中考数学专项训练：涉及圆的证明与计算问题（原卷版）

涉及圆的证明与计算问题

例知识^概述

圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的

证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。

一、与圆有关的概念

1.圆：平面上到定点的距离•等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半

径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2.圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

4.外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接I圆的圆心，叫

做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。

5.若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角

平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。

二、与圆有关的规律

1.圆的性质：

（1）圆具有旋转不变性；

（2）圆具有轴对称性;

（3）圆具有中心对称性。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直F弦，并且平分弦所对的两条弧.

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4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心隹相等，所对的弦相等，所对的弦心距也

相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦

心距也相等。

5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

7.圆内接四边形的特征

①圆内接四边形的对角互补；

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

①点在圆内J0点到圆心的距离小于半径

②点在圆上<>点到圆心的距离等于半径

③点在圆外点到圆心的距离大于半径

2.直线与圆有3种位置关系

如果。。的半径为r,圆心0到直线/的距离为d,那么

①直线/和。0相交

②直线/和。0相切r.

③直线/和。0相离

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3.圆与圆的位置关系

设圆(7的半径为圆。的半径为广，两个圆的圆心距/\(\()I，则：

两圆外离<>(/>：Ir：两圆外切<>(/：”：

两圆相交<>\rrv4t厂：两圆内切<>(/rr|；

两圆内含<>(/<|r

四、切线的规律

1.切线的性质

(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角。

四、求解圆的周长和面积的公式

设圆的周长为r,则：

1.求圆的直径公式d=2r

2.求圆的周长公式C=2irr

3.求圆的面积公式S二八/

五、解题要领

1.判定切线的方法

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基本结论有：在“力。平分/的夕；aAi)\,cir；"zr是。。的切线”三个论断中，知二推一。

(2)如图2、3,%'等于弓形如的高；麻烈的弦心距加(或弓形枚的半弦跖)。

(3)如图(4)：若8L16于长，则:

34

①CK=CD；BK=DE-yCK='BE=DC；AE+ABtBKCAD：

2

②JADC^/ACBAAC=AD・AB

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(4)在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当第J_勿于£时(如图5),则:

①)DE=GB；②DC二CG\③加+BGMB；④4〃灰

类型2图形：如图：Rt/ABC中,/90°。点。是〃1上一点，以优、为半径作。。交月。于点发基本结

论有：

(1)在“BO平分4CBA";'W;"AB是◎()的切线”；"BDW。四个论断中，知一推三。

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（2）①6是/9的内心；②ri?③ABgACDE>BO・DE=CO・CE二'弊：

2

（3）在图（1）中的线段）aCE、AE,力〃中，知二求四。

"1

（4）如图（3）,若①RC=CE.则：②——二—=tan/ADF：③RCAC*3：4：5：（在①、②、③中知一推

AD2

二）④设BE、⑦交于点H,,则BH=2EH

类型3图形：如图：应/力比中，N/I吐90°,以AB为直径作。。交AC于D,基本结论有：

如图：

（1）〃切。%>£是比的中点；

（2）若以'切。〃，则：

①DE二BE二CE；

②&0、B、£四点共圆_>Z6H>2ZJ

③CD・CA=4Ba,“卜（八

RHDHA

图形特殊化：在（1）的条件下

如图：DE〃ABc）AABC、，期是等腰直角三角形:

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类型4图形：如图，/力比中，A8=AC,以力〃为直径作交.%于点〃交力。于点人,

基本结论有：

(1)DE工ACj〉DE切OS

(2)在DELAC或DE切◎()飞,有:

①，〃配'是等腰三角型；

Hb

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②EF=EC,,③〃是的中点。④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD,产生母子三角形。

类型5图形：以直角梯形月阳9的直腰为直径的圆切斜腰于氏基本结论有:

(1)如图1：①AD+BC=CD；②/。⑺=/月陟90°；③〃〃平分NADC(或比t平分/以力)；(注：在①、

②、③及④“勿是。。的切线”四个论断中，知一推三)

(£)//)•BC=1AH?二部;

4

(2)如图2,连力区CO,则有：CO//AE,•力后2H与基本图形2重合)

(3)如图3,若EF工AB于F,交力。于G,贝ij：EG-FG.

类型6图形：如图：直线外比0。的半径仍于£,倒切。。于0,BQ交直线倒于几

基本结论有:

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(1)PQ=PR(，/初?是等腰三角形)；

(2)在“PR工0B”、切。。”、“PQ二PR”中，知二推一

(3)2PR・RE=BR・RQ=BE・2R=AB

类型7图形：如图，/力比内接于/为△4町的内心。基本结论有:

(1)如图1,®BD=CD=ID,@DP=DE-DA：③/1/斤90°+1NACB;

(2)如图2,若N加060°,则：BD+CE=BC.

E2

类型8图形：已知，3是。。的直径，。是““中点，CD工AB于仄BG交CD、AC

于£F.基本结论有:

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（1）CD-1BG；BE=EF二CE；GF2PE

2

（反之，由C21BG或BE=EF可得:C是Q中点）

2

（2）0E='AF,0E〃AC：AODEs^AGF

2

（3）BE・BG二BD・BA

Z-*>

HCC（；,4（；

（4）若〃是阳的中点，则：①/枚是等边三角形；②

例题解析与对点练习

【例题1】.如图，在半径为3的0〃中，力〃是直径，力。是弦，〃是去的中点，力C与加交于点发若/?是加

的中点，则力。的长是（）

A.3&B.C.3A/2D.4$

【对点练习】.如图，比是半圆。的直径，D,£是前上两点，连接劭，四并延长交于点儿连接切,

0E.如果N[=70°,那么/〃死的度数为（)

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A.35°B.38°C.40°D.42°

【例题2】./应是。。的弦，0机LA&垂足为M,连接OL若△/〃”中有一个角是30°,O、f=2事,则弦/必

的长为.

【对点练习】.如图，△月函内接于。。，/。430°,/的=45°,CD1AB于点D,若。。的半径为2,

则⑺的长为.

【例题3】.古希腊数学家毕达哥立斯认为："一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,

线段AB是。0的直径，延长AB至点C,使BC=0B,点E是线段OB的中点，DELAB交。0于点D,点P是

(DC上一动点(不与点A,B重合)，连接Q),PE,PC.

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)小明在研究的过程中发现〃厂是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以

证明.

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【对点练习】.如图，△力比、中，AS=AC,以力C为直径的。。交配于点〃，点£为。延长线上一点，宜4CDE

=_L/刃C.

2

(1)求证：〃夕是00的切线；

(2)若力8=3劭，CE=2,求。0的半径.

专题点对点强化训练

一、选择题

1..如图，E,F,G为圆上的三点，/敬7=50°,产点可能是圆心的是()

2..如图，力6为。。的直径，点C点〃是。。上的两点，连接。，CD,AD.若NCAB=40°,则N49C的

度数是()

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C

A.110°B.130°C.140°D.160°

3..如图,00中,OC1AB,N⑷T=28°,则N83的度数为（)

A.14°B.28°C.42°D.56°

4..如图，在。。中,为直径，//於=80。.点〃为弦〃、的中点，点〃为命上任意一点.则力的大

小可能是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

5..如图所示，点力、B、C.〃在。。上，/力公120°,点8是流的中点，则N〃的度数是（）

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A.30°B.40°C.50°D.60°

6..如图，已知四边形力舒内接于。。,N力80=70°,则/49T的度数是（）

A.70°B.110°C.130°1).140°

7..如图，△/1%是。。的内接三角形，AB=BC,/阴£30°,4?是直径，的=8,则“的长为（）

A.4B.4A/3C.^\/3D.2羽

8..如图，正三角形/山。的边长为3,将△/1阳绕它的外心。逆时针旋转60°得到△INC,则它们重叠部

分的面积是（）

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BV'

3，

A.2/B.2C.36D.-x/3

9..设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为力、.「、R、则下列结论不正确的是

()

@

A.A=R+rB.R=2rC.r=^-aD.R=-当

10..如图，等边三角形/1回和正方形力外厂都内接于0。，则/M：AB=()

E

A.2-\/2：V3B.V2：V3C./：/1).\/3：2A/2

二、填空题

11..如图，月〃是△月施、的外接圆。〃的直径，若/必=5()°,则N4W=

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12..已知圆锥的底面半径为1M,高为、/5面，则它的侧面展开图的面积为=Ca

13..如图，已知49是半圆。的直径，弦©〃AB,CD=8,45=10,则⑦与力6之间的距离是.

14..如图，力“是。。的直径，力切。。于点儿线段外交00于点C.连接比'，若/々36°,则N"

*

15..用一个圆心角为90°,半径为20。/〃的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为

cm.

16..如图，用.用是。0的切线，A.8为切点，点C.〃在。0上.若/片102°,则

z/+zr=__________.

17..如图，月。是。0的弦，力俏5,点〃是。。上的一个动点，且/月比三45°,若点M*分别是〃；a'的中

点，贝1J/V的最大值是.

18..如图，在©。中，半径如垂直于弦8c点〃在圆上，且NWT=30",则N力的度数为

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19..如图，。为RtA月旗直角边力「上一点，以3为半径的。。与斜边力8相切于点〃，交勿于点反已知

BC=M,/仁3.则图中阴影部分的面积是.

20..如图，在平面直角坐标系中，已知。（3,4）,以点C为圆心的圆与y轴相切.点力、4在x轴上，且

%=68.点U为。。上的动点，/加方=90°,则48长度的最大值为.

三、解答题

21..如图，在RtZ\4%中,NQ90°,点。在47上，以OA为半径的半圆。交小于点D,交力。于点E,

过点〃作半圆。的切线〃尸,交比于点F.

(1)求证：BF=DFx

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(2)若力占4,BC=3,CF=1,求半圆〃的半径长.

B

22..如图，在。。中，力8为直径，点C为圆上一点，延长49到点。，使勿=。，且///=30".

(1)求证：而是00的切线.

(2)分别过力、〃两点作直线)的垂线，垂足分别为£尸两点，过C点作47的垂线，垂足为点G.求证:

C"AE・BF.

23..如图，/18是。。的直径,C为00上一点，连接力Gg/火于点发〃是直径/出延长线上一点，且/

BCE-ABCD.

(1)求证：⑦是。。的切线；

(2)若49=8,L求Q?的长.

24..如图，C,〃为。。上两点，且在直径/切两侧，连结⑦交/出于点£,G是肥上一点，ZADC=AG.

(1)求证：Z1=Z2.

o

(2)点C关于〃G的对称点为E连结小当点/'落在直径,上时，gl(),tanZl=p求。〃的半

□

径.

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25..如图，△//a'内接于。，