指数（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（人教A版必修第一册）解析版

第14讲指数

【人教A版2019】

内首航

了模块一：根式与分数指数幕

夯基•基础知识梳理工模块二：指数幕的运算

「题型1根式与分数指数幕的互化

一题型2根式的化简求值

一题型3指数幕的运算

■题型4指数鬲的化简、求值

一题型5指数式的给条件求值问题

-题型6指数高等式及幕的方程问题

I题型7指数幕等式的证明

课后作业（19题）

》思维导图

〃次方根的定义与性质

1根式的定义:式f%叫做根式•"叫做根指数,。叫做被开方数

根式的性质：泞=<)'=—

根式与分数

指数幕整数指数房：①正整数指数鬲；②负整数指数幕

.

1分数指数鬲：①正数的正分数指数幕；②正数的负分数指数寻

规定：0的正分数指数房等于0；0的负分数指数幕没有意义

整数指数寻的运算”型手有理数指数寻呼蟹里

有理数指数存一1指数房的几个常用结论

的运算

无理数指数幕：一般地，无理数指数寻是一个确定的实数

指数鬲的运无理数指数幕_实数指数房的运算性质：整数1旨数用的运算性质也适用于实数指数幕，区别

算及实数指数幕只有指数的取值范围不同

（1）指数寻的运管首先将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利用法则

计箕；（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数；（3）运印吉果不

I指数幕运算的能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数

一般原则

模块一根式与分数指数累

知识梳理

1.根式

(1)〃次方根的定义与性质

定义一般地，如果AJ'=a,那么x叫做a的〃次方根,其中〃>1,且〃£N*

(1)当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根

是一个负数,这时，〃的〃次方根用符号我表示；

(2)当〃为偶数时，正数〃的〃次方根有两个，这两个数互为相反

性质

数，记为土板；

(3)负数没有偶次方根；

(4)0的任何次方根蓄是0,记作</0=0

(2)根式的定义与性质

定义式子加叫做根式，〃叫做根指数，4叫做被开方数

性质泞=｛比”第*(内),=a(〃eN*,且">1)

2.分数指数第

整数指数辕分数指数'幕

正整数指数第：正数的正分数指数累：

指数m

a-a......«(/7GN*)暴中a7=y/7r(a>0,私〃GN*,〃>I)

的指

负整数指数第：数从正数的负分数指数累：

整数"11

n

拓展a=-=[a>€N*,/J>f

到了

有理

数

规定：0的。次方没有意义；规定：0的正分数指数某等于去0的负分

非零整数的0次方都等于1数指数哥没有意义

【注】：分数指数显是指数概念的又•推广，分数指数暴色是根式的•种新的写法，不可理解为m:个

。相乘.在这样的规定下，根式与分数指数辕是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

题型归纳

【题型1根式与分数指数塞的互化】

|【例1】(24-25高一上•山东枣庄•期中)下列根式与分数指数幕的互化，正确的是()

A.-\[x=（-x）zB.=yz

C.x"=—^（%^：0）D.（y（—x）2]*=xz（x>0）

【解题思路】利用根式和分数指数幕的转化关系，判断选项.

【解答过程】A.-V7=-如，故A错误；=yZ=|y|3,故B错误；

3

C.x-3=^（%^：0）,故C错误；D.[y（-x）2]+=[（x）^]4=X2（x>0）,故D正确.

故选：D.

【变式1.1]（24-25高一上♦广东中山•阶段练习）将那•企化成分数指数塞的形式是（）

71715

A.2&B.2ZC.2§D.26

【解题思路】由根式与分数指数霖的转换公式即可求解.

（解答过程】V5•V2=43-22=23-22=26.

故选:A.

【变式1.2]（24-25高一上•河北•阶段练习）设Q>0,则占的分数指数靠形式为（）

河

A.a-6B.a-sC.a：D.

【解题思路】根据根式和指数索的转化即可得到答案.

【解答过程】

故选：D.

【变式1.3]（24-25高一上•全国•假期作业）下列根式与分数指数幕的互化错误的是（）

A.\jay[a=a2（a>0）B.x~=—Vx^（x>0）

C.x-zy3=（x>0,y>0）D.x）2]4=X2（x>0）

【解题思路】利用分数指数幕的运算法则求解.

【解答过程】对于A选项，yjayja=Ja•小==（点1=ai（a>0）,故A正确；

3

对于B选项，x*=O=（x>0）,故B错误；

对于C,x~y3=>o,y>0）,故C正确；

x2=

2、32-i

对于D,[VFx）1]4=（Vx2）；=（X3）4=xz（x>0）,故D正确.

故选：B.

(2)指数塞的几个常用结论：

①当a>0时，«A>0；

②当行0时，67°=1,而当4=0时，4°无意义；

③若优=ax3>(),且〃羊1),则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幕.

2.无理数指数基及实数指数基

(1)无理数指数第

••般地，无理数指数室/5〉0,。是无理数)是•个确定的实数.这样,我们就将指数攀〃(公0)中指数x

的我值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数箱的运算性质：

整数指数指的运算性质也适用于实数指数指,区别只有指数的取值范围不同.

整数指数事底数、指数实数指数塞底数、指数

的运算性质的取值范围的运算性质的取值范围

an'-a"=d"m,nwLaGRar-as=ar+WR,且a>0

nmmn

(a)=am,n£Zjyd£Rr,sWR,且«>0

{ab)n=anbn”EZ,a£R,b£R(ahY=arhrr(=R,且QO,力>0

3.指数幕运算的一般原则

(1)指数箱的运算首先将根式、分数指数弃统一为分数指数殊,以便利用法则计算，还应注意：①必须

同底数塞相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母乂含有负指数.

题型归纳

【题型3指数幕的运算】

童J【例3】(24-25裔一上•全国•随堂练习)下列运算结果中，正确的是()

A.a2-a3=a5B.(-a2)3=(-a3)2C.(Va-1)°=1D.(-a2)4=a6

【解题思路】根据指数的运算性质即可逐•判断.

【解答过程】对于A,a2-a3=a5,故A正确，

对于B,(-出)3=(-1)3(02)3=一。2)3,故B错误,

对于C,当QM1时，才有(依一1)°=1,故C错误，

对于D,(—。2)4=(一I)4(a2)4=a8,故D错误，

故选：A.

【变式3.1](24-25高一上•河南•阶段练习)小赤+阿二^一0.5-3=()

A.16-nnC.—TTD.—TC—8

【解题思路】根据根式的性质及箱的运算法则计算可得.

【解答过程】

VT铲+飞5-4)4-0.5-3=[(-8)2]l+|n-4|-(1)'

=(23)2Xi+4-TT-2Tx(-3)

=22+4-TT-23

=4-4-4—n—8

=-IT,

故选：C.

【变式3.2](24-25高一上•河北邢台・阶段练习)643-O.OOOr0-75-5.5°=()

A.-985B.-983C.-995D.一994

【解题思路】利用指数幕的运算性质求解.

【解答过程】原式=43xt-0.14x(D-1=42-0.厂3-1=16-1000-1=-985.

故选：A.

【变式3.3](24-25高一上•上海浦东新•期中)下面四个等式运算中，正确的是()

A.3a-2=9B.27=

C.V(-8)6=-8D.03-i-03=y/a

【解题思路】根据指数运算法则，对每个选项进行计算开判断其正确性.

【解答过程】对于A选项，根据负指数塞的定义，QF=5(Q£0).

an

得到3Q-2=2,而不是三，所以A选项错误.

a23a2

m.

对于B选项，根据分数指数累的定义，an='海巴

则2*=停，而不是逐，所以B选项错误.

对于C选项，V邨=|一8|=8,所以C选项错误.

对于D选项，对于Q&+而=a3~s=03.

乂因为蔡表示。的立方根，即遮，所以D选项正确.

故选：D.

【题型4指数导的化简、求值】

（2"】）2.铲

（71WN*）的结果为（）

（24-25高一上•全国•课后作业）计算4n.8-2

Zjx2n-7

B.22n+5C2nz-2n+6D・（D

【解题思路】根据指数靠运算求解即可.

/2n-7

【解答过程】原_.式o=2H金+2,9高-2H—尹1=泰nl=27e=QlX）

故选：D.

【变式4.1］（24-25高一上•江苏宿迁・开学考试）下列各式中,计算正确的是（）

A.m4-m4=2m4B.m44-m2=7n:

C.（-2xy）3=-6x3y3D.（一加）3+（时2）2=—ab'Z

【解题思路】根据同底数塞的乘法，合并同类项,积的乘方，同底数塞的除法运算法则依次进行运算即可

求辞.

【解答过程】对于A,m4-m4=m4+4=7n8,故A错误：

425

对于B,m+mmf故B错误；

对于C,（一2孙下=一87y3,故c错误;

对于D,（-。/^7+9炉下=一^炉下・似炉下二一。炉,故D正确；

故选：D.

【变式4.2］（24-25高一上•四川德阳•阶段练习）1.5一：X（―：）°+8025xV2+（V2xV3）6-=（）

A.110B.109C.108D.100

【解题思路】根据根式与分数指数幕的互化结合指数幕运算性质求解即可.

【解答过程】由题意可得：原式=6厂X1+⑵4x2Z+22X33-（|）5=（J+2：X2；+108一（|y二

24-108=110.

故选：A.

【变式4.3］（24-25高一上•全国探后作业）若a,b>0,则会>.贸―一—一）（涓-妁］二（）

A____1____R_____1____r2D____2

222222

2（a-+b-）2（G+b-2）a-+b-a~+b~

【解题思路】根据分数指数幕的运算性质求解即可.

【解答过程】其途（-*-/）（*一/）］=总鉴吨（…一L）卜一年•

故选：D

【题型5指数式的给条件求值问题】

【例5】(24-25高一上•吉林长春•期中)已知10血=2,10"=3,贝打01一=()

A.-1B.士C.立D.2

2923

z3m-2n\23m-2n3m-2n

【解题思路】求出(10F-),根据10F-的正负求出10F-

/3m-2n\23m2n

【解答过程】根据题意，得(10F-)=10-=103mx10-2n=(10m)3x(l()n)-2=23x3-2=1

3m-2n一,3m-2nG0.历

因为10一万一＞0,所以10F-=导等.

故选：D.

【变式5.1]（24-25高一上•江苏南京•期中）已知盛一。k=石，则小一。-2=（）

A.3V5B.±3V5C.21V5D.±21遍

【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得.

【解答过程】由。2—a2=通得（（12-。2）=a—2+a"1=5,即a+a-1=7,

故成+a-2=J（Q5+a"）=Va+2+a-1=V9=3»

故Q-=（02+a-z）（a.2-aw）=3V5

故M—Q-2=（Q+a-1）（a—a-1）=21Vs.

故选：C.

【变式5.2]（24-25高一上•全国裸后作业）（1）已知2a=4,求（值一后）+府的值；

（2）已知Q2+Q-1=O,求（"十%（军）2的值.

Va8-2

【解题思路】（1）由2a=4得Q=2,进而根据分数指数暴的运算性质求解即可；

（2）根据分数指数累的运算性质求解即可.

【解答过程】（1）由2a=4,得a=2,

贝联府一口尸万=零交=享=24一2：一左一女三一容

（2）因为a?+a—1=0,则a?=1—a,a4=（1—a）2=a2—2a+1=2-3a,

1___1

竺竺士空）_（a2+a）'a2_1-a2_a_1

、刷-2-a4-2-a4-2--3a-3*

【变式5.3]（24-25高一上•江苏南通•阶段练习）已知%—=28（工＞0）,求下列各式的值:

【解题思路】（1）将原式平方后可得/+%-2=14,再配方后可得4+%T=4,故可求原式的值;

（2）结合（1）中的结果配方可得£+无吩=灰，故可求原式的值.

【解答过程】（1）因为％-厂1=28，故为2+%-2=12+2=14,

故/+x~2+2=16,而x>0,故x+X-1=4,

士y2r-2_（x-x-1）（x+x-1）_2>/3x4_4代

x2+x-2-14-14一

（2）由（1）可得%+%T=4,故%+*T+2=6,

故晟+X~2=瓜故学二=2=乎.

X2+X-2，63

【题型6指数嘉等式及塞的方程问题】

【例6】（24-25高一上•全国•课后作业）方程3迎为T=£的解是（）

A.-V2B.--C.V2D.—

22

【解题思路】先将方程化为同底数幕的形式后，再求解即可.

【解答过程】由3'展t=/得36“一］=3-2,

所以近％—1=-2,\［2x=-1,

解得“一当

故选：B.

【变式6.1］（2025高一•全国・专题练习）方程5*T-103%=8"的解集是（）

A.{1,4}B.制C,{1用D.{*}

【解题思路】根据题意，先把1。3,转化为53X.23X,且8*=23、然后再化简求值即可.

【解答过程】原方程可化为：5X-1-53X-23X=23X,即5"一1=1,解得：x=\.

故选：B.

【变式6.2］（24-25高一上•北京顺义・期中）关于工的方程铲-2%=2的解为％=1.

【解题思路】由小-2*=2可得出（2*+1）（2、-2）=0,结合乃>0可求得x的值.

【解答过程】由4*-2*=2可得（2%）2-2*-2=0,即（2、+1）（2、-2）=0,

因为2*>0,可得中=2,故x=l.

所以，方程关于“的方程4、-2'=2的解为x=l.

故答案为：x=1.

【变式6.3］（2025高三・全国・专题练习）方程81x3?x=（以的解为一2.

【解题思路】根据指数显运算求解即可.

z<\x+2

【解答过程】V81x32X=Q)，：.32X+4=3-23+2),

则2%+4=—2(%+2),解得％=—2.

故答案为:-2.

【题型7指数幕等式的证明】

【例7】(2025高一•全国•专题练习)已知a>0且aH1,(2a)m=a,(3a)m=2a,求证：0rm=2n.

【解题思路】根据题意，由群=鼠=2,得至略广=2,即可得到证明.

【解答过程】证明：・・・a>0且a学1,(2。)"==2a,

,(3a)m_2a_.p\m_

,--2,-?2,

【变式7.1](2025高三・全国,专题练习)设a,b,c都是正数，且3a=2》=6J求证：工=工+:

cab

【解题思路】令3a=2d=6C=t(t>0),得到3=/,2=tt6=自由3x2=6建立等量关系便得证.

【解答过程】令3。=2〃=6。=£«>0),则3=仁，2=it6=tc.

很显然有=仁，・•，+：=1.

abc

【变式7.2](24-25高一•全国•课后作业)设卜++卜+浮6=%且%，六〃均为正数，求

222

证：%3+y3=Q3.

【解题思路】根据根式和分数指数塞的运算法则进行化简，即可得到结论.

【解答过程】Jx2++Jy2+=Jx24-X^y3++X3y3

\Jt（点+=yft't==a,即必=t,

【变式7.3】(24-25高一•全国•课后作业)若〃“为不等于I的正数,并且实数x,y,z满足关系式";，・求

证：

(1)若标=8、，则ax=(ab)z；

(2)若。x=(ab)z,则6y=(ab)z.

【解题思路】(1)依题意可得y=言，代入标=9，根据指数易的运算法则计算可得；

(2)依题意可得a=£•£,由二+工=工可得三=1-3工=1一二再代入根据指数箱的运算法则计算可得.

xy2xyyx

【解答过程】(1)证明：由X：」Z，得叱X-Z，工

ax=by,[ax=by.@

xzz

将①代入②，得a*=bx^,.*.a=bx^,*»a~=b,•,嚎=M,t\ax-(。匕产

(2)证明：由Qx=(a，)z,得Q=(ab)?=Q'b：,

..1.11.z<ZZ4z

•一+-=-,••-=1----,-=1----・

xyzxyyx

由0=0看•康，得/心=广；，即cJ="4,

・・・az=b，-z.两边同乘以<,得一=(就产.

»课后作业(19题)

一、单选题

I.(24-25高一上•贵州毕节•期中)设Q>0,则，砺的分数指数累形式为()

1131

A.«3B.asC.a*D.a&

【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案.

【解答过程】Ma\[a=Ja.9=(加]=a3.

故选：A.

2.(24-25高一上•江西赣州•开学考试〉下列运算正确的是()

A.a2-a3=a6B.(-2a2)3=-6a6

C.(3a+l)(3a-l)=9a2-lD.(2a3-a2)4-2a=2a-1

【解题思路】根据题意，由指数箱的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【解答过程】对于A,a2-a3=a5,故A错误；

对于B,(-2a2)3=-8a6,故B错误；

对于C,(3a+l)(3a-l)=9a2-l,故C正确；

对于D,(2a3—a2)2a=a('2a~a^=a2故D错误；

故选：C.

3.(24-25高一上•湖北武汉•阶段练习)(一8尸+飞5-铲-0.5-3=()

A.16-irB.TCC.-nD.-TT—8

【解题思路】由根式和指数的运算法则计算即可.

［解答过程］V（-8）2+75-4）4-0.5-3=（43）3+|n-4|-Q）=4+4-n-8=-n.

故选：C.

4.（24-25高一上•江苏宿迁•阶段练习）下列等式成立的是（）

A.%3=—Vx（xHO）B.3尸=V-3

C.yjx3+y3=（x4-y）zD.=V3

【解题思路】根据根式与指数事的运算及特殊值法验证即可得答案.

【解答过程】对于A,蓝=以（工工0）,故A错误；

对于B，认-3尸=底=9>0,gV0,故B错误；

对于C,当％=l,y=1,时，y/x3+y3=V2,（x+y）2=2i=2Vz故C错误；

1

对于D,VV9=|^93p=96=32X6=V3,故D正确.

故选：D.

5.（24-25高一上•河南•阶段练习）江豆F+V（n-4）4-0.5-3=（）

A.16—nB.nC.—nD.-n—8

【解题思路】由根式和指数的运算法则计算即可.

【解答过程】原式=（43）5+|TT-4|-0=4+（4-TT）-8=-IT.

故选：C.

6.（24-25高一上•上海•期中）设Q>0,下列计算中正确的是（）

C.a~4-a4=0D.点+加=Q

【解题思路】利用指数第的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解.

323213

【解答过程】对于选项A,az-as=az+3=aT,故选项A错误，

对于选项B,（a2）3=azx3=a,故选项B正确，

对于选项C,。-4.。4=。-4+4=a=1,故选项c错误，

对于选项D,Q24-Q3=a~3=Q6,故选项D错误，

故选：B.

7.（24-25高一上•重庆渝北•阶段练习）已知正数a,b满足V5xV§=2,则3a+2b的最小值为（）

A.10B.12C.18D.24

【解题思路】结合指数暴的运算性质化简得-+^=1，再结合基本不等式的妙用即可求解.

ab

【解答过程】由题意，V4X78=2^x21=2^4=2,.*.-+^=1,

ab

3a+2b=偿+§（3Q+2匕）=6+6+?+^Z12+2旧卡=12+2x6=24,

'4b_9a

当且仅当21；?，即时，等号成立.

ab

故选：D.

8.（24-25高一上•全国•课后作业）已知a=偿）Lb=2x/3x3gc=V（3+TT）4,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【解题思路】由分数指数累、根式先化简，再比较大小即可.

【解答过程】a=（缴2=（看）<（1.5）3==2V3x36=21-2X32+Z+1=22x32=9A/2,

c=7（3+TT）4=3+TT,

根据实数的大小关系可得9&>3+n>即b>c>a.

故选：c.

二、多选题

9.（24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期中）下列各式错误的是（）

A.=y3B.a3+a4=a7

C.x~3=—\[x（%¥：0）D.y[a>fa=as

【解题思路】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幕的运算法则和根式的运算法则得到答案.

【解答过程】对于A,当y<0时，=y6=-y5,故A错误；

对于B,a=1时显然等式不成立，故B错误;

对于C,工一三二G）3=小（无H0）,故C错误;

对于D,故D正确.

故选：ABC.

10.（24-25高一上•河北衡水•阶段练习）下列根式与分数指数哥的互化正确的是（）

A.—yjx=(―X)2B.772=ys(y<0)

C.x~3=yj=(x>0)D.(V(—x)2)4=%5(x>0)

【解题思路】根据根式与分数指数累的互化及指数粒的运算法则逐项判断.

【解答过程】对于A,-«=-葭，x>0,故A错误；

对于B,=-y3(y<0),故B错误；

对于C,%"=^=^=(%>0),故C正确；

X3"

对于D,(在守):(或"岂％弼=%沁>0),故D正确.

故选：CD.

II.(24-25高一上•河南漂河•阶段练习)已知Q-&+Q6=3,下列各式中正确的是()

2233

A.o^+a-^=7B.a^+a-^=18

-

C.aT+a?=V5D.(T26y+_-1—==2A/5

at瓜瓦示

【解题思路】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果.

【解答过程】A：a2^+a-2^=(a-^+=9-2=7,故A正确；

375

B：a+Q-38=(Q-6+06)(Q_2百_a-V3+V3+=3x(7-1)=18,故B正确;

C：aT+a~^=K涓+a4)=Ja-G+Q6+2a学/=VI转=遥，故C正确;

D»a~2^J~a^+

a-26百

303\[3

=a--2-+a2

(叵-母/代g逅-逅、

=(az+a2IlaV3+aV3-a22I

=>/5x(3-1)=2次，故D正珈；

故选：ABCD.

三、填空题

12.(24-25高一上•广西南宁•阶段练习)若2nl=3,2n=5,M2m+n=15.

【解题思路】根据指数幕的运算法则求解.

【解答过程】若2m=3,2n=5,ffl2m+n=2m-2n=3x5=15.

故答案为：15.

Jo的值为42+1.

13.(24-25高一上•陕西咸阳•阶段练习)册+(募)()+(T)05+

【解题思路】根据指数幕运算求解即可.

【解答过程]原式\或一]+1+[Gy]。'+Jc)63=企+伊-1+JQJ*=V2+^+^=72+i.

故答案为：V2+1.

14.(24-25高一上・江苏苏州•阶段练习)若/一3%+1=0,则毕与=华.

X2+X~2b

【解题思路】利用鼎指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果.

【解答过程】因为/-3%+1=。，所以为+>3,即％+八=3,

两边平方得：/+2=7,即/+%-2=7,

而13+=%4-%-1+2=3+2=5»所以如+x~=y/5,

仙［”+X-z77V5

则工71=忑=可

故答案为：斗.

四、解答题

15.(24-25高一上•海南・期中)计算:

⑴(2》。5-(3.14)。一(353+1.5-2

qo

(2)Ja2Va^+VVa-7Va^(a>0)

【解题思路】(1)根据幕的运算法则计算;

(2)把根式化为分数指数累，再由累的运算法则求解.

【解答过程](I)(2；)°'—(3.14)°—(3：)工+1.5一2=(|)2X0-5-1-(|)3X(4)+(|)-2

22

=I-1-(I)-+(I)-=1.

11

(2)原式=(aS-5丫+(a-边5]=(a3)3-a-(a2)2=Q♦a=1.

16.(24-25高一上•全国•课后作业)将下列根式化成分数指数嘉的形式：

(lyJaVa(a>0)；

(3)Jd-5(b>0)；

(4)^a^/aVa.

【解题思路】（2）（3）（4）将根式化为分数指数塞，结合指数幕运算求解即可.

【解答过程】(1)原