直线与圆、圆与圆的位置关系-2026高三一轮复习讲与练

8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

考试要求

1

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

座备知识回顾自主学习•息班回扣

教材回扣

1.直线与圆的位置关系

设圆的半径为厂(，＞0),圆心到直线的距禽为4则直线与圆的位置关系如下表所示.

直线、圆的方程

位置公共点几何

图示组成的方程组的

关系个数特征

解

Ce

相离0无实数解

C

两组相同的实数

相切1d=r

1解

C

两组不同的实数

相交2d<r

1解

2.圆与圆的位置关系

两个圆的方

位置图示公共点公切线几何特征

程组成的方

关系(R»)个数条数(QG—4)

程组的解

外离04无实数解

两组相同

外切13d=R+r

的实数解

R—r<两组不同

相交22

d〈R+r的实数解

两组相同

内切d=R-r

11的实数解

内含00d〈R-r无实数解

VLJ教材拓展

与切线、切点弦有关的结论

(1)已知

0O1：/+炉=产；

。。2：(x—a)2-^-(y—b)2=i2；

。。3：f+f+。工+为，+F=0.

①若点M(xo,州)在圆上，则过M的切线方程分别为4a+了吵=产；(x—a)(xo-4)+(y—b)(yo

一人)=户；xs+yoy+Q•觉:，+E•次;“=0.

②若点M(xo,次)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点、为Mi,M2,则切点弦(两切点

的连线)所在直线的方程分别为xox+j梦=/；(x—4)(X0—a)+(y—6)=户；工胡+、吵+

0.'。+工+?次+、+9=0.

22

(2)圆/的斜率为左的两条切线方程分别为y=质切1+X.

(3)过圆/+产+6+阶+/=0外一点M(xo,次)引圆妁切线，7为切点，切线长公式为[M7]

=xo4-yo+Dx()+Eyo+F.

(4)若圆G：》2+产+。[戈+£少+/7]=0,圆C2：x2+y2+Z)2x+£2y+/72=0相交，则两圆

的公共弦所在直线的方程为(Qi—。2卜+(£|—EzR+R—尸2=0.

基础检测；

1.判断(正确的画“J”，错误的画"X")

(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(X)

(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(X)

(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有旦只有一组实数解，则直线与圆相

切.(J)

(4)“女=0”是“直线》+y+〃=0与圆F+y=i相交”的必要不充分条件.(X)

2.(人教A版选择性必修第一册P93Tl改编)直线/：y=x+l与圆C(4一1)2+尸=4

的位置关系是(A)

A.相交B.相切

C.相离D.都有可能

解析：圆C的圆心坐标为(1,0),半径为2,直线/的方程为x-y+l=0,圆心到直线/

的距离为"一0+"=2<2,所以直线/与圆C的位置关系是相交.故选A.

1+1

3.(人教A版选择性必修第一册P93T3改编)直线/：x+2y+4=0被圆C：(x-3)2+(y

+1)2=9截得的弦长为(C)

A.2B.23

C.4D.25

解析：圆C:(x-3)2+e+1)2=9,所以圆心C(3,-1),半径r=3,所以弦心距为"=

|3+2X(-1)+4|=所以弦长为，=2/一/=4.故选c.

F+22

4.(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)圆'2+y=1与圆。-2)2+产=1的

位置关系是(B)

A.相交B.外切

C.外离D.内含

解析：圆/+炉=1的圆心为(0,0),半径为1,圆。一2户+炉=1的圆心为(2,0),半径

为1,可知两圆圆心距为2,恰好等于两圆半径之和，所以两圆外切.故选B.

母键能力提升互动探究•考点希讲

考点1直线与圆的位置关系

命题角度1直线与圆位置关系的判断

【例1】直线"一丁+2—％=0与圆/+产一公一8=()的位置关系为(C)

A.相交、相切或相离B.相交或相切

C.相交D.相切

【解析】方法一直线"一y+2—々=0的方程可化为£(x-l)—。，-2)=0,则该直线

恒过定点(1,2).因为卜+22—2><1—8<0,所以点(1,2)在圆/+产一级一8=o的内部，所以

直线kx-y+2-k=0与圆/+产-2入-8=0相交.故选C.

方法二圆的方程可化为(》一1)2+»2=32,所以圆的圆心为(],()),半径为3.圆心到直线

去一卜，+2—々=0的距离为k+2一4=2w2V3,所以直线与圆相交.故选C.

1+k21+产

"规律总结

判断直线与圆的位置关系的常用方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离Q与半径,•的关系判断.

(2)代数法：联立方程并消元后利用/判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

命题角度2弦长问题

【例2】(2024•辽宁抚顺三模)已知直线y=x+l与圆C：/+产=5相交于M,N两

点，。为坐标原点，则△MON的面积为(A)

A.3B.2

2

C.5D.4

2

【解析】设点。到直线MV的距离为乩则"1°一°+”=2,圆。的圆心为原点。,

22

广〕2123

半径为5,则|MN|=2(5)2-l2J=32,所以SM/OV=X32X"=’故选A.

222

」规律总结

弦长的两种求法

(1)代数法：将直线和圆的方程联立为方程组，消元后根据根与系数的关系及弦长公式求

弦长.

(2)几何法：若弦心距为“，圆的半径为「，则弦长/=2/一建.

命题角度3切线问题

【例3】一束光线从点Q,3)射出，经x轴反射后与圆(x+3)2+。一2卜=1相切，则入

射光线所在直线的斜率为(C)

A.6或5B.5或4

5645

【解析】点尸(2,3)关于x轴的对称点户(2,—3)在反射光线所在的直线上，可诙反射

光线所在直线的方程为卜+3=网工-2),即去一p一2Z—3=0,反射光线与圆。+3)2+。一2)2

=1相切，则I―5左一5]=],解得左=一4或％=-3,由于反射光线与入射光线的倾斜角互补，

F+134

则入射光线所在直线的斜率为4或3.故选C.

34

,规律总结

圆的切线方程的求法(切线斜率存在)

(1)几何法：设切线方程为少一泗=左。-xo),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线

的距离乩然后令d=厂，进而求出％.

(2)代数法：设切线方程为歹一次=用不一期),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一

元二次方程，然后令判别式/=0,进而求出A.

命题角度4直线与圆位置关系中的最值问题

【例4】(2024•湖南邵阳三模)已知直线/：x—y—2=0与圆。：x2+/=l,过直线

/_L的任意一点尸作圆O的切线口，PB,切点分别为4B,则/的最大值为(C)

3兀27c

A.B.

43

C.71D.兀

26

【解析】由题意可知圆0:r+产=1的圆心为。（0,0）,半径为1,则圆心。到直线

/的距离为广2|=2>1,可知直线/与圆。相离，如图所示.因为NX尸6=2/力尸O,且sinZAPO

2

=1'D，所以当I*最小时，sin/4Po最大，可得/4Po最大，即N4PB最大,又因

为|OP|的最小值即为圆心。到直线/的距离2,Msin/APO=所以//尸8

24

取得最大值；.故选C.

/规律总结k

直线与圆的位置关系的问题中，对于与圆的切线有关的线段长度范围（最值）问题，解

题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数

值域的方法求得结果.

【对点训练1】（1）（2024•江西吉安模拟）已知圆C炉+产一6%+8=0与直线行一y

+2=0有公共点，则整数”的值为（B）

A.-3B.-1

C.1D.2

解析：由题意可知圆C的标准方程为（工一3）2+产=1,圆心为（3,0）,半径/=1,所以

|3L02|W],得|34+2|W炉+1,即8必+12k+3W0,可得一3-3^A<-3+又£WZ,

好+（-1）244

故片=一1.故选B.

（2）（2024•全国甲卷理）已知力是〃，c的等差中项，直线仆+制+c=0与圆x2+.F+4y

-1=0交于4B两点,则|/用的最小值为（C）

A.1B.2

C.4D.25

解析：因为b是a,c的等差中项，所以“一2/）+c=（）,所以直线at+by+c=0恒过点

尸（1,-2）,因为12+（—2）2+4乂（-2）—1<0,所以点尸（I,一2）在圆/+产+41，-1=0内，

设圆心为C,则当PC_L/1B时，|48|取得最小值，此时|pq=l,\AB\=25-|PCp=4.故选c.

（3）（2024•四川德阳模拟）已知。C：。-2）2+产=1,过出标原点。作（DC的两条切线，

切点分别为儿B，则四边形CMC"的面积为（B）

A.1B.3C.2D.23

解析：由题意得。C圆心为(2,0),半径1=1,如图所示，QC]=2,则|。4|=。8|=10cl2一a

卜|竹|0川)=

=3,则四边形CUC8的面积优=2X3.故选B.

(4)(2024•河北沧州一模)过点F(l,2)作圆O：/+)2=相互垂直的两条弦力。与80,

则四边形力8CD的面积的最大值为(D)

A.66B.215

C.96D.15

解析：如图所示，过点、。作OW_LHC,ONVBD,垂足分别为M,N,连接OP,9.']\OP\

=5,记|OM=/〃，

|CW]=〃

\BD\=210—S中分4雨刀=；/。卜

10—»>»2_1—10—〃2

\BD\=210-rn2-10一"W2X】u=15,当且仅当10—〃,=i()一〃2,即小

2

=〃=1°时,取等号.所以四边形力〃。。的面积的最大苞为15.故选D.

2

考点2圆与圆的位置关系

【例5】(1)(2024•广东深圳模拟)已知圆M：《-2ax=0(8>0)的圆心到直线2x

+y=2距离是5,则圆M与圆N：(x-2)2+S+l)2=l的位置关系是(C)

A.外离B.相交

C.内含D.内切

【解析】圆A4:x2—2ax=0(a>0),即(X—4)2+产=〃2(4>0),其圆心、半径分别为

0),n=a,圆N:Q—2>+(y+1)2=1,其圆心、半径分别为N(2,-1),/-2=1,因为

5,所以4=7或1=-3(舍去)从而/2,0)

|2。一2|_

M(a,0)到直线2x+y=2的距离d=

522

Q17

所以|M/V]=+1="，因为|[MV]=13<〃一米=5,所以圆M与圆N的位置关系是内含.故

4222

选C.

(2)(多选)(2024•湖南长沙模拟)若圆。：X2+J2+2X—3=0与圆5：―+炉一2y—1

=0交于力，8两点，则下列选项中正确的是（BC）

A.点（1,一1）在圆。内

B.直线43的方程为x+y—1=（）

C.圆。|上的点到直线48距离的最大值为2+2

D.圆。2上存在两点P,0,使得|尸即|第

【解析】因为12+（-］）2_2X（—1）-1=3>（）,所以点（1,一1）在圆Q外，故A错误；

圆。：炉+产+2工-3=0与圆Q:炉+产-2y—l=0交于力，6两点，将两圆的方程相减可

彳导x+y-l=0,即公共弦4?所在直线的方程为x+y—1=0,故B正确：圆。的圆心坐标

为（一1,0）,半径为2,圆心Q到直线，­1=0的距离d=LI—"=2,所以圆Oi

2

上的点到直线距离的最大值为2+2,故C正确；直线48经过圆。2的圆心（0,1）,所

以线段43是圆。2的直径,故圆。2中不存在比力〃长的弦，故D错误.故选BC.

规律总结

I.判断两阅的位詈关系时常用几何法，即利用两阅囱心之间的距离与两河半径之间的关

系，一般不采用代数法.

2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去炉，J，2项得到.

【对点训练2】（1）（2024•河北石家庄二模）已知圆。：x2+y2=5与圆。2：F+产一

2x—4y=0交于4B两点,则|48|=（C）

A.5B.5

2

C.15D.15

2

解析：因为圆。|：R+y2=5与圆a：d+产-2》一4>，=0交于44两点，所以直线

的方程即为两圆方程相减所得方程，即2x+4y—5=0,且圆。：/+炉=5的半径为5,圆

I-51sf42

心。（0,0）到直线2x+4p—5=0的距离d=；，+；,=；,所以0用=2（5）2-l2j=15.

故选C.

22

（2）（多选）（2024•黑龙江齐齐哈尔一模）已知圆G：0-3）2+y=1,C2：x+（y-a）=

16,则下列结论正确的有（BCD）

A.若圆G和阿G外离，贝

B.若圆G和圆C2外切，则。=土4

C.当。=0时，圆G和圆C2有且仅有一条公切线

D.当。=-2时,圆G和圆C2相交

解析：由题意得，圆G的圆心G（3,0）,半径内=1,圆C2的圆心C2（0,a）f半径「2=

2

4,|GG|=9+标若©和G外离，«'j|CiC2|=9+a>r+r2=5,解得。>4或4〈一4,故A

错误；若G和C2外切，H|CIC2|=9+/=5,解得〃=±4,故B正确；当a=0时，|GQ|

=3=r2-n,G和C2内切，故C正确；当。=-2时，3<|CIC2|=13<5,G和C2相交，故

D正确.故选BCD.

课时作业56

是基础巩固.

1.(5分)(2024•四川南充二模)已知圆C：/+入+/-1=0,直线/：x+〃0,-1)=0,

则直线/与圆C(D)

A.相离B.相切

C.相交D.相交或相切

解析：根据题意，直线/:x+〃(y-l)=O恒过定点户(()，1),又由圆C:x2+2x+f-\

=0,即(X+1)2+V=2,其圆心为C(-l,0),半径为/=2,由|PCF=12+12=2=/,得点

。在圆。上，则直线/与圆C相交或相切.故选D.

2.(5分)(2024•贵州六盘水三模)已知直线ox-y+2=()与圆(x-l)2+f=4相交于力，

8两点，若|力与=23,贝lj«=(C)

4

A.B.1

3

C.—3D.-2

4

解析：圆(x-l)2+y=4与直线or-y+2=0相交于.4,B两点,JL\AB\=23,则圆心(1,

0)到直线如一)，+2=0的距离d=〃+2]<2=几利用垂径定理得屋+(3)2=4,所以“+2]

〃+1标+1

=1,解得〃=一3.故选C.

4

3.(5分)(2024,云南昆明一模)过点尸(一2,0)作圆C：7+产―4x—4=0的两条切线，

切点分别为4B,则四边形刃C6的面积为(C)

A.4B.42

C.8D.82

解析：由♦+炉一十一4=0,得。-2)2+产=8,则圆心C(2,0),半径/=22,则|PC|

=4,|P6|=16-8=22,则四边形以。的面积为2SM*=2X；X22X22=8.故选C.

4.(5分)(2024•山所吕梁二模)已知48分别是圆G：/+产=1与圆。?：。一。产十

°，一4)2=36(。20)上的动点，若M用的最大值为12,则q=(D)

A.0B.1

C.2D.3

解析：圆G:x2+y=1的圆心为Ci(0,0),半径厂=1,圆Cz：(x—a)?+(y—4)2=36(a20)

的圆心为C2(a,4),半径R=6,由题意知|力用的最大值等于12,故两圆外离,则|/8|皿=|©。2|

+/?+/•=12,所以。。2|=*+42=5.又。20,所以〃=3.故选D.

5.(5分)圆G：炉+产-2x=10与圆Cz：(x+Zp+g—4尸=16的公共弦长为(A)

A.27B.7

C.6D.26

解析：圆G,。2的圆心和半径分别为C|(1,0),。2(—2,4),r=11,R=4fR-K\CiC^

=5</?+r,故两圆相交，将两个圆的方程作差得6丫-8)，+14=0,即公共弦所在的直线方程

为3》一4)，+7=0,又知。2(—2,4),R=4,则圆心。2(—2,4)到直线3x-4y+7=0的距离d

22

_|3X(-2)-4X4+7|_15_3所以公共弦长为24-3=27.故选A.

32+425

6.(5分)(2024•山西晋中三模)已知圆C：/+/一4工+2)，+1=0,过圆C外一点P作

两条夹角为;的直线分别与圆。相交，当所得的弦长均为2时，\CP\=(B)

A.2B.23

C.4D.32

解析：圆。的方程化为标准方程即为(》一2)2+8+1-=4,所以圆心C(2,-1),E半径

件

〃=2.而一条直线被圆C所截得的弦长为2,所以圆心C(2,—1)到该直线的距离4=^-12)

=22-1=3.记。到其中一条直线的投影为“，则|C〃|=d=3,由对称性，得/〃PC=1X元

23

ICM3

=:,所以叱==23.故选B.

sinAHPCsin

6

7.(6分)(多选)(2024•福建南平二模)已知圆C：Q—1)2+。-2)2=25,直线/：(2m

+l)x+(〃?+l)y—7〃[-4=0(m£R),则(ACD)

A.直线/过定点(3,1)

B.x轴被圆。截得的弦长为45

C.当m=-2时，圆C上恰有2个点到直线/的距离等于4

D.直线/被圆。截得的弦长最短时，/的方程为2x—y—5=0

o_|__7=o

解析：直线/的方程变形为(2x+y—7)〃?+x+y-4=0,令〜vv'解得

x+p-4=0,

(=3

'''所以直线/恒过定点P(3,1),故A正确：圆C的圆心C(l,2),半径/=5,圆心

尸1，

C(l,2)到x轴的距离为2,所以x轴被圆C截得的弦长为252-22=221,故B错误；当m

=一2时，直线/:3工+厂10=0,此时圆心C(l,2)到直线/的距离"=0+2—13=?而

9+12

r-d=5-10<4,所以当加=一2时，圆C上恰有2个点到直线/的距离等于4,故C正确；

2

11

当PC_L/时，弦长最短，比时即=一=一[_)=2,因为直线/过定点P(3,1),所以/的

kep1/

3-1

方程为歹一1=2。-3),化简为2x-y-5=0,故D正确.故选ACD.

8.(6分)(多选)(2024•山东青岛三模)已知动点〃，N分别在圆G：(x-l)2+(y-2)2

=1和。2：(x—3)2+0,一守=3上，动点P在x轴上，则(BD)

A.圆C2的半径为3

B.圆G和圆。2相离

C.|PM+|PN|的最小值为210

D.过点。作圆G的切线，则切线长最短为3

解析：圆G的圆心。(1,2),半径门=1,圆C2的圆心C2(3,4),半径,・2=3,A错误；

|CIC2|=22>1+3,所以圆G和圆。2相离，B正确；圆G关于x轴对称的圆为Co：。-

+3+2)2=1,Co(],一2)：连接C0C2交x轴于点P,连接PCi,如图所示，由圆的性质，

得|PM+TM2TG|-1+|PC2|-3=|PCO|+|PC2|-I-321coe3一1-3=210-1-3,

当且仅当点P与Pi重合，且M,N是线段PiG,P1C2分别与圆G和圆C2的交点时取等号，

C错误：设点尸”，0),过点P的圆G的切线的切点为力,连接力。，则|4|=\PC^-\AC^

=(Z-l)2+22-l^3,当且仅当f=l,即q(1,0)时取等号，D正确.故选BD.

9.(5分)(2024•河北张家口三模)圆G：(戈-1)2+产=|与圆C2：(》一5)2+0,-3>=36

的公切线的方程为4X+3F+1=0.

解析：圆G的圆心为G(l,0),半径为1,圆C2的圆心为。2(5,3),半径为6,因为|GC2|

=(5-1)2+(3-0)2=5=6-1,所以两圆内切，只有一条公切线，将圆G,。2的方程化为

一般式得G：r+产一以=0,G：r+y—iox—6y—2=0,两式相减得8x+6y+2=0,即

4x+3y+l=0,所以圆G,。2的公切线的方程为4x+3y+l=0.

10.(5分)已知圆C：f+j。-2ar—2y+1=0关于直线x—y—1=0对称，圆。与x轴

交于4B两点,则|48|=23.

解析：圆C:N+y2—2ax•—2y+1=0,即(x—“尸+6-1)2=标，圆心q%1),因为圆C

关于直线x-y-1=0对称，所以〃一1-1=0,解得a=2,所以圆C:(X-2)2+。-1)2=4,

圆心C(2,1),半径I=2,则圆心C(2,1)到x轴的距离〃=1,所以|44|=2r~cP=23.

11.(16分)已知直线/经过点P(l,0),圆C：x2+r+2x-6^+6=0.

(1)若直线/与圆C相切，求直线/的方程；

(2)若直线/被圆C截得的弦长为4求直线/的方程.

解：(1)由已知得，圆C:(x+1)2+6，-3)2=4.所以圆心坐标为(一1,3),半径为2.

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=l,此时直线与圆。相切，满足题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/：y=A(x-l),即依一丁一4=(),则圆C的圆心到直线/

的距离3f=2,解得2—5,

k2+\12

故直线/的方程为5x+12y—5=0.综上，直线/的方程为x=l或5x+12)，-5=0.

(2)因为直线/被圆。所彼得的弦长为455,所以圆心到直线/的距离为22-[5]2=

45

5

由(1)可知，直线/的斜率一定存在，设直线/:1),即y—加=0,则圆心到

直线/的距离为L〃'-3一训=45

加2+15

解得।或加=—29

22

故直线/的方程为x+2.y—1=0或29x+2p-29=0.

12.(17分)已知两圆M：/+*=]0和N：炉+必+左十2^-14=0.

(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；

(2)求过两圆交点且圆心在直线x+2y-3=()上的圆的方程.

解：(1)由圆A/:9+产=]0和圆Mr+产+2工+2)，-14=0,

两个圆的方程相减并整理，得工+j，-2=0,即两圆的公共弦所在直线的方程为工十卜一2

=0.

(2)由两圆方程，可得圆心M(0,0),M-1,-1),可得圆心连线所在直线的方程为y=x,

由圆的性质，可得所求圆的圆心在首线上，由方程组解得丫=尸=1,

k+2y—3=0,

则所求圆的圆心坐标为(1,1),

,.x2+^2=10,k=—1,[r=3,

由方程组，解得或v

.V24-v2+2x—2y—14=0,[v=3'=­I,

即两个圆的交点为(-1,3)和(3,-1),则所求圆的半径尸=(-1-1)2+(3-1)2=22,

所以所求圆的方程为(x-l)2+&-1)2=8.