=\所以在△力PC中，由余弦定理，可得CP2=//+

AC2—2AP-AC-cos/CAP,

所以16=4+JC2-2JC,解得4C=1+13,

APPC

由正弦定理得

sinZ.ACBsinZ.CAP

24-5i-i

即/=H解得sinN4C8=所以cos/4C8=1-sin2ZJC5=°

sinZ.ACBJ44

2

sin/力4C=sin(N44C+N/C8)=sinNB4CcosN/CB+cosZBACsinZ.ACB

39-3

8

ACBC

在△川心?中，由正弦定理得

sinZABC~sinNBAC'

1+13BC解得

则39-3=3,

82

「山川i”14+213,2+213

所以8P=8C—，C=-4=

33

」规律总结

角平分线的相关结论

如图，在△/8C中，AD平分NBAC,/BAC,NABC,

N/C8所对的边分别为a,b,c.

⑴内角平分线定理:需能或%=黑

(2)等面积法:

S^RC=S^RD+5A4/)T=»^J5XJCXsinZBAC=^ABXADX$inZ^C+^CX/JDXsin

ZBAC

2,

(3)角形式：

N/Q8+//OC=7T=COSN/OB+COSN/10C=0.

〜Afc」,小八DA2+DB2-AB2

在中，cosN4DB=

2DAXDB

在△力。。中，cosN力。0="十°°—"。

2DADC

【对点训练3】(2024•黑龙江哈尔滨二模)在△45C中，ABAC,NABC,/4C8的

,=iA.,.,“2Z>cosZ.ABC/r/〃|SinN8RC

对边分别为a,b,c,已知b=4,=cosNB力C+

ctanZ.ACB

(1)求NZ8C的大小；

(2)已知8Q为N/18C的平分线，且与4C交于点。，若求△力8c的周长.

解：(1)由已知，得2力85//月。=。85/历1。+小刀/8力。，

tanZACB

根据正弦定理，得2sinZ.ABCcosN43C=sinZ.ACBcos/84。+‘拘"C8sinABAC

tanZ.ACB

即2sinAABCcosN/l8C=sinABACcos/ACB

4-cosZ5JCsinN4CB,

即2sin^ABCcosN/8C=sin(N84C+/月C8)=sin/ABC,

由于0<N力8c<?t,所以sinN44c>(),所以cosN/BC=1所以N43c=笃

23

⑵因为Sy8C=Sy8OS&8C”，

所以「c、sinZABC=yBDcsxnN/出。+%。asinNCBD,

222

因为BD为NABC的平分线，所以N/14Z)=ZCBD=[N<8c=兀，

26

所以)cX3=(22°乂1+1乂22心1,贝Ij3ac=232(a+c),即M=2%+t),

2223223239

由余弦定理得〃=/+/—2accos/W8C,即\6=a2~}~c2—ac,

所以16=(a+c)2—3ac=(a+c)2—^^^(a+c)»解得a+c=26或a+c=",(舍)，

故△/AC的周长为26+4.

课时作业31

星基础巩固.

1.(16分)(2024•四川成都三模)在△力8C中，BC=5,AC=6,cos^ABC=X.

(1)求"的长；

(2)求4C边上的高.

解：(1)设/历IC,/ABC,N/C8的对边分别为白，b,c,则”=5,h=6,cosZABC

=i,由余弦定理得i：25+，—36，解得c=4,即48=4.

882X5c

(2)在△44c中，cosNABC=1,

8

171117

所以sinZABC=,设力。边上的高为人则从=*sinNABC,即6/?=5X4xJ\

8228

解得〃=51

4

所以力。边上的高为，7

4

2.(16分)(2024•北京东城区一模)在△MC中，ABAC,ZABC,/力C8所对的边分

别为a,b,c,acosZACB+ccosZBAC=bcosAABC.

3

⑴求N/14C；

(2)若。=12,。为4c边的中点，且力。=3,求6.

7a

解：(1)因为。35/力。8+。(：05/切。=3以05/48。，所以sinN84CcosN力C8+

23

sinZ.ACBcos/BAC=sinZ.ABCcosZ.ABC,

3

所以sin(N84C+N>1C8)=:sinAABCcos/ABC,

7a

所以sinZABC='sinZABCcos/ABC,

3

又因为sinNABC于0,所以1=\cos/ABC,解得cosZABC=又因为N川%£(0,

兀)，所以/48C=%

6

(2)如图，因为。为8c边的中点，。=12,所以8。=。。=6,在中，由正弦定理

BD=AD

可得

sin7.BADsinZ.ABD

3

=1=6,解得sin/〃力£>=1,又因为N8/O£（0,兀）,所以/8力。=,

sin/BAD12

2

在Rt△48。中，AB=BD2-AD2=62~32=33,

在△力8C中，44=33,8c=12,N4BC=T

6

由余弦定理可得+—N4?C=27+144—2X33X12X3=

2

63,

所以4C=37,即6=37.

3.（17分）在△/8C中，ABAC.N/1BC,/力。4的对边分别是mb,c,满足（〃+力

+c）（a+b-c）=ab.

⑴求4C8；

（2）若点。在48上，CD=2,N8CO=90。，求△4BC面积的最小值.

解：（1）由（。十6+C）（“+力—。）=46，可得出十〃一。上=—46，

AcosZACB=a2^b2~c2=-ah=-1,又/力CB£（0,n）,：.ZACB=2n.

lab2ab23

（2）VS^ABC=S^BCD~^~SxACD»

}2?t1，n

：.absin=X26/4-/>X2sinf

23226

:.3ab=a+'b妾lab,

42

：.ab^32,当且仅当5=2m即3,/,=83时取等号，

333

-s_3,>83

♦丛BC—，

43

・•・△ABC面积的最小值为838.

4.（17分）如图，在凸四边形力&?。中，对角线力C,BD交于点、E,且BE=ED,AE

=2EC,AB=4tAD=22.

A

(1)若EC=1,求NBAD的余弦值;

(2)若/48。=兀，求边8c的长.

4

解：(1)因为£C=1,所以月£=287=2,AC=3,设BE=ED=x,

2)2+(2x)2-42x2-2

在△48。中，cosNADB=—

2ADBD82x22x

〜人.,AI^+ED^AEr(22)24-x2-22x?+4

在中，cosZADB==

2ADED42x42x

N2+4

所以=，解得x=22,所以4。=42,

22%42x

222

八八AB-VAD-BD

在AABD中,cosZBAD=

1ABAD

42+(22斤(42>=_2

2X4X224

ABAD

(2)在△48D中，由正弦定理得

sinZADB~sinNABD'

AD4sin兀=1,又乙4。8为三角形的内角，所以/力。8

所以sinNADB=sinNABD=

AD224

=江，所以8。=/。=22,BE=ED=2,且/1E=AD-+ED2=10,

2

F])08=；32°

所以cosZAED=cosZBEC=

AE

在△8CE中，BC=BP+EC-ZBE-ECcosNBEC=2+5-2义2X10X5=5,所以

2252

BC=，0

2

5.(17分)(2024•山东济南二模)如图，已知平面四边形力8CQ中，AB=BC=22,CD

=2,AD=4.

(1)若力，B,C,。四点共圆，求边AC的长；

(2)求四边形/8CO面积的最大值.

解：(1)在^力台。中，由余弦定理得+—2/l8・8CcosN48c=8+8-

2X8XcosZ/lZ?C=16-16cosZABC®,

在△/CO中，由余弦定理得/!C2=4C)2+a>2-24>cocos乙4。。=16+4—2X8cos

ZJZ)C=20-16cos/ADC②,

因为儿B,C,。四点共圆，所以N48C+NC=?t,因此cosN4QC=-cosN/8C,

因此①+②，得所以彳C=32(负值已舍去).

(2)由(1)得16-16cosN48C=20—16cos/ADC,

化简得cos//4DC—cos/ARC.=L

4

则cos2N4QC-2cos//l力CeosZJ5C+cos2Z^BC=1③，

16

四边形的面积S=U〃8CsinN/18C+U/>CDsinZJDC=1X22X

222

22sinN48C+；X4X2sinZJDC=4(sinN/OC+sin/ABC),

c

整理得sinZJDC+sinZABC=,

4

C2

则sin2ZJDC+2sin^ADCsinN/BC+siMN48C=④，

16

1+52

③+④得2-2(cosN/QCcosZABC-sinZADCsinNABC)=,

16

I+烂

即2-2cos(N/IOC+/4BC)=,

16

由于OvN4QC〈兀,Ov乙48。〈兀,所以当且仅当N4QC+N4?C=兀时,cos(N4QC+N16C)

取得最小值一1，

IaSr

此时四边形力4co的面积最大，由=4,解得5=37,

16

故四边形力4C。面枳的最大值为37.

▲T素养提升a

6.(17分)己知锐角△48C中，ZBAC,NABC,/力。8所对的边分别为a,b,c,其

小0a..sin2ZBAC—s\n2ZAC