指对幂函数（核心考点）-高考数学一轮复习（新高考专用）

考点04指对寨函数(核心考点讲与练)

，考点考瑞')

1.零函数

(1)幕函数的定义

一般地，形如0：的函数称为塞函数，其中才是自变量，。为常数.

(2)常见的5种基函数的图象

(3)基函数的性质

①基函数在(0,+8)上都有定义；

②当。>0时，基函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增；

③当。<0时，幕函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.分数指数累

(1)规定：正数的正分数指数幕的意义是丁=赤(卧0,m,〃£N.，且〃〉1);正数的负分数指数哥的意义是a

»1

二=­(a>0,/〃，"EM,且〃>1)；0的正分数指数幕等于0；0的负分数指数塞没有意义.

ft

涯

(2)有理指数基的运算性质：｝：《)'=］：(")'=W互，其中G0,60,r,sFQ.

3.指数函数及其性质

(1)概念：函数y=a'(a〉O且aWl)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

ci>\0<3<1

图象彗(0.1)A

定义域R

值域(0,+8)

过定点(0，D,即才=0时，7=1

性质当x>0时，g；当晨0时，丘1；

当.K0时，0<八1当力0时，0―1

在(-8,+8)上是增函数在(一8,十8)上是减函数

4.对数的概念

一般地，对于指数式我们把“以a为底N的对数b”记作log/即b=log,MM，且aWD.其中,

数且叫做对数的底数，史叫做真数，读作'”等于以a为底N的对数”.

5.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质:①4%"=出②logM=b(a>Qt且a#1).

(2)对数的运算法则

如果a>0且a#l,抄0,Q0,那么

©log,,(?WV)=Iog...J/+Iog....'V；

②1og.,-^=1。即1。即此

③】ogjf—n\ogJ/(z?£R)；

④1ogj.M=^1og„.1/(///,〃£R,且/层0).

V

(3)换底公式：1*2广(&人均大于零且不等于1).

一log抄

6.对数函数及其性质

(1)概念：函数y=log*x(a>0,H.aWl)叫做对数函数，其中A•是自变量，函数的定义域是(0,+°°).

(2)对数函数的图象与性质

<i>l0<a<l

尸尸g『1

图象

1尸1。融

定义域：(0,+8)

值域：R

当x=l时，y=0,即过定点(1,0)

性质

当力1时，y>0；当x>l时，y<0：

当Q<x<l时，X0当0<内1时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函教

(如)(a>l)(〃>0)

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

1.系函数y=F(a£R)图象的特征

公＞0时，图象过原点和(I,1)点，在第一象限的部分“上升”；a＜0时，图象不过原点，经过

(1,1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令了=1得到底数的值再进行比较.

3.指数函数的单调性取决于底数。的大小，当底数。与1的大小关系不确定时应分和

两种情况分类讨论.

4.对数值取正、负值的规律

当。＞1且/?＞1或0＜。＜1且0＜b＜1时，log«Z?＞0;

当。＞1且0＜b＜1或0＜。＜1且方＞1时，logj?v0.

5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不

同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.

6.比较赛、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性.

7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线)，=1交点的横坐标进行判

【答案】B

故选:B.

【答案】B

【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解.

【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D,再利用特殊值排除选项A、C.

故排除选项D：

故选：B.

【答案】C

故选：C.

【答案】A

故选：A.

二、多选题

【答案】BD

【分析】根据偶函数定义求得。，由复合函数的单调性得出“处的单调性，从而可判断各选项.

故选：BD.

【答案】BCD

故选:BCD

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置.；从函数的值域,

判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）

从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

三、双空题

【详解】

四、填空题

【答案】（2,I）

所以点P的坐标为（2,1）.

故答案为：（2,1）.

五、解答题

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值

的能力，属中档题.

挎高考辨函数

一、单选题

1.（2022.北京.一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）

【答案】C

【分析】利用指数函数，对数函数，鼎函数和反比例函数的性质判断.

故选:C

A.8B.4C.2D.1

【答案】A

故选：A.

A.0B.2C.4D.5

【答案】c

【分析】根据累函数的形式及过定点即可求解.

故选:C.

则其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.@©

【答案】A

【分析】由幕函数的性质进行分析判断即可

【详解】’曷函数的图象过定点（1,1）,①正确，

故选：A.

5.（2022・全国•贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（）

【答案】D

【分析】依次判断4个函数的单调性即可.

故选：D.

【答案】B

【分析】对于A、B,构造函数，借助函数单调性比大小：

对于D,取特值判断.

故选：B.

二、多选题

【答案】AD

故选：AD

【答案】BCD

故选：BCD.

9.（2021•全国•模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（）

,

A.3/Y37ce2B.7tlog3e>3logn£

C.loge>—D.Tte<e1r

x7T

【答案】BCD

故选：BCD.

A.B.

【答案】ABD

故选：ABD.

三、填空题

【答案】x2（答案不唯一）；

【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次暴函数即可写出符合要求的解析式.

故答案为：x2（答案不唯一）

【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论.

结合图象可得：心。？771?心8，

3

故答案为：I],2].

【答案】I，-1（答案不唯一）

故答案为：1,7（答案不唯一）.

一、单选题

【答案】C

【分析】对数函数的单调性可比较。、与c的大小关系，由此可得出结论.

故选：C.

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

故选:C.

【答案】D

故选:D.

【点睛】本题考查的是有关指数凝和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数

函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对某形式的数的大小关系，常用方法：

（3）借助于中间值，例如：。或1等.

【答案】A

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得

到“，y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

5.（2020.全国•高考真题（理））已知55<8、13々85.®o=log53,Z>=logg5,ulogW,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

故选:A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应

用，考查推理能力，属于中等题.

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

【答案】A

故选；A.

【点睛】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

A.—B.—C.-D.一

16986

【答案】B

【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

故选：B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，

属于基础题目.

【答案】D

故选：D.

二、多选题

A.若〃=1,则H(X)=O

B.若〃=2,则H(X)随着Pi的增大而增大

【答案】AC

两者相等，所以B选项错误.

故选:AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息烯'’的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运

算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

三、填空题

【答案】7

故答案为：7

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

【答案】-4

故答案为：-4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

一、单选题

1.(2022•全国•模拟预测)开普勒｛JohannesKepler1571-1630),德国数学家、天文学家，他发现所有行

星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的坑道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次

方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3,地球运行轨道的半长轴为

。，则金星运行轨道的半长轴约