浙江省衢州市2024-2025学年高一年级下册6月期末教学质量检测数学试卷（含答案解析）

浙江省衢州市2024-2025学年高一下学期6月期末教学质量检

测数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={-1,。,1}1=30。＜3},则人n8=（）

A.{0}B.{（）,1}C.{（）,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

2.己知点6为\^48。的重心（VA8C三条中线的交点），记/^=乙4。=白，则而=（）

cI-1rD.4+攵

A.-a+-bB.-a+—bC.-a^-b

22333333

“人+0”是“（g41”的（）

3.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

4.下列各单峰的频率分布直方图中,哪个图的平均数明显小于中位数（）

5.己知户是两个不同的平面，机，〃是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A.若tnl.a,n//a,则mInB.若a_L/A〃?ua,〃u/?,则〃?_L〃

C.若m〃&nua,则m//aD.若〃?ua,〃ua、mH。、n//p,则allp

6.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件A为“第一

次朝上的面的点数为质数”，事件区为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则P（AU3）=（）

11

ABc/D.——

-I-I12

7.在VANC中，A6=2,C=45。，QA_L平面A6C,且幺=2,则二棱锥〃一A8c’外接球的

表面积为()

A.2兀B.467rC.\2nD.36n

8.己知实数x>O,x>y,则以--2的最小值为()

x-yx

A.6-2B.2x/2-3C.0D.2-2夜

二、多选题

9.己知向量;二(l」),1=(8se,sine),则下列说法正确的是()

A.若不工则tan8=-lB.若d〃6,则e=H+

4

C.小5的最大值为2D.若吁,则/；在不上的投影向量为

fV242]

XZ

10.下列说法正确的是()

A.数据2,3,4,5,6,7,8,9的第75百分位数为7

B.若一组样本数据3,。，7,5,4,8的极差为5,则实数〃的取值范围为[3,8]

C.斗,“2，0々和如乃,%乂的方差分别为S；和S；,若y=2七-3(i=l,2,3,4),则

S；=45；

D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105,方差为24,

抽取女生5人，其平均数为102,方差为21,则这15名学生数学成绩的方差为25

11.已知函数/(力和g("的定义域均为R,若,f(x+l)是奇函数，g(x)是偶函数,且

f(x)-g(x-2)=2-xf则下列各式正确的是()

A.g⑴=-1B.^(-1)=1C./(3)=-2D./(g(-l))=2

三、填空题

12.已知复数2=个(i为虚数单位)，则|z|=.

试卷第2页，共4页

-X-LXXu

13.已知函数/(%)=《’/',若函数g(x)=/("-米-1恰有3个零点，则实数〃的

J(内一，卜"NU

取值范围是.

14.在长方体ABC。-A4GA中，A3=1,4C=84=2,E尸分别是C£，GR的中点.，记

平面AM截长方体所得两个儿何体的体积分别为匕、匕化工匕)，贝ljJ=.

四、解答题

15.已知V/WC的内角A&C的对边分别为a.>c,且力sinC-GcsingnO.

⑴求角8：

(2)若力=J7,e=3a,求VA5c的面积.

16.已知函数/(x)=loga(3-x)+loga(x+1).

(1)当Ovavl时，求/(X)的单调递增区间；

⑵若/(力22在工£0,|上恒成立，求实数〃的取值范围.

17.某次竞赛共有20道题，甲、乙、丙三位同学分别能答对其中的12道题，8道题和〃道

题.假设每道题被抽中的可能性相等，现从中任选一题，由三位同学独立作答.

(I)求甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率；

⑵若甲、乙、丙三位同学中至少有一人答对的概率为堇，求〃的值.

Jr

18.如图，在四棱锥P-ABS中，PB=PD,底面A8co是边长为旧的菱形，NBAD=§.

⑵若尸。J_A3,且PC与底面ABC。所成角的余弦值为孚.

(i)求小的长；

taxiULM1

(ii)点。满足PC=4PQ,求二面角。一48-。的正切值.

《浙江省衢州市2024-2025学年高一下学期6月期末教学质量检测数学试卷》参考答案

题号1234567891()

答案BBADACCBABBCD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】根据集合的交集运算求解.

【详解】因为A={-1,0,1},B={x\O<x<3}f

所以人口4={0」}.

故选：B.

2.B

【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解.

【详解】取BC的中点为。，连接A。，如下图所示：

因为G是VA8C的重心，所以AC=£A£i=；x；（A豆+4。）=；（々+4.

故选:B.

3.A

【分析】本题可先求解不等式再根据充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为指数函数y=（g）r在R上单调递减，

所以由（；）Yl=g）°,可得工20,

若4>0,那么一定有4"）,所以能推出（；尸小，充分性成立，

若（g）”l,即X2O,不一定能推出x>0,必要性不成立，

所以“x>0”是“（；）'<1"的充分不必要条件.

故选：A

4.D

【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中

答案第1页，共11页

点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解.

【详解】对于A和B,根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，故A

和B错误;

对于C,根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，故C错误.

对于D,根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，故D正确.

故选：D.

5.A

【分析】可根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理逐一分析选项.

【详解】对于选项A,若mJLa,根据线面垂直的性质可知/〃_!_〃，该选项A正确；

对于选项B,若al。，niua,nu。，则机与〃可能平行、相交或异面，选项B错误；

对于选项C,若〃?//〃，nua,则〃?//=或〃?ua,该选项C错误：

对于选项D,若〃?ua,〃ua,m/l/3t〃//£,当初〃〃时.a与£可能相交.

根据面面平行的判定定理，需，〃与〃相交时才有尸，该选项D错误.

故选：A

6.C

【分析】本题可先确定基本事件总数，再分别求出事件A、事件8、事件AC4包含的基本

事件数，最后根据概率的加法公式尸（AD8）=P（A）+P（8）-P（AC8）计算即可.

【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数〃=6x6=36.

骰子的点数为1,2,3,4,5,6,其中质数有2,3,5,

事件A”第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数%=3x6=18（第一次有3种质数

情况，第二次有6种情况），则外力=吆=理

n362

两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数.

第次为奇数，笫二次为偶数时，有3x3=9种情况；

第一次为偶数，第二次为奇数时，有3x3=9种情况.

所以事件8包含的基本事件数%=9+9=18,则2（8）=如二段:.

n362

事件表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”.

当第一次为2,第二次需为奇数，有3种情况；

当第一次为3或5,第二次需为偶数，各有3种情况，共3+3x2=9种情况.

答案第2页，共11页

□

所以P（Ac8）=x=a

根据概率力口法公式P（A=B）=尸（4）+尸（8）—尸（Ac8）=51+15-1a=3；

故选：C

7.C

【分析】根据正弦定理计算可得V"。外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根

据球的表面积公式计算即可.

【详解】由已知得，作下图，设VA8C外接圆的半径为「，

已知A3=2,C=45,sinC=sin45=—.

2

2AB_2泾

根据正弦定理可得sinC也，解得，"夜.

T

因为尸A_L平面ABC,所以二棱锥，一A〃C外接球的球心至IJ平面ABC的距离c/=^PA=\,

所以外接球半径虫=芯②=衍=6

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4nx（6）2=4兀x3=12冗.

【分析】将原式变形为用--上=2+0-3,利用基本不等式求解.

x-yxx-yx

【详解】•.•%＞（）,工＞»',则x-y＞o,

.上一上二2,一2（.・），）一=二）=二+0-3之2&—3,

x-yxx-yxx-yx

2xr-v

当且仅当‘一=—时，等号成立，

x-yx

所以且--2的最小值为2&-3.

x-yx

故选：B.

答案第3页，共11页

9.AB

【分析】对于A利用数量积的坐标运算和同角三角函数基本关系即可判断，对于B利用共

线向量的坐标运算即可判断，对于C利用数量积的坐标运算和三角恒等变换即可判断，对

于D利用投影向量的定义即可计算，进而判断.

【详解】对于A：-Lbf所以=cos0+sin0=O=sin0=-cos0=tan0=-l，故A

正确；

对于B：若所以cosO=sine=>tan〃=l=>e=¥+E,ZeZ,故B正确：

4

对于C：由4/=cos0+sine=&sin(0+；),所以那5的最大值为血，故C错误；

对于D：若6=]"=(0,l),所以方在。上的投影向量为时•间=词》=5(1，1)=(5，讣

故D错误.

故选：AB.

10.BCD

【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C

根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断.

74-R

【详解】对于A：由8x75%=6,所以第75百分位数为g=7.5,故A错误；

对于B：若一组样本数据3,〃，7,5,4,8的极差为5,所以故B正确；

对于C：若)，j=2Xj-3(i=l,2,3,4),即S；=4S；,故C正确;

对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为元=去105+今102=104,

所以这15名学生数学成绩的方差为/=*[24+(105-104)[+•[21+(102-104)[=25,

故D正确.

故选：BCD.

11.ACD

【分析】由题意得“l—x)+/(l+x)=0,又“—)=2r得

==进而得g(x-l)+g(_x_l)=_2,通过赋

值即可求解.

【详解】山题意有〃l—x)+/(l+x)=O,g(r)=g(x),又〃x)_g(x_2)=2_x,

答案第4页，共11页

所以/(l+X)-g(X-l)=l-X,/(l-X)-g(T-I)=l+X,

所以g(x-l)+g(_l)=_2,又g(_x)=g(x)得g(l)+g(x+l)=_2,

令x=。得g(—l)+g(l)=-2ng(-l)=g(l)=-l,故A正确，B错误;

由/(x)_g(x_2)=2_x,令工=3有/(3)=g(l)—l=_2,故C正确;

g-g(x+l)=_2,令％=2得g(l)+g(3)=-2=g(3)=T,

X/(A)-5(A--2)=2-A-,令x=—l得〃-1)=8(-3)+3=屋3)+3=2,

所以/(g(T))=/(—l)=2,故D正确.

故选：ACD.

12,正

2

【分析】将复数z化简，再根据复数的模的计算公式求解.

【详解】z=—=^?i=—=-i-i,

2i2i2-22

所以IW=J（_；）2+（T）2=日

故答案为：亚

2

13.

【分析】分析函数“X）的图象，再将g（x）=〃x）-依-1恰有3个零点转化为了（X）与

），=辰+1的图象恰有3个交点，进而求解k的取值范围.

【详解】当xvO时，/(A)=-X2-ZV=-(X+1)2+1,

当xNO时,/(x)=/(x-2),

当xe[0,2)时，j(x)=/(X-2)=—(x—2)~—2(x—2)=—x~+2.x；

当xw[2,4)时，=f(x—2)=—(x—4)~—2(x—4)=—厂+6x—8,

直线y=G+l恒过点P(O,l),与/(可的图象在不同区间的位置关系情况如图所示:

当直线过A(2,0)时，0=2%+1,%=—g；

当直线过8(4,0)时，O=4A+1,k=一；.

答案第5页，共11页

结合图象，当—gv&v-；时，/（X）与）'=丘+1恰有3个交点.

所以实数上的取值范围是卜;.

【分析】如图所示，过点AEF的截面下方几何体转化为一个大的三楂锥，减去两个小的

三棱锥，上方部分，用总为正方体的体积减去下方的部分体积即可.

【详解】作宜线E尸，分别交。。，。。于M，N两点，连接AMAN分别交6cA。于〃,G两

点，

如图所示，过点AE户的截面即为五边形,

在长方体ABC。-AMG。中，AB=1,BC=BB】=2,

因为点E,尸分别是CG，GA的中点

CECM,D.ND.F,|

所以用=不‘表=才'所以C/=AF=MA=5，G£=RN=AE=I,

e二CMCHID.ND.G1

因为----=——=^=—^=-,

MDAD3DNAD3

所以c”=；2，AG=§2

则过点4EF的截面下方体积为:

sI1c3c11,12c25

V.=­x—x3x—x2--x—xlx—x—x2=——

1322322318

25

・•・另一部分体积为％=2x2x1—弓47

Io18

答案第6页，共11页

25

AV；：K=—

'-47

25

故答案为：-

15.（1）5=|

⑵班

4

【分析】（1〉根据题意，由正弦定理和正弦的二倍角公式可得解;

(2)由余弦定理可得〃=1,。、=3,再由三角形面积公式即可求得答案.

【详解】⑴由正弦定理及条件可得，sinfisinC-V3sinCsin-^=0,又sinCwO,

2

RRRR

sinB=>/3sin—,/.2sin--cos—=\/3sin—,又8e(0,7t),

2222

••.sin与>0,・・.cos0=造，所以B=g.

2223

(2)由余弦定理可得〃="+H_2w;•cos4=a2+9a2-2a-3a-^=la2,

:.b-VT67,4=1,c=3,

故S.ABC二;"sin8=；xlx3x

~2~^~

16.(1)(1,3)

【分析】（1）结合对■数的运算法则求出函数的定义域，利用及合函数的单调性即可求解；

（2）结合复合函数的单调性求出的单调性，利用单调性求出最值，结合恒成立问题即

可求解.

3-x>0/、/、

【详解】（1）由工+]>0,得一l<x<3,所以/（X）的定义域为（T3）,

2

/(行=log”(3-x)(x+I)=logfl(-x+2x+3),

令r=-/+2x+3,则/在(Tl)上单调递增，在(1,3)上单调递减,

又0va<l,y=1ogj为减函数，

所以“X）的单调递增区间为（1,3）.

答案第7页，共11页

(2)由题意得当xe0,|,/(x)min>2,

当0<。<1时，由(1)得/(x)在(0,1)上单调递减，在(1，|)上单调递增,

所以/(Hmm=/⑴=log”4<0,不符合题意，

当时，y=log/为增函数,

所以〃力在(T1)上单调递增，在(L3)上单调递减,

所以〃工)在(。,1)上单调递增，在(C)上单调递减,

(3、15

因为〃0)=1%3</不=log

所以f(4n=f(°)=log“3N2,

即a*3,解得1<心百，综上所述，百.

17.⑴》

25

⑵〃=15

【分析】(1)根据古典概型以及相互独立事件的概率计算公式即可求解；

(2)根据对立事件的相关知识即可求解.

【详解】(1)记事件A="任选一道题，甲答对”，

事件4="任选一道题，乙答对“，

事件C="任选一道题，丙答对“，

记事件E="任选一道题，甲、乙两位同学恰有一人答对“，

则P(A)《,P⑻=*/©=白

JJ

P(E)=P(4«+7«)=P(A)(I-P(B))+(I-P(A))P(^)=-XI--+I--x-=—

5i5j5,525

(2)记事件尸="甲、乙、丙三位同学至少有人答对“，

则尸⑻*尸(症)=邛-触用｛1端卜茅

所以〃=15.

18.(1)证明见解析

(2)(i)PA=C；(ii)!

【分析】(1)利用菱形性质得8。_LAC,结合/有=P。及等腰三角形三线合一得8。_L尸O,

答案第8页，共11页

再依据线面垂直判定定理，即可证得结果.

(2)(i)取AA中点E,设AOIDE=G,可证得PG_L平面则NPCG即为直线PC

与平面ABC。所成的角，根据已知计算即可得出以的长：

(ii)由(i)可知/PEG为二面角尸—A3—C的平面角，作O”_LA8于〃，可得NQHO为

二面角Q—A3—C的平面羽，设二面角P—A3-Q的大小为。，则

tanZ?=tan(/PEG-NQHO)计算即可.

【详解】(1)证明：连接80,交AC于点。.

因为PB=PD,所以8O_LPO,

因为四边形/WCO是菱形，所以“力_LAC,

又20口人。=0,所以AOJ.平面PAC.

(2)(i)取AB中点E,连接DE,PE,

因为NB4O=W，A4=A。，所以△A4£>为正三角形，所以

因为P£>_LA氏DEIPD=D,所以/W_L平面PQE，

所以所以E4=P9=/7),

设AOIDE=G,连接尸G,则PG_L平面ABC。，且NPCG即为直线0C与平面A8CQ所成

的角.

所以cosNPCG=L,所以tanZ.PCG———=—•,

5CG2

因为4B=G，所以AO=1,OG=；,AG=\,

z-

所以CG=2,所以PG=1,所以PA=&.

(ii)由(i)可知/PEG为二面角P-A3-。的平面角，

且tanZPEG=—=2,

EG

连接OQ,因为渝CQ=而CO=§1，所以OQ〃PG,所以OQ_L平面人ACD.

作O”_LA8于”，连接0”,则NQ〃O为二面角Q—A3—C的平面角，

且0"=那13=；,0。=3产=13,

所以lan/QHO=^=l,所以NQ，O==,

OH4

设二面角尸一加Q的大小为0,则tan0=tan(ZPEG-M.

答案第9页，共II页

1

2m

【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；

（2）设4=（）,由可知计算可得Zz=6,Z3=3+4i,得出三角形三个点的坐标，利用等面枳

法计算即可求得内切圆半径；

（3）设/（"=—1+三+=、+…+/一，可确定“可在每一段区间内单调递减，可确

X-IX-2X-3x-〃

定直线y="?与曲线）、=/（》）的交点区间，可知不等式的解集为

（1，M）D（2，W）U（3,&）U…，结合韦达定理可求得所有区间长度之和.

2

【详解】（I）X^-6X+1IX-6=（X-1）（X-X2）（X-X3）

利用根与系数的关系可得：I十勺十%二6,勺53=6,解得巧=2,%=3.

（2）根据三次方程根与系数的关系可知，卬Z2-3为d-（9+4i）V+（18+24i）x=0的三个

根，首先必定有一个为0，

不妨设4=0,则Z2「3为/一（9+4。1+（18+2的）=0的两个根，

分解因式得（x—6）（x