浙江省杭州某中学2024-2025学年高二年级下册6月月考数学试题（含答案解析）

浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合”={3,集合N={NxNl},则（）

A.OGMB.McN=M

C.NqMD."UN=R

2.命题“若x>l,2x+l〉5”的否定是（）

A.Vx>l,2x+1<5B.Vx<l,2.r+1>5

C.土>L2x+lK5D.3x<l,2x+l>5

3.设“，bwR,则下列条件可断定同<〃的是（）

A.a<b-a<bB.a<b或一avb

C.且D.a<b^La<-b

4.设数列{叫是公比不为1的无穷等比数列，贝上数列几}为递减数列”是“对任意的正整数

〃，的（）.

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知宜线），=履+，〃为/（力=炉的一条切线，将），=/'（#的图象向右平移e个单位，向上

平移1个单位后仍与直线/相切，则初7=（）

A.1B.—C.0D.一

2

6.设。为两个非零向量的夹角，已知对任意实数/,仅+4的最小值为1,则（）

A.若。确定，则例唯一确定B.若恸确定，则例唯一-确定

C.若6确定，则加唯一确定D.若。确定，则牺一确定

7.设实数%,户满足4c+2、=3、，则（）

A.x-y<0B.x-y>0C.（x-l）（x-y）<0D.（x-i）（x-y）>0

8.金老师和刘老师共同开展选修课八节课,若任意连续的三节课不能由同一名老师开课,

则不同的选修课排课方案的种数为（）

A.60B.68C.76D.84

二、多选题

9.已知复数z0=i+2i2+…+则()

A.Zj的虚部是-2B.%|=同

D.乡=T-2i

C.2626=5

Z2

10.已知点巴，外是双曲线E：（«>0,/?>（））的左右焦点，过尸2作直线交双

a1b-

曲线于A,8两点（点A在点8的上方），且AZ_L/W,|"；|：|A8|=3：4,则双曲线E的离

心率可能为（）

A.巫B.叵C.亚D.V13

22

11.己知数列｛〃“｝满足％巳=也-4（W€N+）,则（）

A.｛q｝可能是常数列

B.数列｛六｝是等差数列

io।65

C.若q=3,则Z--=—

，日凡一22

D.数列，•可能为公差不为0的等差数列

三、填空题

12.已知一组数据I,2,3,的中位数等于平均数，则这组数据的极差为•

13.在（l+or）x的展开式中，有且仅有.一项前的系数最大，则实数。的取值范围是

14.某正三楼台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等接梯形的几何体）的体积为迎叵，

3

内切球（与棱台各面都相切）的半径为1,则该三棱台的侧棱长为•

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.如图，在面积为1的△PMN中，tanM=；,tanN=-2.建立适当的坐标系，求出以

N为焦点且过点尸的椭圆的方程和离心率•

16.记数列｛q｝的前〃项和为%若4=2,|%|=|勺+2|，〃e*

(1)求心的所有可能取值;

⑵若S2O25=474,求%的所有可能取值•

17.已知锐角7ABe的内角A,B,C的对边分别为a,》c,且A,8,C成等差数

列.

⑴若b=2,求VABC面积的最大值；

⑵若c=2,求7ABe周长的取值范围.

18.设acR,函数一(4+2)x+2〃ln.r.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若%是函数/(X)的极天值点，证明：/(不)>-。-2

19.我们规定：在四面体尸-A4C中，取其异面的两条棱的中点连线称为八4c的一条“内

棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体

⑴如左图，在四面体0-八改:中，M(，=1,2,...,6)分别为所在棱的中点，证明：0-A5C的

三条内棱交于一点.

(2)同左图，若尸—A8C为垂棱四面体，/%"2=2,加3“4=4,〃5加6=6,求直线/W与平面

ABC所成角的正弦值.

《浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CCACBDDBABACD

题号11

答案AC

1.C

【分析】根据集合中的元素确定集合的关系,结合集合的运算性质,逐项判断即可得

答案.

【详解】因为集合“={4人>0},集合N={dx?l},

所以N=则McN=MMuN=M,故A,B,D项错误，C项正确.

故选：C.

2.C

【分析】根据全称命题的否定求解.

【详解】根据全称命题的否定可知：

若Vx>l,2x+1>5的否定是3x>l,2x+lK5.

故选：C.

3.A

【分析】根据不等式的性质化简|。|<力即可得解.

【详解】由同“可知〃>0,则一〃<〃<〃，等价于且一。<〃”.

故选：A.

4.C

【分析】由《+2<勺。可（42-1）<0,分4>。和4<（）两种情况讨论公比取值，即可判断.

【详解】若“数列也}为递减数列“，易得4+2<%，

若“对任意的正整数〃，4.2

4+2<%=4+2一凡=%-1）V0,

当%>0时，由4（q2-l）<0,得q2—l<0,

解得：或0”<1,

答案第1页，共16页

若一l<g<0,则生=49<。，此时。2（夕2-1）>。，与已知矛盾；

若0<q<l,则《,二卬尸>0,由指数函数单调性可知〃，单调递减；

当q<。时，由4伍2-1）<0,得寸一1>0,

解得：“<一1或“>1,

若"一1,贝ij"2=q〃>o，此时生（/一i）>。，与已知矛盾：

若">1,则/=〃01<0,由指数函数单调性可知仆单调递减；

综上可知：若勺.2<%，可判断数列｛。”｝为递减数列，

所以“数列｛%｝为递减数列”是“对任意的正整数〃，%+2〈%”的充要条件，

故选：C

5.B

【分析】由题意知/（”二e'的一条切线的斜率为：，根据导数的几何意义求得切点，进而

求得切线方程，即可求得如?.

【详解】由〃力二/得/（"=©）'=9

由题意，直线，=辰+，〃的斜率为工，则e'=L解得x=—1.

ee

・'•f（一]）=「=/,・•・切点为卜L：

1117

•・•切线方程为y———（X4-1）,BPy=—x+—.

eeee

i?2

所以女=-,〃?=—,hn=—.

eee~

故选：B.

6.D

【分析】由题意可求出关于/的一元二次函数，进而根据最值得出广（1-COS2J）=],即可判

断.

【详解】由题意可得，,£+囚=t2a+b+2tah=ar+2a'bcosOt+b,

[…十一一曰।万一（2|小|目cos。），，

此关于/的一兀一次函数，最小值为_______，'门।____—=F（l-cos20）=1，

4a

答案第2页，共16页

因W#o,故此可知，若e确定，则W唯一确定，

反之若坂确定，则cos?，唯一确定，。不唯一，又式子与M无关，故D正确，ABC错误.

故选：D

7.D

【分析】令/。）=3'-4'1-2',分类讨论进行求解即可.

【详解】设/（/）=3'-4'-2、，其中X为参数

依题意/（，）有零点y

易知/⑺为单调递增函数.

Y0x

</(X)=3x-l-2x<0,

即r〔信丫40

即X41.

当X>Y时，

答案第3页，共16页

即平Jl]>0

即X>1.

综上可知，(x—i)(x—y)N0.

故诜：D.

8.B

【分析】将两节连上称之为一个连上，分有4个，3个，2个，1个，0个连上，五种情况分

别讨论，最后再将分好的课让两位老师依次间隔上即可求出.

【详解】由题意可知，最多只能两节课连上，在此将两节连上称之为一个连上，

若有4个连上，则有1种分法；

若有3个连上，将剩下的2门课插入4个空隙中，这2门课可以相邻可以不相邻，

共有4+C：=IO种分法；

若有2个连上，将2个连上插入剩下的4门课构成的5个空隙中，这2个连上可以相邻可以

不相邻，共有5+C；=15种分法；

若有1个连上，将1个连上插入剩卜.的6门课构成的7个空隙中，共有7种分法；

若没有连上，则有1种分法；

再将分好的课让两位老师依次间隔匕共有(1+10+15+7+1)x2=68种上法.

故选：B

9.AB

【分析】由复数的概念及四则运算逐个判断即可.

23

【详解】z3=i+2i+3i=-2-2i,其虚部是-2,「.A正确；

答案第4页，共16页

Z4=i+2i2+3i3+4i4=2-2i,「.%|=|z4],二.B正确；

Z6=i+22+予3+匈4+竽5+6i°=-4+3i,Z6应=Zf=25,C不正确;

z6-4+3i

1=F~^=1—2I,「.D不正确，

z2-2-1

故选：AB.

10.ACD

【分析】根据直线的不同情况结合图形特征及定义计算求解离心率即可.

【详解】当过人作直线交双曲线右支于A,8两点，设|人用=温4?卜4/,

因为A£_L48,所以忸耳=也尸+1&2=51,

所以4〃=|A£|+忸用_|AA=41,

又因为|人制\AF2\=2a=2t,所以为闾二才,

所以2c=/用二段2=痴/,

所以离心率为£=4国，A选项正确；

当过尸2作直线交双曲线左右支于A,〃两点且在x轴上方,

设H用=34”|=4/,则忸用=5/,

乂2〃二|A周一|4用二忸用一忸周"+|叫|=5"忸周，

所以忸闾=2,所以2a=3/,

因为AG_L4B,所以2c=恒居|==36,

所以离心率为£=逐，C选项正确；

a

答案第5页，共16页

当过F2作直线交双曲线左右支于A,8两点且在A-轴下方，

设|A耳|=3加闻=4f,则怛用=5乙

又2〃=|伍班|-忸段,f+|A闾=3"|A玛

所以|明|=£,所以为二2f,

因为ARLAB,所以2c・=忻号=J|A/『+|AR2=历,

所以离心率为£=9，D选项正确.

a

故选：ACD.

11.AC

【分析】设。向=。“二。代入数列递推式，可求得4=2,即可判断A;利用等差数列的定义

及通项公式、求和公式计算即可逐一判断B,C,D选项.

【详解】对于A,｛q｝是常数列，等价于。用=。”=。，由。”.4=4%-4可得/=4。_4,

解得〃=2,即q=2时满足题设条件，故A正确；

对于B,当q=2时，由4+乩=4〃“-4可得/(%+]-2)=2(%-2),

1

则得%=2,此时一^无意义；

%-2

4

由%+4=4%-4可知〃“=(),当4*2时，由4+得”=4%-4可得〃,川=4-----,

____1__—_____1___—1a."___I__II__II

则a4+i-24^22-—2。”-4an—22,故比时数列｛q_/是公差为1的等差

数列，即B错误；

对于C,卬=3,由选项B已得等差数列｛六｝的首项为I,公差为故

答案第6页，共16页

=1,+1-（//?-1・）、=-〃-+-1,

22,

IIII。10（1+）

因一^=3,则弋?,65,故c正确;

斯）-22乙

/r=122

对于D,若数列P■可能为公差不为0的等差数列，则由B选项知，/工。，

4J__±=_;__1_41=(%2)2

因。向=4一一，则4出a,,d_±an4(an-\)an4%(q,-1)不是一个非零常数，故

“一飞

D错误.

故选：AC.

12.2或3

【分析】通过〃叱3,或或切<1,求中位数及平均数求解即可.

【详解】平均数为空上

4

若〃后3,则中位数为2.5,则空'=2.5,解得〃?=4,极差为3,

4

若叱,〃<3,则中位数为卓，则空竺二*，解得“=2,极差为2,

242

若〃?<1,则中位数为1.5,则竺竺=1.5,解得〃2=0,极差为3,

4

故答案为：2或3

3苦4卜黑

【分析】讨论〃的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案.

【详解】若展开式中有且仅有X4项的系数最大，4=0不合题意，

当〃>0时，所以项的系数均为正数，则需满足

45

即得一<。<已;

54

当”。时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数，

则此时需满足忖:干f6，解得-叵<a<-叵,

25

综合可得。的取值范围是

答案第7页，共16页

451

故答案为:

5旬

乂・粤

【分析】根据题意设上底±（与下底面正三角形的边长分别为。，〃，根据棱台体积，求出表面

积，然后求出〃，力，进而求解梭及

【详解】设上底面与下底面正三角形的边长分别为。，以

根据棱台体积公式，丫=：（手"+当"+

43

则42+02+4匕=52,

则=12,故/+〃=40,

则a=2yb=6,

故答案为：卑

3

15.-+^-=1,离心率6=叵

1535

【分析】建立如图所示的直角坐标系，设M（-C,0）,N（G0）,从而可由直线PA/./W的方程

联立求出点P,再根据△〃处的面积可求得。，然后由椭圆定义求出“，即可得到椭圆方程

及离心率.

【详解】

答案第8页，共16页

MO]Nx

如图所示：以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为丁轴建立直角坐标系，

设以N为焦点且过点月的椭圆方程为4+4-=1Ca>b>0）,M（—GO）,N（C,O）,

ab

由tanM=i,lanZPMv=2,

可得直线PM和直线PN的方程分别为），=g（x+C）和），=2（.r-c）,

54,54、

将两方程联立可得x=『，y=^ct即尸斗鼻。，

则S/MN=・%=J•2。*千=1，

解得c=立，

2

则M--—,0,N—,0,P,

,2）\263

巫，八4/3-3=3.

2244

所求椭圆方程为叱+目=1,离心率e=£=好.

153a5

16.⑴{0,4,48,—8}

⑵{-102,98}

【分析】（1）根据题干定义即可求得结果.

（2）对题干中条件两边同时平方得到递推公式，再累加即可求出结果.

【详解】（1）由题意，同=由+2|=4,得%«4,~4},

同=|%+2|=6或2,得/w{6,-6,2,-2},

同=|%+2|=8或4或。,得氏€{0,4,-4,8,-8}.

22

（2）由题意，对党1=|q+2|两边平方得到匕广平+%+4,.・.勺=”也一1,

答案第9页，共16页

aaaaaa

milC-zj>z..-2~\,3~2,4~,“2026-2O25nnnc

川J32025—％+a2+••°+°2025——J~~+J~~+-4+-------4---------2025

222

=_q_2025=咏-2026=474,

44

解得。嬴=10000,

由1峻卜100=10202s+2],可知02025c{-102,98卜

17.⑴。

⑵（3+6,6+26）

【分析】（1）根据题意求出角8,利用余弦定理结合基在不等式即可求出再利用面

积公式求解即可；

（2）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式及半角公式即可化简成关于tang的函数，结

合条件口「求其范围.

【详解】（1）由ARC成等差数列知A+8+C=38=7i,古攵吟；

由余弦定理：4=/?2=a2+c2-laccosB=a2+c2-ac>2ac--ac=ac，

故ac«4（当且仅当a=c=2时等号成立），

故8c=gacsin8=#GCWG（当且仅当a=c=2时等专

;一成立），

故VA3C面积的最大值是6.

n

/「、』.十沙』由sinA2sinA.口2si

（2）由正弦定理：a=^—c=,.sinfi工正，

sinCsinCb=.c=.

sinCsinCsinC

mH2sinA+62sin（Z?+C）+>/3

sinCsinC

\/5cosC+sinC+>/3__V3cosC+\/3

=------------------+2=3+------------

sinCsinC

25/3cos2—cr

3+cc3+C;

2sin—cos—tan—

222

0<C<-

由VA8C为锐角三角形，3=2，则｛2,解然<c苫,则8倨3

30〈九」-cM

32

由y=tanx在佰国上单调递增，故［an^Jiangtanm=（2-61）,

1124J2V124

答案第10页，共16页

故。+〃+c=3+3^e（3+G,6+2G）

tan—

2

即VA3C周长的取值范围为（3+G,6+2G）.

18.（1）答案见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）求出导函数，再分类讨论求出广（可>0和/'（“VO的解，即可求出单调性；

（2）由（1）可知当0<々<2时，有/=〃，构造g（x）=2xlnx—3丁_大，研究其最小值即

可，当。〉2时，有/=2,判断/（2）>-〃-2即可.

【详解】（I）定义域为R,

/。）=1。+2）+即」、（"2卜+2。=（…）（7）,

XXX

①当〃<0时，/'（汇）>0得x>2,/'（"〈。得0cx<2,

则/（“在（0,2）上单调递减，在（2,叱）上单调递增：

②当0<〃<2时，/'（x）>0得0<x<〃或x>2,/'（x）<0得汇<2,

则/（x）在（。，2）上单调递减，在（0,。）和（2,也）上单调递增；

③当〃=2时，/（刈之0,则/'（X）在（0,田）上单调递增；

④当〃>2时，/"（x）>（）得0<%<2或x>。，/'（x）<（）得2vxv〃，

则/（“在（2M）上单调递减，在（0,2）和5，+8）上单调递增，

综上可得，①当a«0时，/（.I）在（0,2）上单调递减，在（2,+功上单调递增；

②当0<〃<2时，f（x）在®2）上单调递减,在（0,。）和（2,+功上单调递增；

③当〃=2时，〃力在（0,一）上单调递增;

④当。>2时,/（力在（2,a）上单调递减,在（0,2）和（a,”）上单调递增♦

（2）由⑴可知,当存在极大值时，a«0,2）D（2,+8）,

2

当0<a<2时，有为=〃，则/（x0）=—-（a+2）a+2a\na=2a\na--a-2a,

答案第11页，共16页

S^(x)=2xlnx--x'-x,0<x<2,

则g'(x)=2(l+lnx)-x-l=21nx-x+1,

设g〈x)=〃(x),/(x)=：-l>0,

则g'(x)在(0,2)上单调递增,

又g'(l)=0,贝iJg'(x)>0得l<x<2；g'(x)<0得0<x<l；

可知g(x)在(()/)上单调递减，在。,2)上单调递增，

则g(x)Ng(l)=-Q>-2,

可知/(x。)=2aIna-gvJ_2a=g(a)—a>—2—a；

当a>2时，有4=2,则/(玉)=2-2(a+2)+2^1n2=(21n2-2)a—2>-a—2；

综上可知/（7））>-a-2成立，

19.（1）证明见解析

（2）1^

35

f_V2®5

⑶-71

2'2'2

【分析】（1）利用两内棱的端点构成四边形为平行四边形，然后证明两个内棱相交且互相平

分，然后得到三个内棱相交于同一点且互相平分；

（2）由定义易证：四边形陷“3M2M«为菱形，于是再由中位线定理，其对棱相等，所以可

以补形为长方体，然后建立空间直角坐标系求解即可；

（3）由（2）易知棱长与外接球表面积的关系S=T（AB2+3O2+AO2）;F,然后设

2k

人（王方）,8伍,必），求得直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得「，

3二中

4

,2=中

2-2k2

221

得八炉=（玉I（X>2）MO=xfIy^BO=x£iy-

答案第12页，共16页

七组1（火4+134+10

求得S（上二M1兀

f_V2今

然后利用三角形4/3。为锐角三角形求得左e

2'2

最后求最值即可.

【详解】（1）如图，连接3M4，/%加3，/%加4，加3必?,”4"2,

由题可知，陷〃、平行且等于/乩加,平行且等于;

所以MM.3平行且等于M?M4

所以四边形M|M3M2“4为平行四边形，

所以对角线MM2nMaM,二。，。为线段MM2中点；

同理叫朋2nMsM,=。，。为线段MM?中点；

故P-49C的三条内棱交于一点O.

（2）由（1）可知，四边形3M2M4为平行四边形，

若P-A3C为垂棱四面体.则四边形MM’M2M,为菱形，

即叫蛆二叫"4

显然P8=2M1M，AC=2%%

故尸B=AC

同理PA=3C,PC=A8

如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系4-xyz,

答案第13页，共16页

因为MM=2,MM=4,=6

所以有A(4,6,0),5(0,0,0),C(0,6,2),尸(4,0,2)

所以丽=(4,0,2),丽=(4,6,0),比=(0,6,2)

设平面4BC的一个法向量为及=(x,乂z)

BAK=04JT+6J=0

易知彳—n

BCn=()6y+2z=0

令"-2,解得x=3,z=6

所以元=（3,—2,6）

I2N/5

古夕他oo匕乖而9Sir6{i~BPn24

旦线/归与TIHIAADnCr加力乂用削止5幺但内

阿司"V20x7-35

(3)

由（2）易知将P-A8O补成长方体，设长宽高分别设为。、b、c,

则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：