2012年北京大学保送生考试数学试题

2012年北京大学保送生考试数学试题

1.已知数列｛a｝为正项等比数列，且@3+a-a-a2=5,求as■限的最小值.

2.已知/(x)为二次函数，且&『同产仔(分))」。。8))成正项等比数列，求证:

f(a)=a.

3.称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三旃形的内接正方形.若锐角三角形

ABC的三边满足a>b>c,证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为

acs\xiB

〃+csin力

4.从。点发出两条射线A3已知直线应4，L2于AJB两点，旦SaaRc为定值),

记AB中点为X,求证：X的轨迹为双曲线.

5.已知a(i=l,2,…,10)满SLa+a2+...+ao=30(aa2...o<21,求证：

3a,(i=l,2,-,10),使a,<L

2

2012年清华大学保送生考试数学试题

-、填空题

1.若复数=为虚数,且1=|=l,Re(=(l-2i))=l,

则==______________

2.在数列｛a｝中，a=1,a*i=an+2.

若数：的前n项和-,

歹I」4%为37则

11=

Q

3.现有6人会英语，4人会日语，2人都会(共12人)，从其中选出3人做翻译，要求两种

语言都有人做翻译，则符合条件的选法种数为.

4.有一人进行投篮训练，投篮5次，失误一次扣1分，进一次得1分，连进2次得3分，连进

3次得5分.若投篮的命中率为，则投篮3次恰好得2分的概率为

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5.不定方程；+；+==1(U4J〈二)的解(「,y,Z)的组数为

6.某几何体的三视图如右图所示，用a,B,丫\

分别表示主视图、左视图、俯视图，设［。

Sa,Sg,S,是实际J晌体中能看到的面积，

则Sa,Sg,S,从小到大的顺序为

二、解答题

7.抛物线夕二；Y与直线1:y=x+4所围成区域中有一个矩形ABCD,且点A,B在抛

物线上，点D在直线/上，其中点B在y轴右侧，且|AB|=2t(t>0).

(1)当AB与x轴平行时，求矩形ABCD面积S(t)的函数关系式；

⑵当边CD在直线/上时，求矩形AB8面积的最大值.

8.己知函数=2cos.r(sinlr+J)-sin3*且.xw[o,2n].

⑴求函数f(x)的最大值和最小值;

⑵求方程J(x)=J3的解.

9.已知函数/(.「)=hl--且数列｛a｝满足：a=1,an)i=f(an),

r

⑴求证：r-e^+lX)恒成立；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)求证：数列｛%｝单调递减，且axX)恒成立.

10.在aOAB内(含边界)，其中。为坐标原点，点A,B分别在在X轴，y轴的正半轴上,

且OA=OB=2

(1)用方程或不等式表示△OAB围成的区域；

⑵求证：在AOAB内的任意11个点，总可以分成两组，一组中各点的横坐标之和不大

于6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6

2

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2013年北京大学保送生考试数学试题

【第1题】ZXABC内点M满足NCMB=100°,线段BM的中垂线交边AB于P,线

段CM的中垂线交边AC于Q,已知：P、M、Q三点共线，求NCAB.

abc

-----<------+------

1+〃1+61+r

【第2题】正数a,b,c满足avb+c,求证:

【第3题】是否存在两两不同的实数ab,c,

使直角坐标系中的三条直线

y=ax+b,y=br+c,y=cx+a共点.

【第4题】对｛1,2,…9｝的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集,

问奇子集的个数.

3

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【第5题】在一个2013X2013的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等

差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.

3

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2013年清华大学保送生考试数学试题

【第1题】求证:

宙14)和I4)

【第2题】求证：—一~二——-_妈~~—------为关于x的整系数多项比

—ZIno-力2no-/)

【第3题】已知-1.—+—=1,/力+力7+/〃=/,求ab5+bc5+cd的值.

C/

gcd(ab)=LN£

【第4题】求证：平面内间跟为d的一组平行直线，任意放一长为(I<d)的针与直线

相交的概率为产—

nd

4

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【第5题】求证:

4

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2013年北京大学保送生考试数学试题详解

【第1题】

△ABC内点M满足NCMB=100°,线段BM的中垂线交边AB于P,线段CN的中

垂线交边AC于Q,已知：P、M、Q三点共线，求NCAB.

解：如图.

ZPBM+ZQCM=ZPMB+ZQMC=18O°-ZBMC=8O°

ZMBC+ZMCB=18O°-ZBMC=8O°

于是

ZABC+ZACB=(ZPBM+ZQCM)+)(ZMBC+ZMCB)=160°,ZBAC'=20°

【第2题】

11+31+C

3+c+l3+c+l3+c+l1+31+c

因此原不等式得证.

【第3题】

是否存在两两不同的实数a,b,c,使直角坐标系中的三条直线

y=ax+b,y=br+c,y=cr+a共点.

解：原问题即方程组ax+b=br+c=cx+a有解(a,b,c,x),其中a,b,c两两不同.

5

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..c-ba-c

=-----=------

a-bb-c

C-b/7-C

整理-----=-----,Wd2+b2+c2=ab+bc+ca,与a,b,c两两不同矛盾.

a-bb-c

于是不存在符合题意的实数对(a,b,c).

【第4题】

对｛1,2,…9｝的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的

5

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个数.

解：设1\仁{135,7,98二24,6,8},则奇子集由乂中的1个、3个或5个元素以

及N中的任意个元素组成.因此奇子集共有

£+d+C)・24=256个.

【第5题】

在一个2013X2013的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证:

左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积

解：下面证明对nxn的数表，定3ji£Nn是奇数，命题均成立.

当n=2k+l时，不妨设数表如图

于是

一(a+b)2+(c+d2=a+c2+b+d+24(a+c)+(F+d)

(ab+cd)2=(d+c2)(b2+d)

6

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2abcd=b2c2+ad

—>ad=bc

因此命题成立.

2013年清华大学保送生考试数学试题详解

6

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【第1题】求证:

证明：用数学归纳法证明.

当n=l23,4,5,6时，命题显然成立.

假设当n二k〃一3/W+2〃+4

时命题成立,212•'则

即

当

n=k+6时

里4+6-3/-(/+6)'+2(4+6)+4-Jg]/-町]—+24+4+3+48

iL2」12/-0\L2JJI12

*皿+<_("4)

12

7

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（由归纳假设）

缚叫剪

7

…，6加-3（2"，+1）］「6〃/-3（2"，+2）.、,..

左边:------\-------+--------------4-32w-6zr/+5=C

当k=6m时,

k=6m+l时左边

6"/+1-乂2,/+1）"|2）］..“八「八

=---------------------m----------Y--------"+3.2”/-（6附+1）+5=0

以下略.

行（14）向14）

X41

■____________0W4-M

【第2题】求证：口（1-力n（i-/）.n（i.，）

为关于X的整系数多项式.

41ZZ

4八】m（八1）

证明：只需要证明F_曰——-——㈣——-------为关于X的整系数多项式.

n（，Tn（八1）n（g）

2ZZ

记3"（x）=n%-7叱，则

“，❸川

8

4):(x)是在实数范围内不可分的小(k)次整系数多项式因式(因分分圆多项式必然为整

系数多项式，具中4)为欧拉函数)，如

22

q(x)=x-1,92(X)=X+1,93(X)=X4-X+1,44(X)=X+1,....

于是=如x6-l=g(r)・(p2(x),甲3(x)：6(x).

于是甘(.41)=立其中回表示对？取整.

因此问题即对于任意正整数R分子所含因式4)。(X)的个数不少于分母所含的因式

8

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九⑨的个数，即证明甲£N

下面证明Vx,y>O,x,yeR,[2x]+[2y]>[x]+[y]+[x+y]

设x-[x]={},则

[2x]+[2y]-[x]-[y]-[x+u]

=2[x]-F[2{]+2[y]-F[2{v}]-[x]-[n]-[x]-[y]-[{x+v3]

=[2{]+[2{V}]-[{X+V3]

而2{x}2{x+}或2{v}N{xHy}显然成立，于是命题得证.

【第3题】已知14「5L55"“土

.、*b、”nJ,求ab$+bl+ca$的直

abc=~—+=

C

9

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abc--1

心><<1/<-1—//+ad

ao^bc^ca=一一-----+H=----------------

aca

+-3/d+3/l3//-3,

=----F----=行—=-^-=3

法2:令〃=一二,占二-2.c=一二，则

，整理得x32+y3x2+3y2=0.

即

9

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于是

x<y9+y>+2x5=3(x2y3):(v32):(3x2)(:a+b+c=0=a+b+c3=3a

be)

小小人W丁不咛咛T上k=一阴—=3

法3:由<+4>=居&2c=02七.

'’根据轮换对称可得隰寸-犍2b二U-a.

于是ab，+bc5+ca5=B(a2-c)+c3(b2-a)+a3(c2-b)

1

C1=：-----:-

SH10COS-0

=ab3+b2c3+c2a3-(b3c+c3a+a3b)

=ab(d2-c)+bc(b2-a)+ca(c2-b)-(Bc+da+db)=3

法4:1。当c>0时，令卜=/疝18,则由abc=l,得

[“dcos3。

217

于是/+M+dsinecolO+JcodJ+Tsin'6

sin©cos10©cos20sin50

sin36cos66sin?8cos46sin8cos'8

cos4Q\sin40

sin29sin2©cos26CQS20

-cos6d+l-sin60,

sin)8cos36

10

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2。当“0时，令＜"=（-「）？13nq以下略.

，=，sec?6

10

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【第4题】求证：平面内间跟为d的一组平行直线，任意放一长为(l<d)的针与直线

2/

相交的概率为/二,

nd

解：姐图，设:针附中点离最近的直线的距离为x,与直线所成的角为(),

re0.,0€

则.1

一=生

dxnd

22

针与直线相交即

/sin0,因止匕

*4-------

【第5题】求证：gcd(a0)=Lgg/"平

证明：设gcd(亿二砂,3='L其中a,b,d,x,y£N,则w2=l

i,i，i1z，11，1

lyyZ^-人,+.・・+林»)・,©

^ZoZo"MM

由于‘1一a“八心+au+a2%...+a(a-ir)=1一a*〃=0

因此当且仅当m=0,x,2x,...,(d-l)x时w”=l,此时

II

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w0+a"+a2，,+...+w(a-l)m=a

而当m取其他值时a°+wH+a2，,+...+w)@-l)"=0.

于是①式的值)为'Hz-M原式得证.

a

2012年清华大学保送生考试试题

一、填空题

1.若复数二为虚数，且|=1=1,Re(=(l-2i)=l,则二二

II

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2.在数列｛a｝中，a=1,am1二a1+2.若数1摩

列〈」一｝的前n项和为—,则

2

3.现有6人会英语，4人会日语，2人都会供12人），从其中选出3人做翻译，要求两种

语言都有人做翻译，则符合条件的选法种数为

4.有一人进行投篮训练，投篮5次，失误一次扣1分，进一次得1分，连进2次得3分，连进

3次得5分.若投篮的命中率为则投篮3次恰好得2分的概率为

5.不定方程1+1+1_:1（*3「4二）的解（1*,丫,二）

6.某几何体的三视图如右图所示，用Q,B,丫分别表示

主视图、左视图、俯视图，设S,SgS,是实际几何

体中能看到的面积，则SaSg,S,从小到大的顺序

为____________

二、解答题

7.抛物线刀=；，与直线1：y=x+4所围成区域中有一个矩形ABCD,且点A,B在抛

物线上，点D在直线/上，其中点B在y轴右侧，且|AB|=2t（t>0）.

⑴当AB与x轴平行时，求矩形ABCD面积S（i）的函数关系式；

⑵当边8在直线/上时，求矩形ABCD面积的最大值.

12

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8.已知函数｛0=2COSJ*(sinlr+1)-sin3x，且・xe1°，2ji^

⑴求函数J(r)的最大值和最小值；

⑵求方程f(x)=J3的解.

12

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9.已知函数/(.r)=In且数列｛a[｝满足:a=1,ami=f(ax).

.r

(1)求证：「e'd+lX)恒成立；

(2)求函数J(x)的单调区间；

⑶求证：数列&｝单调递减，且由＞0恒成立.

10.在AOAB内(含边界)，其中。为坐标原点，点A,B分别在在r轴，y轴的正半轴上，

且0A二0B二2.

(1)用方程或不等式表示AOAB围成的区域；

(2)求证：在aOAB内的任意11个点，总可以分成两组，一组中各点的横坐标之和不大

于6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6

部分解答：

7、

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解：⑴由题意，【）（-.4-t）,且点诲点A的上方，

故4-i>y,又!>0,解得0<r<2,

故5）-3丁）・&-Rt所以Sr）-8-2/-r3,t£（0,2）

⑵由于7•夕与厂x+4?臃二象限的交点是（-2.2）,

设瓦-2.2），则k-1.而k2o-l,

且点I）在抛物线开口内的线段-x+4上（包括左端点），

故点A必在y轴右侧（色括原点。）,设AB方程为尸x+b,则6so

联立卜•：/，得M-2x-2b-0,设AHB),B(x,Ji),

则x+1-2.—2b,所以A阴-VX4+8)-2.

解得；）・勺如（0的

得照•苧•亨•我

由杂谈间的距离公式,

所以整■乎Q2）

令明■朱*e（0。2）.

求导，得/\M苧（6-力>0

14

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所以/V)■qe[o,^2]为增函数

所以8).■")邛此时点A与原点O重合

所以矩形ABCD面积的最大值为8

14

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8

睇/2・2($in2x+¥)85x-皿2x+幻

=2sin2xcosx+^3cosx-sin2xcosx-ccs2xsinx

=sin2xcosx-cos2xsinx+d3cosx

斤

⑴因为xe[0,2n],所以当兀■/时，f(x)mw=2;

O

当工工§时，f(x)rma=-2

6

⑵由2血（r♦争得皿x咛）■孝

因为xE[0,2r],所以x=0,或g,或2兀

9

15

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证明：

⑴令g(x)=e，x-e2+i.求导得g'(x)=eAx

当x<0时，g>(x)<0;当x>0时，g(x)>0

所以g(x)在(-8,0)内为减函数，在(0,置)0)内为增函数

所以g(x)2g(O)=0,即e'x-e*+120恒成立

⑵对了㈤求晟

母」c1-1xJ-l?

由⑴知，当xHO时，e'xdHX),

又一T>。,所以广(x)>0恒成立.

e-1

因为J(X)的定义域为(-0,0)U(0,+o),

所以J(x)的单调增区间为(-C.0),(0,+8)

⑶用数学归纳法证明：对任意n£N,都有0<dn+lQn

①当n=l时，q=l,a2=f(aO=f()=In(e-l),

由于1ve-1ve,所以Ovln(e-1)v1,BP0<a2<ai,

②假设当n二k(keN)时结论成立，即0<@+1<4B

因为｝(x)在(。，宣⑹内为增函数,

=)=id(—)?itii=o.

所以0<J(ami)<J(a),即0<a82<QB+l

因此当n=k+l(k£N)时结论也成立

由①②可知，0<ax1<a3对任意n£N都成立

所以数列｛aj为递减数列，且ax>0恒成立

16

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2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案

1.已知数列｛a｝为正项等比数列，且为将-a-a2=5,求+&的最小

值.

16

凰门一中2011级自主招生辅导讲义一数学一黄昌毅

解:设数列伍｝的公比为q(q>0),K0aq2+ag-a-ag=5,

：,a=~—-----=-------—.由a>0知g>l.

/+/-1-夕(,+1)夕―1)

554

++力=(1川(八])*"1)=7Tl

=岩H八"六+2)皿

当且仅当/—1=」_即H时，加M有最小值20.

2.已知取)为二次函数，la,f(a),/(f(a))J(J。(a)栅项等比数列，

求证：

f(a)=a.

证法一：设f(x)=mx21nxIt(m^0),数歹!]a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))的

公比为q(q>0),

则f(a)=a,f(f(a))=f(ag)=ag2,J(f(/(a)=f(ax2)=ai,

/.mcP+ma+t=aq①m(aq)2+naq+t=ag2②

m(ax2)2+naq2+t=ag2®

①迎)得，)+na(l-q)=ag(l-q),

②■(§得md(4)(1-+)+naq(l-q>ag2(l-q).

若q=l,则f(a)=a;

凰门一中2011级自主招生辅导讲义一数学一黄昌毅_______________________

若qW1,则mcf(1+q)+n=aq与mdq(1+q)+n=aq矛盾.

/.f(a)=a.

证法二：由a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))成等比数列得

厦门一52011级白主招生辅导讲义一数学一黄昌毅

M/(/㈤)/(/(/(切)

〃一/(")-/(/(〃))

/(/(砌-/(〃)/(/(/(〃)))-/(/(〃))

/(〃)-，/(/(〃))-/(〃)

三点A(af(a),B(f(a),(f(a),c(f(a)).((/(a))满足

kg=k8c,

・・・A,B,C三点共线，与AB,C三点在抛物线上矛盾，，的内

3.称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形