直线与圆的位置关系（讲义）-2024-2025学年苏科版九年级数学上册

§2.5直线与圆的位置关系

2024-2025学年苏科版数学九年级上册

知识模块1

相关知识回顾

1、点到直线的距离：从直线外一点向这条直线画垂线，这___________________的长度，叫做点到直线的

距离。

2、点与圆的位置关系：若点于圆的距离为d,圆的半径为r。

(1)=;

(2)<=>；

(3)<=>o

知识点1：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系相交相切相离

图形

公共点的个数

公共点名称

直线名称

★判断直线与圆的位置关系的方法

直线与圆的位置关系可以用直线与圆的公共点的个数来判断，也可以用圆心到直线的距离(通常用〃表

示)与半径长(r)的大小关系来判断，如下表：

直线与圆的位置关系相交相切相离

公共点的个数210

圆心到直线的距离d与半径长，•的大小关系d<rd=rd>r

公共点的名称交占切点—

直线名称割线切线

重点剖析：当无法确定直线与圆有几个公共点是，通常过圆心作直线的垂线，计算垂线段的长度,

在与圆的半径进行比较，从而判断直线与圆的位置关系。

7知识典例...

【典型例题1】已知。。的半径是8,圆心0到直线1的距离为7,则直线1与。0的位置关系是（）

A,相离B.相切C,相交D.无法判断

【典型例题2】在RlZXABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=4cm,以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆,

则0c与AB的位置关系是（）.

B.相切C.相交I）.无法判断

【典型例题3】已知'"的半径为二直线,上有一点“满足0°一二则直线’与的位置关系是（）

A:相切B:相离C:相离或相切D:相切或相交

【典型例题4】己知，中，ZC=9O\斜边A8上的高为5cm,以点C为圆心，4.8为半径的圆与该

直线718的交点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【典型例题5】如图，ZAPB=30°,圆心在PB上的。O的半径为1cm,OP=3cm,若。O沿BP方向平移,

当30与PA相切时，圆心0平移的距离为cm.

加强化练习v

1.已知。O的半径是8,圆心0到直线1的距离为7,则直线1与。0的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法判断

2.直线1与半径为r的。O相交，且点0到直线1的距离为6,则r的取值范围是（）

A.r<6B.r=6C.r>6D.r263.

3.已知."的半径为2,直线/上有一点“满足"°则直线'与."的位置关系是（）。

A:相切B:相离C:相离或相切D:相切或相交

4.在加Al8「中，3叫=lnnf以「为圆心，/为半径作圆，若圆「与直线」〃相切,

则「的值为（）。

A.2「〃ig.2.4rm0p.irm

RtABC0c

5.在^中，NC=90°,4C=3,BC=1,以c为圆心,「为半径作文.若与斜边AB有

两个公共点，则r的取值范围是

6.在平面直角坐标系中，以点为圆心,1■为半径的圆与两坐标轴恰有四个公共点，则r的值或范围是

7.如图，/蟀?,心，点。是射线〃。上的一点，。/'[?若以点。为圆心，半径为L』的“沿山」

方向移动，当；“与〃d相切时，圆心。移动的距离为1

8.如图,。0的半径是3,点A在CO上，点P是O0所在平面内一点，且4P=2,过点尸作宜线/,使/1PA.

(1)点。到直线/距离的最大值为;

(2)若点M,N是直线/与。。的公共点，则当线段MN的长度最大时，0P的长为

9.等腰RsABC和。O如图放置，已知AB=BC=1,NABO909,。。的半径为1,圆心O与直线AB的

距离为5.

(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，。0不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

(2)若两个图形同时向右移动，AABC的速度为每秒2个单位，。。的速度为每秒1个单位，则经过多少

时间△ABC的边与圆第一次相切？

(3)若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，O0的速度为每秒1个单位，同时△ABC

的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了

多少距离？

(1)求证：与co相切.

(2)若正方形ABC。的边长为1,求半径0A的长.

【典型例题2】

2.如图，在.A8C中，NC=ZAED,以A8为直径的0。与AC相交于点。，E为ABD上一点.

⑴求证：BC为。的切线；

(2)若NAE£)=64。，ZE4D=76°,A3=4,求的的度数.

【典型例题3】

如空，直线MN交。O于A、B两点，AC是直径，AD平分NCAM交。O于D,过D作DE_LMN于E.

(I)求证：OE是。。的切线；

(2)若直径AC=15omAE=3cmf求DE的长.

【典型例题4】

4.如图，。是ABC的外接圆，A。是。的直径，尸是AO延长线上一点，连接。力，CF,且

^DCF=ZCAD.

⑴求证：C尸是切线;

加强化练习W

1.下列四个选项中的表述，一定正确的是（）

A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

2.在下图中，A8是。。的直径，要使得直线AT是。。的切线，需要添加的一个条件是.（写一个条

件即可）

4.如图，已知△力8C内接于。。，力8是。。的直径，点尸在。。上，且点。是弧8尸的中点，过点C作。。

的切线交AB的延长线于。点，交4万的延长线于E点.

(1)求证：AEIDE；

(2)若NO=3。。，AE=3,求G”的长.

5.如图，在ABC中，点尸是BC边上一点且满足以=心，0。是一ABP的外接圆，过点尸作

QO〃/W交AC于点D.

⑴求证：尸。是的切线;

6£ABC的三边长分别为7cm,24cm,25cm,则△ABC的外心到直角顶点的距离是.

10.如图，A8是。的直径，BD切。于3,弦AC〃OQ.

D

AB

O

⑴求证：。。是。的切线;

7.如图，△A4C为等腰三角形，0是底边3c的中点，腰44与。。相切于点D求证：4c是。。的切线.

8.如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,平分N8AC交8c于点。，0为A8上一点，经过点A,。的

分别交A8,AC于点£,F.

B、

(1)求证：是。的切线；

(2)若A/=8,CF=1,求0。的半径.

知识模块3

知识点3：圆的切线的性质定理(重点)

★经过半径的外端并且_______________________直线是圆的切线。

★判定直线是圆的切线有如下三种方法：

(I)定义:；

(2)数量关系：；

(3)定理：o

注意：如果直线上一个点到圆心的距离等于圆的半径，这条直线与圆不一定相切，可能相切也可能相交。

★切线的主要性质

①切线与圆只有一个公共点；

②圆心到切线的距离等于圆的半径长；

③切线垂直于过切点的半径；

④经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；

⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

切线的性质③④⑤可归纳为：已知直线满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线中的任意

两个，便可得到第三个结论。

♦知识典例

【典型例题1】如图，AB是0。的直径，点P为AB延长线上任意一点，点C为半圆ACB的中点，PD

切00于点D,连接CD交AB7点E。求证：PD=PEo

c

【典型例题2】如图，AB为。0的直径，C,E是。。匕不同于48的两点，过点C的切线垂直于4E交AE的

延长线于点。，连接4C.

(2)若4c=46，CE=3V3,则CO的长为

【典型例题3】如图，已知△力8c内接于。0,4B是。0的直径，点尸在。。上，且点C是弧B尸的中点,

过点C作。。的切线交4?的延长线于。点，交42的延长线于E点.

(1)求证:AE1DE；

(2)若ND=30。，AE=3,求CD的长.

备强化练习.•

I.如图，直线.与.〃相切于点A,AC,「。是."的两条弦，旦若・。的半径为5,=

2.如图，为."的直径，“°切.”于点「，交」〃的延长线于°,且则）。

A:加。B:bC:«0°D:6：工

3.如图,BD为圆0的直径，直线ED为圆0的切线,A、C两点在圆上,AC平分^BAD且交BD于F点.若

乙40E=19。，则^AFB的度数为何（）

A.9rB.10fc.116。D.112。

4.如图，4c是。。的直径，AB,5。是。。的弦，C。是。。的切线，C为切点，。。与。。交于点£若点。为

糜的中点，△。=32。，则//。2的度数为()

A.