八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）-第二十一章 代数方程（单元重点综合测试）（解析版）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十一章代数方程单元重点综合测试

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0・5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置

一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）

1.（2023下•上海静安•八年级统考期末）下列方程中，属于无理方程的是（）

C.卫~=1D.y/2x=0

A.x2-41=0B.y/2x=I

X

【答案】B

【分析】根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程.

【详解】A项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，

B项的根号内有未知数，所以是无理方程，故本选项正确，

C项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本诜项错误，

D项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，

故选:B.

【点睛】本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析看看哪一项符合无理方程的定义.

2.（2023下•上海宝山•八年级统考期末）上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长

度为9千米的“健身步道”行走，用的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x

千米/时，那么下列方程中正确的是（）

99999999

A.-----------=15B.------------=0.25C.-----------=15D.-----------=0.25

x1.5x\.5xx\.5xxx1.5%

【答案】D

【分析】根据题意可直接进行求解.

【详解】解：由题意得：-9--^9-=0.25.

x1.5x

故选：D.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键.

V—1v2r—1

3.（2023•上海长宁・统考二模）用换元法解方程上，--一=3时，如果设土—=），，那么原方程可化为关于

x2x-lr

的方程是（）

A.y2+3y-\=()B.y2-3y-\=()C.y2-3y+\=()D,y2+3y+\=0

【答案】B

【分析】设二二y,则原方程可化为去分母即可.

xy

【详解】解：二一二二3,

xx-I

设？=y,

则原方程可化为）=,=3,

y

则/一3），-1=0,故B正确.

故选:B.

【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，解此题的关键是能正确换元.

4.（2018・全国•九年级专题练习）若关于人的分式方程」1-二=1有无解，则小的值为（）

x-22-x

A.-4B.2C.-2D.4

【答案】A

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出机的值即可.

【详解】解：去分母得：+2x=x-2,

移项、合并同类项得：x=-2-m,

•・•分式方程无解，

Ax-2=0,解得：x=2,

:.2=—2—m,解得：m——4,

故选：A.

【点睛】本题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键.

5.（2023下•上海浦东新•八年级校考期末）下列方程中，有实数根的是（）

A.y/x-1--xB.Jx-1+Jx-2=0

-x1ni----

C.f--D.VA+2=x

x—IV—1

【答案】D

【分析】分别解无理方程和分式方程，进行判断即可.

【详解】解：A、g=—x,

-NO,石二Tzo

Ax>1,

-xv0,

・•・原方程没有实数根，不符合题意;

B、y/x—\+Jx-2=0,

v/Td>0,Vx^2>0,

・・・工-1=0且x-2=0,

・•・原方程没有实数根，不符合题意;

Ax=l,

当x=1时，x2-1=01

・•・原方程没有实数根，不符合题意；

D、4x+2=x,

x2-x-2=0>

A（x-2）（x+l）=0,

.•.、=2或x=-l（舍去）；

・••方程有实数根，符合同意；

故选D.

【点睛】本题考查解分式方程和无理方程.熟练掌握解分式方程和无理方程的步骤，正确的计算是解题的

关键.

6.（2022下•上海•八年级专题练习）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：

信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时；

信息二：甲4小时完成工作量与乙3小时完成工作量相等；

信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍

如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（）

A.13,小时B.13g小时C.14」小时D.14：小时

6262

【答案】C

【分析】设甲单独完成任务需要八小时，则乙单独完成任务需要（x-5）小时；根据信息二提供的信息列出

方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间.

【详解】解：设甲单独完成任务需要X小时，则乙单独完成任务需要（X-5）小时，则

43

­=-------.

xx-5

解得x=20.

经检验x=20是原方程的根，且符合题意.

・・・户20是所列方程的解.

AA-5=15.

・•・甲的工作效率是，乙的工作效率是我，

则丙的工作效率是5.

.一轮的工作量为:表+七+持焉

522

・・・4轮后剩余的工作量为：

6015

2111

・•・还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：

・•丙还需要工作1小时.

6

故一共需要的时间是：3x4+2+7=14J小时.

66

故选：C.

【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）

17

7.（2023下•上海闵行•八年级统考期末）方程;/+]=0的解是.（保留三位小数）.

【答案】-1.246

【分析】先求出x=-冷，再利用计算器求出即可.

【详解】解：3]'+|=0，

x5=-3»

x二一'一1.246,

故答案为：-1.246.

【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出x=-冷是解此题的关键.

8.（2023下•上海浦东新•八年级统考期末）关于x的方程。入2卜=1。〃02）的解是

【答案】x=T

m-2

【分析】由加工2,在方程两边都除以〃?-2即可得到方程的解.

【详解】解：・・・（机-2）工=1。〃工2）,

.工一I

m-2

故答案为：x

m-2

【点睛】本题考查的是含参数的一元一次方程的解法，掌握解参数方程的方法是解题的关键.

9.（2023下•上海宝山•八年级校考期中）已知解关于%的方程注=」二产生增根，那么机的值是_____.

x-3A-3

【答案】5

【分析】根据增根的概念，可知人=3,由此即可求解.

【详解】解：让|==

x-3x-3

:.x+2=m,

•・・关于x的方程注=」一产生增根，

x-3x-3

.r=3,把x=3代入x+2=m得，m=5,

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查分式的增根的概念，理解并掌握分式中增根的含义是解题的关键.

10.（2023下•上海•八年级阶段练习）用换元法解方程小一-二^=L设），==，那么原方程可以化为

X--1x2x

关于y的一元二次方程为一

【答案】2/+j-6=0

【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是），=上，换元后整理

X

即可求得.

【详解】解：把尸士代入方程得：

%y2

方程两边同乘刀，整理得2y2+），_6=（）,

故答案为：2/+y-6=0.

【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总

结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧.

11.（2023下•上海杨浦•八年级统考期末）如果关于4的方程VTM=〃-1无实数解，那么。的取值范围是

【答案】a<\!\>a

【分析】根据无理方程和二次根式的非负性解答即可.

【详解】解：:Jx+4=a-1v0，

故答案为：a<\.

【点睛】本题考查了无理方程和二次根式的非负性，熟知二次根式&N0是解题关键.

12.（2021下.上海杨浦.八年级校考期中）防汛前夕，某施工单位准备对黄浦江一段长2240m的江堤进行加

固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加20m,因而完成江堤加固工程所需天数

将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固江堤所，则得方程为.

【分析】解：设现在计划每天加固江堤加】，则原计划每天加固汀・堤（x-20）h,根据“现在完成江堤加固工

程所需天数将比原计划缩短2天”即可列出方程.

【详解】解：设现在计划每天加固江堤刈］，则原计划每天加固江堤

（）

根据题意得：¥994；=土?24上0+2,

x-20x

【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

13.（2023下•上海长宁•八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）若实数x满足丝匕一々匚=3,那么

X2-4X+\

2

【答案】

【分析】先将原方程化为听+才不？再令y=x+j进一步将原方程化为2yq=3,解方程求

出y的值，即可得到即可求出原式的值.

o2

【详解】解：QVr士一

IX）

X

々y=x+L则原方程为2y-°=3,整理得：2），2-3），-5=0

xy

解得：X=|，X=7（不符合题意，舍去）

15

Xd---=一

x2

.x_1_1_2

x2

2

故答案为：-2

【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解

法.

14.（2022卜•江苏苏州•八年级校考阶段练习）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做3个，

甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为个.

【答案】6

【分析】设乙每小时做零件x个，则甲每小时做零件（x+3）个，由题意：甲做60个所用的时间与乙做40个

所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可.

【详解】解：设乙每小时做零件/个，则甲每小时做零件（x+3）个，

j拓★，口

由翅意得：一60-=—40»

x+3x

解得：x=6,

经检验，x=6是原分式方程的解，且符合题意，

即乙每小时做零件6个.

故答案是：6.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

15.（2023上•上海虹口•九年级上外附中校考阶段练习）已知关于x的方程—不匚===无解，则实数

x+33-xx--9

m的值为.

4

【答案】一不或2或-1

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出x得值，再由分式方程无解确定出”的值即可.

m1_in+4

【详解】解:

x+33-xx2-9

去分母，得：w(x-3)+(x+3)=/??+4,

4〃？+1

解得:x=-------

m+\

二•方程无解,

.•./+3=0或3-％=0或〃?+1=0,

二./=-3或x=3,

当X=—3时，——y---3,解得："?=--；

m+\7

当x=3时，网上?=3,解得："?=2；

m+l

当删+1=0时,解得〃?=-1；

4

即实数的值为-不或2或-1,

4

故答案为：或2或-1.

【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题过程中不要漏掉答案.

16.（2022上.上海静安.八年级上海市民办扬波中学校考期中）对于两个不相等的实数。力，我们规定符号

族的凡可表示中的较大值，如：Mor{2,4}=4,Mox{x2,-l}=x2,按照这个规定，如具

7r-l

Max{x-x}=^—f则此时x的值是.

【答案】1或-1-&

【分析】根据％与-x的大小关系，取x与-％中的最大值化简所求方程，求出解即可.

2r-I

【详解】解：当x>-4,即x>0时，方程为x=W,

X

去分母得：A-2-2A-4-1=0»

解得：％=/2=1,

经检验%=毛=1是原方程的解：

2r-1

当RV-X,即xvO时，方程为一%二^—

X

去分母得：x2+2x-l=o.

解得：西=-1+75>。（不符合题意，舍），占=一1一亚,

经检验X=-1-V2都为分式方程的解.

故答案为：1或T-

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.

17.（2022上•广东江门•八年级统考期末）若数，使关于1的分式方程=十^一=3的解为正数，且使关于

x-22-x

）'的不等式组尸。'-2）：?，的解集为）,金，则符合条件所有整数〃的积为.

【答案】240

【分析】根据分式方程的解为正数即可得出且。工3,根据不等式组的解集为）*1,即可得出

找出1V4V7且中所有的整数，将其相乘即可得出结论.

【详解】解：分式方程之二+二=3的解为x二?且XH2,

x-22-x2

•・•分式方程=+二=3的解为正数，

x-22-x

，〃<7且aH3,

-3（y-2）>4-><J）

3（y-a）<0®

解不等式①，得了<1，

解不等式②，得yv〃，

•・•关于y的不等式组彳4一旷的解集为ye，

/.«>1,

且。工3,

又。为整数，则。的值为2,4,5,6

符合条件的所有整数〃的积为2x4x5x6=240.

故答案为：240

【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集

为yWl,找出4的取值范围是解题的关键.

18.（2022上.上海虹口.八年级上外附中校考阶段练习）小明在解方程75二7-屈匚=2时采用了下面的方

法:由

(J24-X-J8-X)(X/24-%+A/8-N)=(\/24-X)=(24-x)-(8-x)=16,

乂有后二7-x/^二7=2,可得在=7+应7=8,将这两式相加可得[gZ：；一

将、每二7=5两边平方可解得x=-l,经检验a-1是原方程的解.

请你学习小明的方法，解决下列问题：

(1)已知。22-/一5/10-4=3收，则，22—/+川0一/的值为.

(2)解方程J4£+6x—5+J©?—2x—5=4x，得方程的解为.

【答案】2&x=3

【分析】(1)根据题目所给方法，可求(，22-/々10一/)伊2-/+4()-/)的值,然后结合

722—a2—\l\O-a2=3^2，即可求"'\l22-a2+JlO-a"的值；

(2)根据题目所给方法，可求+6x-5=2x+l，再解方程即可.

【详解】解：(1)

^22-a2->/10-a2)(V22-a2+^10-«2)=p22-a2j--^lO-a2)-=(22-«2)-(10-a2)=12,

X./22-«2-y]\0-a2=3V2，

/.3后(>/22-，+VlO-fl"j=12

•*-722-a2+V10-a2=25/2；

(2)("x2+6汇-5+J4f-215)(+6x-5-"Y-2x-5)

=(V4x2+6x-5j-^J4x2-2x-5\

=(4x2+6x-5)-(4x2-2x-5)

=8x,

<、/41+6+-5+44/-2+-5=4x，

二、/4f+6+-5-，4/-2+-5=2，

两式相加，得\)4x2+6x-5=2x+1,

两边同时平方，得4/।6x5=(2x1I)2,

解得x=3,

经检验，x=3是原方程的解.

故答案为：2夜：x=3.

【点睛】本题考查了解无理方程，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键.

三、解答题（9小题，共64分）

19.（2021下•上海浦东新•八年级校联考阶段练习）解方程：当+1=孚三.

x-2x-4

【答案】x=-4

【分析】先去分母，然后解整式方程，最后检验，进而得到正确答案.

【详解】解：去分母，得（x+2）2+3-4=16,

整理，得/+2x-8=0,

解得x/=2,X2=-4,

经检验打=2星增根，禽去：x?=-4是原方程的根，

所以原方程的根是x=-4.

【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键.

20.（2（）21•上海奉贤•七年级校联考期末）202。年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情，打破了我们

宁静的生活，为了预防新型冠状病毒肺炎，人们已经习惯出门戴口罩.某口罩生产企业在若干天内加工120

万个口罩（每天生产数量相同），在实际生产时，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数是原来的1.5

倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少万个口罩？

【答案】该企业原计划每天生产20万个口罩

【分析】设该企业原计划每天生产x万个口罩，则在实际生产时每天生产L5x万个口罩，根据提前2天完

成任务，列出分式方程求解即可得.

【洋解】解：设该企业原计划每天生产x万个口罩，则在实际生产时每天生产L5十万个口罩，由题意得：

120120,

--------=2,

x1.5x

解得：x=20,

检验：x=20时，15-0,

x=20是原分式方程的解，

答：该企业原计划每天生产20万个口罩.

【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，列出分式方程是解题关键.

1—3Y

21.（2023・上海,八年级假期作业）已知/（》）=；；---

2xI1

（1）求/（。），/⑴，/（g）,/（〃）（"-》；

（2）当x为何值时，/"）没有意义？

⑶当x为何值时，/U）=-2?

【答案】（i）〃o）=i,/⑴=—|，〃"）=资

⑵尤=-：

（3）x=-3

【分析1（1）把x的值分别代入计算即可;

（2）根据分式无意义的条件即可求解:

（3）把，（刈=-2,代入求解即可.

【详解】（I）解：/（。）=找当=；=】，

/XIJ+I1

“上一，二，

''2x1+133

（2）解：:fa）没有意义,

2x+l=0,即得X=-!；

2

（3）解：・・・/。）=-2,

]-3r

，；4=-2,解得x=-3.

2x+l

【点睛】本题考查抽象函数、分式无意义的条件、分式的代入求值、解分式方程，理解题意，掌握相关知

识是解题的关键.

22.（2023上•上海徐汇•八年级上海民办南模中学校考阶段练习）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常

常会利用一些变形技巧来简化式子解答问题.在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所

谓倒数法，即把式子的分子分母颠倒位置，变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.

例：已知：-J=j，求代数式—+上的值.

x-+14X-

解：因为*=：，所以山=4.

x'+\4%

即工+1=4,即

XX

所以丁+4=卜+，）-2=16-2=14.

根据材料问答问题：（直接写出答案）

⑴已知.4则出"

inn_

-----------=3

3m+2n，则方程组的解为

（2）解分式方程组

nm_

-----------=5

2n+3〃

【答案】（1）3,5；

m=—75

⑵25

n=一

3

【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，解分式方程组;

（1）模仿例题.取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解.

（2）先根据例题思路变形，再根据分式性质化简，再利用加减法求解.

【详解】（1）V,¥=1

x2-x+l2

..r2-x+l

•=2

X-1H—=2

X

.1。

・・%+—=3

X

11Y

x+--4=9-4=5,

X）

故答案为：3,5.

mnc

-----------=3

3rn+2n

（2）由

mn，

=5

2m+3〃

-3/-H-+-2-n=一1

mn3

2m+3〃1

mn5

nm3

nin5

由①十②，①-②并组成方程组.得

+—=

③+④x5,得

1018

7=H

解得〃二子25

2s±_1=2

把”=?代入④可得25加一15

3-

解得〃?二一75

m=-75

经检验，原方程组的解是〈25.

n=一

3

23.（2021下•上海宝山•八年级校考期中）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，

分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度）'（米）与施工时间x（时）

之间关系的部分图像.请解答下列问题：

M米）

60甲

50乙

6M时）

（1）甲队在0WXK6的时段内的速度是米/时，乙队在2Mx«6的时段内的速度是米/时.

（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此

后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙反而比甲队提前I小时完成总铺设任务.求提高工作效率后甲

队、乙队每小时铺设的长度分别为多少？

【答案】（1）10,5

（2）甲队每小时铺设15米,则乙队每小时铺设20米

【分析】（1）根据工作效率;工作总量4■时间，即可解答；

（2）设求提高工作效率后甲队每小时铺设〃米，则乙队每小时铺设（。+5）米，根据“乙反而比甲队提前I

小时完成总铺设任务”列出方程，求解即可.

【详解】（1）解：由题意得：

甲队在04x46的时段内的速度：60+6=10（米/时），

乙队在24x46的时段内的速度：（50-30）+（6-2）=5（米/时）,

故答案为：10,5；

（2）解：设求提高工作效率后甲队每小时铺设〃米，则乙队每小时铺设（。+5）米，

150-60,150-50

--------------1=------------,

a。+5

解得：4=-30（舍），a2=\5,

经检验，。=15是原方程的解，

・•・〃+15=20,

答：甲队每小时铺设15米，则乙队每小时铺设2（）米.

【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，分式方程的实际应用，解一元二次方程，解题的关键是

熟练掌握相关知识点，根据题意找出等量关系.

24.（2022上•上海静安•八年级校考期中）如图，某校广场有一段26米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一

部分（或全部）为一边，其余三边新建围栏，围成一块长方形草坪（如图CQb）.

////////////////////////

ACFB

DE

⑴若新建围栏长度为120米，长方形草坪面积为1152平方米，能否完成该草坪闱栏修建任务？若能完成，

请算出利用旧围栏多少米：若不能完成，请说明理由：

（2）若长方形草坪面积为100平方米，整修旧围栏的费用是每米1.25元，建新围栏的费用是每米5元，计划

修建费正好为175元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，

请说明理由.

【答案】(1)能完成，利用旧围栏24米；

(2)能完成，利用旧围栏20米或8米.

【分析】(1)设8的长为x米，则OE的长为(120-2x)米，利用长方形面积公式列一元二次方程计算即可

求解：

(2)设利用旧围栏用米，则。上二机米，C£>=EP=W米，利用总费用175元，列出分式方程计算即可求

m

解.

【详解】(1)解：设8的长为x米，则OE的长为(120-2力米，

依题意得x(120—2x)=1152,

整理得f-60x+576=0，

VA=(-60)2-4xlx576=1296>0,

.60±7129660±36

••X=---------------------------------=-----------------------，

22

：•%=48,%=12,

120-2x=24120-2x=96>26(不合题意，舍去)，

・••能完成，利用旧围栏24米;

1MM

(2)解：设利用旧围栏用米，则。石=加米，CD=EF=—^

rn9

依题意得L25〃?+5「〃+2•则)=175,

kmJ

整理得0.25〃『-7m+40=0,

VA=(-7)2-4X0.25X40=9>0,

.7±>/97±3

••ni=---------=------>

2x0.250.5

，网=20,m2=8,

经检验，叫=20,吗=8都是原方程的解，且满足题意，

答：能完成，利用旧围栏20米或K米.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程.

25.（2022下.四川成都.八年级校考期末）某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售

价比乙型电视机售价少800元，甲型电视机销售额为64000元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且

乙型电视机的销售额是甲型电视机的2.5倍.

⑴求甲、乙两种电视机的售价：

（2）经过市场调查，两种电视机的售价和销售最均满足一次函数