整式的乘除 压轴题（9大题型）解析版-2024七年级数学上册（沪教版五四制）

整式的乘除压轴题（9大题型）

题型归纳

题型一：幕的运算及其应用

题型二：整式的乘法

题型三：类平方差公式

题型四：完全平方公式的应用

题型五：杨辉三角

题型六：整式的乘法、乘法公式的图形应用

题型七：配方法的应用

题型八：整式的除法

题型九：其他材料、新定义题

:题型专练

题型一：籍的运算及其应用

1.阅读理解：我们在学习了事的有关知识后，对两个哥十与/（4%都是正数，〃?，〃都是正整数）的大

小进行比较，并归纳总结了如下两个结论：

①若a=b,〃】>〃，则（底数相同,指数大的累大）

②若则莉（指数相同,底数大的事大）

尝试应用：试比较2⑼与3乃的大小.

解：因为*=（2.广=16”，

375=（33）25=2725.....（第1步）

又16<27,

所以2100V3乃……（第2步）

问题解决：

（1）在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个辕转化化归为；第2步

的依据是.

（2）请比较下面各组中两个哥的大小：

①4§°与8”；

②3⑼与56。.

【答案】（1）指数相同的两个呆；指数相同，底数大的哥大

⑵①450>833；®3,00>560

【分析】本题考查了幕的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键.

（1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幕转化化归为指数相同的两个辕；根据指数相同，底数大

的某大解答即可.

（2）①化成研二,00，833=2",根据底数相同，指数大的哥大解答即可；

②即。=（35『=2432°,5叽（53广=125”根据指数相同，底数大的基大解答即可.

【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个暴转化化归为指数相同的两个帚：根据指数

相同，底数大的幕大，

故答案为：指数相同的两个基：指数相同，底数大的轻大.

（2）解：@V450=2,00»8n=2",

根据底数相同，指数大的基大

Z.2,00>2"，

:.450>833.

②解：・.・3皿=（3'广=2432°,58=（53广=125?。

根据指数相同，底数大的哥大，

:.24320>1252%

•[ioo>5⑨

2.如果x"二y,那么我们规定（工刃=〃.例如：因为42=16,所以（4/6]=2.

（1）（-2,16]=；若（2,y]=6,则y=；

（2）已知（4,12]=〃,（4,5]=。，（4,y]=c,若a+6=c,求，的值；

（3）若（5[0]=”，（2,10]=/）,令1=察.

a+b

%。

①求含的值；

②求/的值.

【答案】（1）4,64

（2）y=60

（3）®^-=—：②，=2

16h100

【分析】⑴由（-2）=1,可直接得出（-2,16]=4：由2唯64,可得出），=64；

（2）由题意可得出4a=12，4"=5，4C=y.根据a+b=c,得出4*"=4°，即4"-4"=4°，进而即可求出

y=12x5=60；

（3）①由题意可得出夕=10，2"=10,再根据25°-（52）“一（5"『一100,16A-（24）'-（2ft）4-10000,即可

求出篙=击；②根据（5。6=10\即得出5办=10〃，结合题意可得出（5,10〃]=".由①知5。=2、10,

即得出严:5"・56=2隈5=103进而得出（5,101=。+"即说明必=。+从代入/=温中求值即可.

【详解】⑴解：•••(-2)4=16,

•••(-2,16]=4；

丁(2,习=6,且2,=64,

・•.)=64.

故答案为：4.64：

⑵解：:(4,12]=。，(4,5]=6,(4,y]=c,若a+b=c,

.•.4"=12，4〃=5,4<=y.

\'a+h=c，

a+bc

­.4=4f即4"-4〃=4、

「.)=12x5=60；

(3)解：①♦.•(5,10]=%(2,10]=/),

.•5=10,2〃=10,

.•.25°=(52)"=(5")2=102=100,16ft=(24)/，=(2/,)，=(10)4=10000,

.25“二100二1

'16r-10000~100：

②•••(5")'=10',

.•.(5,101=cg

由①知：5"=2°=10,

5"〃=5“.5〃=2"X5/>=10J

/.(5,10"j=a+b

2abf

E=2・

【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，塞的乘方与其逆用.熟练掌握各运算法则是解题关

键.

3.我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数哥的乘法叩鼎的

乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为尸"（T「，ambm=(ab)m(〃?，〃为

正整数）.请运用这个思路和幕的运算法则解决下列问题:

（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：[3",4[=[3,4],并作出了如下的说明：

•••设[3,4]=%,则3*=4,

.•.（3）'=4",即（3"）'=4"，

.•.[3",4"]=[3,4].

试参照小明的说明过程，解决下列问题：

[运用]

计算[8,1000]-[32,100000]；

[探究]

若令[2,3]=〃，[2,5]=力，[2[5]=c,试说明[2,3]+[2,5]=[2,闾；

[综合应用]

①若[4,25]=。，[2,3]="[4,225]=。，则a,b,c之间的数量关系为：

②计算艮9]x[3,15]-[3,25]=

【答案】（1）3,0,-3；（2）[运用]:0；[探究]:见解析；[综合应用]:®a+b=c；②2

【分析】本题考查了新定义，幕的乘方、同底数幕相乘，理解新定义，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

（1）根据运算的定义计算即可得解；

（2）[运用]:根据例题，将各数写成幕的形式并计算即可得解；

[探究]:根据运算的定义及同底数哥的乘法运算法则计算即可得解；

[综合应用]:①根据运算的定义及同底数轮的乘法运算法则计算即可得解；②根据运算的定义及同底数基的

乘法运算法则计算即可得解.

【详解】解：（1）V43=64,

/.[4,64]=3,

A[3,1]=0.

•*C-3__

・‘一限

(2)[运用]:[8,1000]—[32,100000]

=[23,103]-[25,105]

=[2,10]-[2,10]

=0；

[探究]:•・,令[2,3]=。，[2,5]=/)，[2[5]=c,

，入3,2b=5,2。=15，

/.2"•2'=2"“=15=2'、，

/.a+b=c,

[2,3]+[2,5]=[2,15]；

[综合应用]:®V[4,25]=a,[2,3]=Z>,[4,225]=c,

,4“=25,28=3,4'=225,

2a+2b=2c,

/.a+b=c；

②令[3,9]=a,[3,15]=Z>.[3.25]=c.

A3a=9,3』5,3c=25,

...3ab-c=(3°y+3°=9〃+3,=(32y+3。=(3〃y+3。=9=32,

ab-c=2,

・・.[3,9风3」5]—[3,25]=2.

题型二：整式的乘法

5.对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式4-/+4》+3,代数式

5=(X-1)2+4(X-1)+3,改变x的值，代数式44有不同的取值，如下表：

X-101234

A=x2+4x+3038152435

i?=(x-|)2+4(x-l)+3-10381524

观察表格发现：当x〃时，/=丁+4丫+3=〃，当工=〃?+1时，5=(X-1)2+4(X-1)+3=//,我们把这种现

象称为代数式8参照代数式4取值延后，相应的延后值为1.

(1)若代数式。参照代数式4取值延后，相应的延后值为2,求代数式。；

(2)若代数式V-2x参照代数式4的取值延后，求相应的延后值；

(3)若代数式4/—3x+b参照代数式涓一6x+c取值延后，求b-c的值.

【答案】

⑵3;

【分析】(I)根据题意，延后值为2,即将f+4x+3改为(x-2>+4(x-2)+3,化简即可;

(2)设延后值为比将延后的代数式等于X2-2工，使得各项系数相等，解方程即可；

(3)设延后值为〃?，使得各项系数相等，解方程即可.

【详解】(1)解：根据题意，Z)=(X-2)2+4(X-2)+3=X2-1

(2)解：设相应的延后值为心得："一")2+4"一")+3=/一2工，

化简得：x2-(2k-4)x+k2-4k+3=x2-2x,

.•.44=2,解得〃=3,

当4=3时，42-4左+3=0成立，

工相应的延后值是3.

(3)解：设相应的延后值为阳，得：-6(x-〃?)+c=4--3x+b,

化简得：办，—(2am+6)x+am~+6m+c-4x2-3x+6,

a=4

lam+6=3,

anf+6m+c=b

将a=4代入2a〃?+6=3,可得加=-£

8

-6〃7=4广丫+6/"区

I8jI8；16

【点睛】本题考查了代数式求值，整式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是

解题的关键.

6.阅读以下材料，回答下列问题：

小明遇到这样一个问题：求计算(12)(2X+3)(3X+4)所得整式的一次项系数.小明想通过计算

(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的整式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.

他决定从简单情况开始，先找(x+2)(2x+3)所得整式中的一次项系数.通过观察发现：

(x+2)(2x+3)=2x2+3x+4x+6

也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3,再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的

一次项系数2,两个枳相加Ix3+2x2=7,即可得到一次项系数.

延续.上面的方法，求计算(X+2)(2K+3)(3X+4)所得整式的一次项系数.可以先用x+2的一次项系数1,2x+3

的常数项3,3x+4的常数项4,相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2,x+2的常数项2,3x+4的常数

项4,相乘得到16：然后用3八十4的次项系数3,八十2的常数项2,2八十3的常数项3,相乘得到18,最

后将12,16,18相加，得到的一次项系数为46.

参考小明思考问题的方法，解决下列问题：

(I)计算(2x+l)(3x+2)所得整式的一次项系数为.

⑵计算(x+l)(3x+2)(4x-3)所得整式的一次项系数为.

⑶若计算(17+。1一3"0)(2..1)所得整式的一次项系数为0,则。=.

(4)计算(x+1『所得整式的一次项系数为,二次项系数为.

(5)计算(2x-炉所得整式的一次项系数为,二次项系数为.

【答案】⑴7

(2)-7

⑶-1

(4)5,10

(5)10,-40

【分析】(1〉结合已知可得(2x"GJ2)所得整式的次项系数-2K2+1K3,即可求解；

(2)结合已知可得(x+l)(3x+2X4)-3)所得整式的一次项系数=1"-3)x2+3xlx(-3)+4xlx2,即可求解;

(3)由，+x+l)，—3x+a)(2x-l)所得整式中不含一次项，可得(—l)xax(—l)+(-3)xlx(—l)+2xlx4=0,

即可求解：

(4)(5)根据题目中提供的计算方法进行计算即可.

【详解】(1)解：2x2+lx3=7,

故答案为：7；

(2)1x(-3)x2+3xlx(-3)+4x1x2=-6-9+8=-7,

故答案为:-7；

(3)由题意得，(-l)xax(-l)+(-3)xlx(-l)+2xlxa=0,

也就是，。+3+为=0,

所以，。=一1；

故答案为：-1；

(4)v(x+1)5

=(.v+l)(.t+l)(.t+l)(.t+l)(x+1)

=(r+2x+l)(x2+2.r+l)(x+l)

•••一次项系数为:2xlxl+2xlx|+lxlxl=5；

二次项系数为：1+1+2x2+2x1+2x1=10.

故答案为：5,10;

(5)•••(2x-»=(2x-\)(2x-l)(2x-)(2x-l)(2x-1).

=(4--4x+1)(4--4.X+l)(2.r-1).

一次项系数为：-4xlx(-l)+(-4)xlx(-l)+2xlxl=10,

二次项系数为：2x(-4)x1+(-4)x(-4)(-1)x2=-40.

故答案为：10;—40.

【点睛】本题考查整式乘以整式，理解整式乘以整式所得的整式每一项的系数是解决问题的关键.

7.阅读：在计算(。-4(。"7+/一为+…+岫e+zr)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，

再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解次--类问题的一般方法，数学中把这样的过程

叫做特殊到一般.如下所示：

【观察】(a-b)(a+b)=a2-b2

(a-b)(a2+ab+b2>j=a3-b3

+a2b+ab2

［归纳］(a—8)(O”T+an~2b+…+ab^2+产)=a”-bn,

20222

l应用1计算2也+2+22g+...+2+2+l

解：令a=2,b=l,=2024

则(2-1)(22023+22022+2202,...+22+2+l)=22024-l

...22023+22022+Z?。?】+…+2?+2+1=2：(>24-1

结合上述材料，完成下列问题：

⑴证明等式：(a-b)(a"7+a-2b+…+abn-2+hn~x)=a"-bn；

(2)应用(1)中所证明等式,计算？。一3—七…-常+W一的：

(3)若整式P,。满足(。+9/=产4_*4,5+吐°=/。”+产5,用一个含。，力的式子表示出P,Q

之间的数量关系.

【答案】(1)见解析

⑵*+1)

⑶。="+产

【分析】本题考查了数字类规律探究；

(1)观察等式找到规律，根据规律即可求解；

(2)根据(1)的结论，令。=3,b=-\,〃=21代入，即可求解；

(3)分别表示出P,。，观察式子，即可求解..

【详解】(1)解：(a-b)(a+b)=/-b2

(a-b)(f+ab+b‘)=4-

(a-b)^a'+a'b-vab2+Z>5)=a4-b4

n2n2nH

A(a一力)(优"+a-h+…+ab-+产)=a-h

(2)i+W320-3,9+3l8-317+-..-33+32-3+l

解：令a=3,h=-\,n=2\

则(3+1)(32°_3加+318_3门+…_33+32_3+l)=32i_(_1/=321+]

320-3,9+3,8-3,7+----33+32-3+l=1(32,+l)

(3)解:V(a-b^a"-'+an-2b+-+ahn~2+bn-')=an-bn

：.[a—(-6)][a”T-an-2b+-+abn-2+=a"—(-〃)”

当〃=2024时，

[。—(—3次/必_q20226+...+q/022_/023)=/。24_(_与2。24=/。24_〃必

V(a+h)P=a2024-b2024

・•・P=«2023-a2O22b+^+ab2022-产3

当〃=2025时，

[a-(-/>)](^2024-tZ202J/)+...-^2023+Z)2024)=产5-(询2°25=产5一/必

・・・(。+6)・0=/。”+〃。”，

1

...Q=a2024_a2023b+…-ab^+〃侬=a(/023一〃2。22/)+…_〃。23卜产4

：.Q=aP+b2<>24

题型三：类平方差公式

8.你能化简3-1)(499+。98+/7+…+/+〃+])吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论.入

手，发现规律，归纳结论.

入手，发现规律，归纳结论.

(1)先填空：

(a-l)(a+l)=；

(a-\)(a2+47+1)=：

("1)(/+/+。+1)=；...

由此猜想：(«-l)(a99+«984-a97+---+tf2+a+l)

(2)利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？

①求2啰+2,+潭+…+2?+2+1的值;

②若/+/+/+/+〃+]=0,贝等于多少？

200

【答案】(1)/一1：/_]；/_]；a^-\,(2)@2-l：②1

【分析】(1)利用整式乘以整式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果：

(2)利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果.

【详解】解：(1)/_1；/_i；/_i；4M—1；

(2)①2叨+2楝+2.+……+22+2+1=2200-1,由于2・1=1,则29+2怫+29+……+22+2+1=2200-1

②・,・。6一1=(。-1)任+。4+/+/+。+1)=0

/=1,

但当。=1时，a5+a4+〃'+/+〃+1=o不成立，

则a=-l,故/=1

【点睛】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键.

9.已知XXl,(l+x)(l-x)=1-X2,(1-x)(l+X+A：2)=1-x\(l-x)(l+X+X2+X3)=1-x4.

(I)根据以上式子计算：

①(1-2乂1+2+22+23+24+25)；

②2+22+2。+…+2"(〃为正整数)；

<D(X-1)(XW+X98+X974-...4-X2+X+1).

(2)通过以上计算，请你进行卜.面的探索：

①("b)(a+b)=；

②(a-与(a?+4/,+//)=.

③("6)(/+a2b+ab2+〃)=.

【答案】⑴①-63；②2川-2;③”-1;

(2)①②一人③八乩

【分析】(1)①直接利用题中的结论代入数值计算；②缺少(1-功项，从而可以凑配易得

-(1-2)(1+2+22+23+24+...+2n-l)=-(l-2,,+')-l)=2n+,-2,同理即可解答；③

产+/+/+.+%2+%+1中,x按降亘进行排列，然后套用规律进行解答；

(2)仿照所给等式的规律即可直接写出答案.

【详解】⑴①(1-2)(1+2+22+23+24+叫=1-26=-63；

(2)2+22+23+24+...+2n=-(l-2)(14-2+22+23+24+...+2n-l)=2n+,-2：

③：(》一1)(/9+/X+/7+…+/+x+])=(》_])(]+X+/+…+/7+/*+./9)=f"'一1;

(2)①(4-6)(a+6)=/-〃：

@(a-b)^a2+ab+b2)=ay-hy；

③(a—6)(/+a'b+ab'+//)=a4—bA.

故答案为：①/一从；@a3-b3；③答-/.

【点睛】本题考查平方差公式，正确理解平方差公式及展开形式是解决本题关键.

10.已知计算(l+x)(l—x)=l—

(l-x)(l+x+x2)=l-x3,

(l-j)(l+x+x2+^)=l-/.

猜想：(>x)(l+x+/+…+x")=_(n为正整数)；

⑴根据你的猜想计算：

①(1一2)(1+2+2?+2,+2’+2')=

②2+2?+矛+2"=_(n为正整数)

③(》-1乂/+/+x914-...+X2+x+l)=

(2)通过以上规律请你进行下面的探索：

①("3(。+3

②(a-力乂/+ab+叫

@(a-b)^+a2b+ab2+b3)

(3)判断22019+22018+22017+…++2+1的个位数字是

【答案】猜想：17用；(1)①-63；②2向一2;③”°-1;(2)①/-/；②/一"；③(3)5.

【分析】根据已知的式子，找出规律，即可得到猜想的结论；

(1)①根据猜想的结论，当x=2,〃=5时，即可得到答案；

②根据猜想的结论，当2时，通过计算，即可得到答案；

③根据猜想的结论，即可得到答案；

(2)根据(1)中的结论，即可得到答案：

(3)结合(1)(2)中的结论，通过变形化简，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，有

(17)(1+工+/+...+/)=1向：

故答案为：1-炉已

(1)①•二(1-X)(1+X+x~+…+x")=1-x/,+1,

A(1-2)(1+2+22+23+24+25)=1-26=1-64=-63；

故答案为：-63:

(2)V(l-x)(l+x+x2+...+x")=l-xn+,,

/.(l-2)(l+2+22+.-+2n)=l-2n+,,

1

A2+22+23+2n=---—l=2w+,-2；

-1

故答案为：2T-2;

@V(l-x)(l+x+x2+...+xo)=l-xn+l

(X-I)(X994-X98+X97+...4-x2+X+1)=x100-I；

故答案为：x,w-l;

(2)(j.(a-b)(a+b)=a'+ab-ab-b'=a'-b'；

@(a-b)(a2-vab+b2^^+a2b+ab2-a2b-ab2-by=a"-b"；

同理可知：

③(a-6乂/+a2b+ab2+/>3)=a4-b4•

(3)由(2)可知，

(a-Z>)(an+an-lb+an-2b2+…+a2b1-2+abn-l+bn)=an^-/；

・••当a=2,b=],〃=2019时，有

20,820172220720,820192020

(2—1)(2刈9+2X1+2xl+...+2xI,+2xl+1)=2珈0-I,

-)2020j2020

.・.2刈9+2刈8+22017+…+2?+2+l=二=22°20—1；

2-1

V2'=2»22=4，23=8，2"=16，2$=32，26=64..........

，2”的个位数字是2、4、8、6,每4个数字一个循环；

•・,2020+4=505,

.・.2?。2。的个位上的数字是6；

・•・2202。一1的个位上的数字是5；

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了整式与整式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进

行解题.

题型四：完全平方公式的应用

11.我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形.比如：已知4+〃=3,。2+〃=5,贝IJ

(4+6『-(/+〃)_32-5_,

ah=一=4

22

根据以上变形，回答下列问题:

⑴若工+2)，=5/2+4必=9,求灯;

(2)已知〃?+'=5,则加-工=

mw

(3)已知长和宽分别为，的长方形,它的周长为14,面积为10,求d的值.

【答案】(1)4

(2)+721

(3)39

【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键.

(1)根据4-(功+4),代入数值即可求解：

2

(2)对加+工=5进行平方.可得〃/+,+2=25,在对原式变形，可得(，”1Y=21,开平方即可求解;

(3)根据题意可得2(a+b)=14,必=10,进而得出/+〃+2M=49,代入砧=10,即可得

a2+〃+"=39.

【详解】（1）解：:x+2y=5,/+4/=9,

（工+2才-（』+4/）_529

••2X）＞=8,

22

即xy=4.

（2）解：Vm+-=5,

m

4—r+2=25,

m~

:.〃厂H—7—2=21,

即（/〃-，）=21.

^-―=±&T.

m

(3)解：・・•长和宽分别为。乃的长方形,它的周长为14,面积为10,

.,.2(〃+6)=14,刈=|()

:.a+b=7,

d2+Z>2+2«/>=49,

Aa2Ib2ll10=49,

即『+/+。6=39，

12.［阅读理解］我们常将一些公式变形，以简化运算过程.如：可以把公式"(心力)2=1+2"+小，变形成

“2+Z>2=(a+/)『一或2aA=(“+8丫-(a2+b2)等形式，

问题：若x满足(20—x)(x—30)=l0,求(20-x)2+(x-30)2的值.

我们可以作如下解答；设。=20—x,b=x-30,则(20—x)(x—30)=而=10,

即：6Z+Z)=(20-jr)+(x-30)=20-30=-10.

所以(20-x『+(x-3()『=〃2+〃=(〃+〃『-2az,=(一］0)2—2x10=80.

请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：

⑴若x满足(80-x)(x-70)=-10,求(80-"+(》-70『的直

(2)若x满足(2020—x)2+(2017-X)，=4051,求(2020—x)(2017-x)的值.

【答案】(1)120

⑵2021

【分析】(1)设。=8()-x,力=x-70,再求力的值，然后借助完全平方公式求值.

(2)设〃=2020-x,6=2017-工，再求出aY的值，然后借助完全平方公式求值.

【详解】(1)设。=80-x,=x-70,

则而=一10,6r+Z)=80-x+x-70=10

所以，(80-x)2+(x-70)2=(a+4-2"=10?-2x(-10)=120

<2)设々=2020-x,b=2017-x,

贝ljj=(2020-幻一(2017-x)=3

所以，(2020—x)(2017—x)="=；［(/+/)一5一份2］

=^(4051-32)=2021

【点睛】本题考杳完全平方公式的变式应用，解决本题的关键是理解题目所给的变形方式并正确应用.

2233nn

13.已知a+b=1,ab=-1,设Si=a-b,S2=a+b»S3=a+b....Sn=a+b

(1)计算S2和S4

(2)已知a3+b3=(a+b)(a?-ab+b2),求S3并猜想Sn.2，Sn.pSn三者之间的数量关系(不需要证明);

(3)若M=(SI+S2+S3+—$99)(S2+S3+----S100)，N=(S1+S2+S3+-—S)oo)(S2+S3+--S99)判断M,N的大小,

并说明理由.

【答案】(1)S2=3,S4=7,(2)S3=4,Sn.2+Sn.i=Sn,理由见详解；(3)M>N,理由见详解

【分析】(1)根据完全平方公式以及变形公式，即可求解；

(2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),即可求出Sa=4,an_2+bn*2+a,vl+b11'1tno'a+b=l,ab=-1,可得

Sn.2+Sn-|=Sn；

(3)设A=S1+S2+S3+—+S99，B=S2+S3+--+S100,利用作差法，即可判断M,N的大小.

2222

【详解】解：(1)S2=a+b=(a+b)-2ab=l-2x(-1)=3,

44222222222

S4=a+b=(a+b)-2ab=(a+b)M(ab)=3-2x(-1)2=7,

3322

(2)S3=a+b=(a+b)(a-ab+b)=lx(3+1)=4,

+

猜想:Sn.2Sn.l=Sn>

理由如下：:a+b=1,ab=-1,

/.an'2+bn-2+an',+bn*,=an'2(1+a)+bI>2(1+b)=an'2(-ab+a)+bn2(-ab+b)=an，1(l-b)+bn''(l-a)=an+bn»

=

***Sn.2+Sn.iSn；

1(M)loo

(3)VSi=a+b,S1Oo=a+b>0,

设A=S1+S2+S3+-—+S99,B=S2+S3+-—+S|(x)

.*.M-N=AB-(A+Sioo)(B-Sloo)

=AB-AB+(A-B)S|oo+SiooxSioo

=(S「Sioo)S100+SK)OXSIO()

=SjS100

=S|()o>O»

AM>N.

【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是S^+SnT

=Sn.

题型五：杨辉三角

14.我国占代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例.如图2,我们发现

杨辉三角给出了(。+力"(〃为正整数)的展开式(按。的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在

三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应仅+6)2=Q2+2R,+〃展开式中各项的系数；第四行的四个数

1,3,3,1,恰好对应(a+/?)3=，++"展开式中各项的系数：….

(a+by=a-\-b

(a+b)2=储+2ab+b2

(a4-by—々3+3a2b+3ab2+b3

图1图2

(1)S+A)4展开式中共有一项，第三项是二

(2)推断整式S+与”储为正整数)的展开式的各项系数之和为二

5432

(3)利用上面的规律计算(不用材料中的规律计算不给分)：2-5X2+10X2-10X2+5X2-I.

【答案】(1)5；6a2b2

⑵2"

(3)1

【分析】本题考查了杨辉三角形，熟练掌握杨辉三角形的特点，灵活运用公式，活用一般与特殊的思想是

解题的关键.

(1)展开的项数等于字母a的不同指数的个数即4,3,2,1,0,根据杨辉三角形的规律确定各项的系数

即可；

(2)猜想指数为0,为1,为2,为3的系数之和，透过枚举法猜想其中的规律即可；

(3)逆向使用公式求解即可.

【详解】（1）解：由杨辉三角的系数规律可得，

（“+力y=a"+4a'h+6a'b~+4加+b4,

•••展开式共有5项,第三项是6。2b2.

故答案为：5；6a2b25

（2）解：••・第一行各项系数和为1=2°，即（〃+与°的各项系数和为2°，

第二行各项系数和为2=2、即（。+”的各项系数和为2、

第三行各项系数和为4=2?,即（。+力）2的各项系数和为2-

笫三行各项系数和为8=2、即（。+%）3的各项系数和为2）

由此可得（4+»”的各项系数和为2".

（3）解：由杨辉三角可知，

原式=2$+5x2,x（-l）+10x23xQl）?+10x22x（7）3+5x2x（-l）4+x（-1丫

=（27）5

=1.

15.杨辉三角

如果将（“+力）”（〃为非负整数）的展开式的每一项按字母。的次数由大到小排列，就可以

得到下面的等式：

（a+b）°=l,它只有一项，系数为1；

（a+"=a+b,它有两项，系数分别为1,1：

（a+b）2=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1；

（a-^-bf=cr+3a2b+3ab2+b3,它有四项，系数分别为1,3,3»1：

将上述每个式子的各项系数排成该表（如图）.

12J观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1

个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继

续往下写.

利用上面的规律，完成以下问题:

⑴（a+b）4的展开式为；

(2),+98的展开式中共有项，从左往右第三项的系数是；

(3)计算：3、4X33+6X32+4X3+1;

(4)代数推理：已知〃?为整数，求证：(〃，+3)3-(团-3)3能被18整除.

【答案】(lW+4a3b+6a2b2+4合心+投

(2)九,28

(3)256

(4)见解析

【分析】本题考查了整式乘法和减法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题

的关键.

(1)先根据杨辉三角得出(。十8)’的展开式的系数，再根据展开式的每一项按字母。的次数由大到小排列,

即可解答；

(2)根据规律可知的展开式中共杓九项，再逐步列举出(。+力)"展开式中的系数，即可得出答案：

(3)通过观察可知，所求算式满足的展开式，则有3,14x33।6x32।4x3I1=(3I1)，即可求解；

(4)先根据展开式的规律得到(〃；+3丫=〃/+9〃/+276+27,(〃?-3)3=63-9/+27机-27,作差得到

(m+3)'-(〃?-3)'=18(m2+3),进而可得结论.

【详解】(1)解：根据题意，6『的展开式有五项，系数分别为1,4,6,4,I,

(。+力)4的展开式为a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

故答案为:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

(2)解：根据题意，(a+b)’的展开式有六项，系数分别为1,5,10,10,5,1,

(。+》)6的展开式有七项，系数分别为1,6,15,20,15,6,1,

(。+人)’的展开式有八项，系数分别为1,7,21,35,35,21,7,1,

(。+力?的展开式有九项，系数分别为1，8,28,56,70,56,28,8,1,

「•(。+勾8的展开式中从左往右第三项的系数是28.

故答案为；九；28.

(3)解：34+4X334-6X32+4X3+-1

=34+4x33xl+6x32xl2+4x3xl3+r

=(3+1)4

=44

=256：

(4)解：(w+3)3=m'+3/M2x3+3mx32+3'=4-9m2+2hn+27，

(〃1-3)一=nv+3nrx(-3)+3?«x(-3)'+(-3)=疗-9M+27m—27,

(TH+3?-(m-3)3

2

=("'+9nr+27m+27)--9m~+27w-27)=m-+9〃/+27，〃+27-nr+9m-21m+27

=18W2+54

=18(W2+3),

•・・18(/+3)能被18整除，

:.(加+3)’-(加-3),能被18整除.

16.阅读材料：

材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾

宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”(如图1);材料2：我们知道，(a+“=a+b,

(a+b)2=a\2ab+bL利用整式的乘法运算，还可以得到：

(a+h)3-(47+h)(a2+2^4-h2)-a3+3a2b+3ab2+b5.当a+“0时，将计算结果中整式(以〃降次排序)

各项的系数排列成表，可得到如图2.

R9I网2用3

(1)请根据材料•1和材料2直接写出：

①(〃+34展开式中/b的系数是」

②(。+”"展开式中所有项的系数和为二

③利用上面的规律计算(结果用乘方表不)：2*+8x2,+28x20+56x2,+7()x2,+56x23+28x2?+8x2+1;

(2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形"，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若(〃?,〃)

表示第6行，从左到右数第〃个数，如(4,2)表示第四行第二个数是卷，则(6,3)表示的数是

【答案】⑴①4；②2%③炉

【分析】本题考查了数宇规律，整式乘法，因式分解的应用，找出本题的数宇规律是正确解题的关键.

(1)①根据每一行两端的系数都为1,中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可；

②根据已知式子中系数和的变化规律求解即可；

③根据题中计算规律可将原式化为(2+1))继而求解即可；

(2)由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第〃?行第一个数为并且相邻两个数之和等于

m

它们上方的数，据此求解即可.

【详解】(1)解：①(q+»4=/+4a%+6a%2+4R/+〃，

JJb的系数为4,

故答案为：4.

②(a+〃)°的系数和为1,即2°，

(。+”的系数和为1+1=2,即*

(a+b)2的系数和为1+2+1=4,即22,

(。+匕)3的系数和为1+3+3+1=8,即2%

••.(a+b)"的系数和为2〃，

・・.(。+”°展开式中所有项的系数和为2°，

故答案为：2一

③根据题中规律可得：

2s+8x27+28x26+56x25+70x24+56x23+28x22+8x2+1

=2!，+8x27xl1+28x26xl2+56x25xP+70x24xl4+56x23xl5+28x22xl6+8x2xr+l,l=(2+l)x=38.

(2)解：由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第〃?行第一个数为工，并且相邻两个数之和

m

等于它们上方的数，

・•・第6行第一个数是1,

0

「第5行第一个数是:，那么第6行第二个数为:-!=忆=上,

5563030

又・・•第5行第二个数是，，

第6行第三个数为呆呆看力,

工以(6,3)表示的数是表，

故答案为：上.

oU

题型六：整式的乘法、乘法公式的图形应用

17.从边长为。的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图

2).

(I)上述操作能验证的等式是.

A.a2-2ab+b2=(«-/>)'B.a1-b2=(a+b)(a-b)C.a2+ub=a(a+b)

(2)已知4/一〃=24,2a+b=6,则2。一6=.

(3)应用所得的公式计算：20252-2024x2026.

(4)应用所得的公式计算:9(10+1|(102+1)(104+1)(108+1)(10,6+1).

【答案】(1)B

(2)4

(3)1

(4)1032-1

【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键.

(1)根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可；

(2)把4/一/=24利用(1)的结论写成两个式子相乘的形式，然后把2a+b=6代入即可求解;

(3)先将2024x2026化成(2025-1)x(2025+1),再应用所得的公式(2025-1)x(2025+1)=2025?-尸，即可

计算得到结果；

(4)先将9化成然后应用所得公式即可逐步计算得到结果.

【详解】(1)解：图1中，边长为。的正方形的面积为：边长为b的正方形的面积为：孔

・••图1的阴影部分为面积为:/

图2中长方形的长为：a+b,长方形的宽为：a-bt

・••图2长方形的面积为：(a+b)(o-b),

?.a2-b2=(a+b)(a-b),

故选：B.

(2)解：•.•4a-24,

:.(2a+h)(2a-b)=24,

又2a+b=6,

:.2a-b=4,

故答案为：4.

(3)解：20252-2024x2026

=20252-(2025-1)x(2025+1)

=2()25?-(20252-1,

=20252-20252+l

=1.

(4)解：9(10+l)(102+l)(104+l)(10s+l)(10,6+l)

=(：0-1)(10+1)(10:+1)(104+1)(10K+1)(10,6+1)

=(102-l2)(102+l2)(104+l)(108+l)(10l6+l)

=(104-14)(104+14)(10S+1)(10,64-1)

=(ios-r)(ioK+is)(io,6+i)

=(i0,6-l,6)(10,6+l'6)

=1032-l32

=1032-l.

18.乘法公式的探究及应用.

数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，月种纸片是边长为。的正方形，8种纸片是边长

为力的正方形，。种纸片是长为从宽为。的长方形，并用4种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼

成了如图2所示的大正方形.

②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（。+与（3。+〃）=.

（2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2。+与（。+26）,（在图4的方框内进

行作图），进而可以得到等式：：

（3）利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若4/+10帅+4/=5,。+2力二；,求的值.

【答案】（1）①（Q+b『=/+〃+2M②3"+4"+〃

（2）图见详解，（2。+6）（。+26）=2/+5"+2b2

（3）5

【分析】本题考查了整式乘以整式在几何中的应用，面积法；

（1）分别用两种方法表示出面积为（〃+炉和/+62+2",即可求解：

（2）分别用两种方法表示出面积为（〃+3（3。+力）和3/+4孤+凡即可求解；

（3）将4/+10。6+4〃化为2（2/+54/）+262）,由（2）可得2。+6=（2—+5。6+〃）+（。+2b）,即可求解;

掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键.

【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为（"+/＞））

方法二：图2的面积可表示为：

a2+b2+ab+ab

=a2+b2+lab♦

/.（。+力『=a2+b2+2ah,

故答案：（a+b）~=a2+b2+2ab；

②方法一：图3的面积可表示为（。+〃）（3。+〃），

方法二：图3的面积可表示为：

3a2+4ab+b2,

（a+b）（3a+b）

=3a2+4ab+b':

故答案：3a2+4ab+b2;

（2）解：如图，

(2a+b)(a+2b)=2a2+Sab+2/：

故答案：2a2+5ab+2h2；

(3)解：4a2+\0ab+4b2

=2(2a2+Sab+2b2)

由⑵可得：(2a+b)［a+2b)=2a2+5ab+2b2,

Aa2+\0ab+4b2

=2(2a+b)(a+2b)t

(2a+b)(a+2b)

,,5

=2a“+5ab+2b~=-，

/.2a+b=(2a2+5ab+//)+(〃+2b).

・•・当a+28=,时，

2

2a+b=(2a2+Sab+2/?2)4-(«+2b)

51

=—；—

22

=5.

19.［知识回顾］

有这样一类题：

代数式a-y+6+3.”5k1的值与x的取值无关，求a的值;

通常的解题方法;

把工，y看作字母，。看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0,即原

式=(a+3)x—6y+5,所以a+3=。，即a=-3.

A

b

图1图2

［理解应用］

(1)若关于x的整式(2〃?-3)》+2〃/-3加的值与x的取值无关，求m的值;

⑵已知3［(2工+1)(..1)7(1-3刈+6(*+盯-1)的值与》无关，求y的值；

(3)

(4)(能力提升)如图1,小长方形纸片的长为八宽为瓦有7张图