直角三角形的性质 同步练习-2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

24.2直角三角形的性质培优提升训练华东师大版2025-2026学年九年级数学上册

一、选择题

1.如图，在VA8C中，==交BC于点£>,8=1力=2,则5如的

长是（）

A.4B.6C.8D.12

2.如图，VA4c绕点A按顺时针方向旋转60。后得到VADE,且点。恰好是边的中点，

DE交AB于F,则瓦':q>的值为（）

A.3B.2.5C.4D.2&

3.如图，VA3c中，ZACB=90°,ZA=30°,8C=2百，将VAOE沿力E翻折，使点A

与点B重合，则OE的长为（）

A.2B.73C.2GD.4

第I题图

第2题图第3题图

4.如图所示，在RtAAAC中，ZACZ?=90°,CM是斜边A8上的中线，E、b分别为的、

8C的中点，若EF=1,则A8的长（）

A.1B.2C.3D.4

5.Rb/WC的两直角边长分别为3,4.M为斜边A4的中点，长为定值的线段。。过点C,当

△MP。的面积最大时，A8两点到直线尸Q的距离之和为（）

6.如图，RtZ\A8C中，ZC=90°MC=8,BC=6,。是斜边AS的中点，过点H作BELCD

于点E,则线段座的长度为（）

A.4B.4.8C.5D.5.2

7.如图'点E为正方形项8的边AO上一点'且。石="。，连接画取晅的中点八

连接人方，若A尸的长为|,则正方形A3CQ的面积为（）

A.9B.12C.16D.20

8.已知在平行四边形人BCD中,AE±BC,BD=2>/3,AC=2,设=8C=y,则下

列选项中，为定值的是（）

A.x+yB.x-yc.a’D./+),2

二、填空题

9.如图，菱形ABCD的对角线AC,相交于点O,4石_L8C,垂足为E,连接OE.若8。=6,

OE=石，则菱形A8CO的面积是.

10.如图，在VA4c中，点。在边8c上，AB=AD,点、E,点尸分别是4cB。的中点,

EF=2.5,则AC的长为.

第10题图

11.如图，VABC,AB=AC,N3AC=90。，点。，E分别在AC,8C上，AD=DC,EC=2BE,

AE.BD交于点、F,若=则8c的长为.

12.如图，点A、B、E在同一条直线上，正方形A8C。、用孑6的边长分别为3和4,点，

为线段。尸的中点，则OF+3”的长为.

三、解答题

13.如图，已知VABC中，。是AC的中点，过点。作。交BC于点E,过点4作

AF〃BC交DE于点、F,连接AE、CF.

⑴求证：四边形4EC户是菱形；

(2)若CF=2,ZMC=30°,NB=45。,求AB的长.

BE

14.如图，在四边形A3c。中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,80交于点O,AC平

分NBAD,过点C作CE1A5交A4的延长线于点4连接OE.

(1)求证：四边形A8C。是菱形；

(2)若A3=2jR,80=4,求OE的长.

15.如图，在VA3C中，AB=AC,NB4C=120。，A。是VA3C的中线，4尸平分ND4C,

OE〃AC交"的延长线于点E.

⑴求证：VAOE是等腰三角形；

(2)若4)=4,求VAOE的面积.

16.已知：在平行四边形ABCO中，AELBC,垂足为E,CE=CD,点、F为CE的中点,

点G为C。上的一点，连接。尸，EG,AG,Z1=Z2.

(1)若CF=2,AE=3,求的的长；

⑵探究NCEG与/AGE的数量关系，并证明.

参考答案

一、选择题

1.B

2.A

3.A

4.D

5.B

6.B

7.C

8.C

二、填空题

9.66

10.5

II.8

15>/2

2

三、解答题

13.【解】（1）证明；在中，点是AC的中点，

/.AD=DC,

VAF//BC,

/.ZFAD=ZECD,ZAFD=/CED,

••.△AF*££r）（AAS）,

・•・AF=EC,

・•・四边形AEC尸是平行四边形，

又・・・M_LAC,点。是工C的中点，即EF垂直平分4C,

・••平行四边形AEC厂是菱形；

（2）解：如图，过点A作4GJ_8C于点G,

由（1）知四边形4EC77是菱形，又CF=2,Z/^C=30\

AAF//EC,AE=CF=2,ZE4E=2ZMC=60°,

/.ZAE^=ZE4E=60°,

AGIBC,

/.NAG9=NAGE=90°,

・••ZG4E=30°,

：,GE=^AE=\,AG=&GE=&

•••NB=45。,

・•・NG48=N8=45。，

BG=AG=

，AB=近BG=V6.

14.【解】(1)证明:VAB//CD,

・•・ZOAB=ZDCA,

VAC为NDAB的平分线，

，ZOAB=ZDAC,

ZDCA=ZDAC,

：.CD=AD=AB,

*/AB//CD,

・•・四边形A8C。是平行四边形，

,:AD=AB,

・•・四边形ABC。是菱形.

(2)解：•・•四边形A8C0是菱形,

：.OA=OC,BDA.AC,

,:CE，AB,

，OE=-AC=OA=OC

2t

BD=4,

：.OB=-BD=2,

2

在RSAOB中，A8=2而，OB=2,

OA=y]AB2-OB2=2而)2—22=,40-4=病=6，

，OE=OA=6.

15.【解】(1)证明：：质平分NZMC,

/.ZmE=Z£AC,

又「DE//AC,

ZDEA=ZEAC,

,ZDAE=ZDEA,

:.AD=DE,即VADE是等腰三角形；

(2)解：如图，过点。作DG_LAE于点G

VAB=AC,ZB/\C=120°,AO是VAAC的中线,

ZBAD=ZDAC=-NBAC=60°,

2

又AF平分ZDAC,

・••ZZMG=30°,

VDGLAE,4)=4,

，DG=2,

••・AG=\lAlf-DG2=2百，

乂AD=DE,DGrAE,

:.AE=2AG=2x26=4瓜

•,-^D£=|AE-DG=^x4x/3x2=4x/3.

16.【解】(I)解：'：CE=CD,点/为at的中点，CF=2,

・•・DC=CE=2CF=4,

•••四边形人8c。是平行四边形，

，AB=CD=4,

,?AElfiC,

ZAEB=90°,

在RtAABE中，由勾股定理得：BE=\lAB2-AE2=V16-9=V?：

(2)解：ZAGE=2NCEG,证明如下：

延长AG,交〃。延长线于M,

在AECG和△OC/中，

Z2=Z1

ZGCE=ZFCD,

EC=DC

・•・△ECG"ADCF(AAS),

:・CF=CG,

,;CE=CD,尸为CE的中点,

.・.DG=CG,

•・•四边形是平行四边形,

/.AD//BC,

：.ZADG=ZMCG,

在△ADG和△MCG中，

ZADG=NMCG

DG=CG,

ZAGD=ZMGC

•••△4)G-MCG(ASA),

，AG=MG,

VZA£C=90°,

EG=-AM=GM,

2

:・/GEC=/M,

'：4GE=NGEC+NM,

ZCEG=-ZAGE,

2

/.ZAGE=2NCEG.

17.【解】(1)证明：・・・AK是N8AC的平分线

・•・NBAK=NCAK

VZABC=90°

，ZBAK+ZI3KA=90°

,：BD