2026年高考数学知识复习（全国）：专题01 平面向量及其应用 （题型清单）（解析版）

专题01平面向量及其应用题型8平面向量在几何的应用题型9平面向量在物理的应用题型10平面向量的新定义题型1平面向量的线性运算大【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示AF即可.F【分析】根据向量线性运算可得,计算即可求解.则所以【详解】因BM=2MC,贝因A,N,M三点共线，故设AN=tAM,题型2平面向量的共线定理1两个向量共线共线定理非零向量a与向量b共线⇔有且只有一个实数λ,使得b=λa.当λ=0时，λa=0.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若alⅡ,则存在唯一的实数μ≠0,使得a=μb,故此时故此时aⅡb,所以“åⅡb”是“存在存在λ≠0,使得|a+λb|=la|+|λb|”的必要条件，故选：C.2(23-24高一下·广东江门·阶段练习)设a,b是非零向量，A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】【答案】C【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可.【详解】对于非零向量a,b,由可知向量a,b共线，但不一定是a=26,所以充分性不成立；由a=25,可知向量a,B共线同向，则所以必要性成立，所以设a,b是非零向量，则成立的必要不充分条件，三点共线，则实数λ=()【答案】【答案】B【分析】利用坐标表示向量共线可得.【详解】AB=a-35=(-2,3)-3(1,2)=(-5,-3),BC=λa+b=λ(-2,3)+(1,2)=因为A,B,C三点共线，所以设AB=μBC→(-5,-3)=μ(-2λ+1,3λ+2),即故选：B4(2025·江苏南通·模拟预测)已知0<θ<π,向量,b=(1,sinθ),且alⅡ6,则θ【答案】【分析】由向量共线的坐标运算可得答案.【详解】因为a|Ⅱb,所因为0<θ<π,所因为0<θ<π,所题型3平面向量的垂直问题所1(舍去),所,故表述正确的是()【详解】因为向量a=(2,1),b=(2,-1),对于A,m//n当且仅当2(1+λ)(1-μ)=2(λ-1)(μ+1),即1+λ-μ-λμ=λμ-μ+λ-1,对于B,m⊥n当且仅当4(λ+1)(μ+1)+(λ-1)(1-μ)=0,即4(λμ+λ+μ+1)+(λ-1-λμ+μ)=0,即(3λ+5)μ=-(5λ+3),即5λ²+6λ=5μ²+6μ,进而可得(λ-μ)(5λ+5μ+6)=0A.μ-λ=0B.μ+λ=0C.λμ+5=0D.λμ-5=0关系.∴(2+λ)(2μ+1)+(1-2λ)(μ-2)=0,整理得λ+μ=0,A.2B.1C.-1【答案】【答案】B【分析】应用向量数量积的运算律及已知条件得a·b=0,再由数量积的坐标表示列方程求参数.【详解】将|2a+6|=|2a-6两边同时平方，得|2a+b|²=|2a-b|²,整理得a·B=0.因为a·b=(m+2)×1+1×(-3)=0,解得m=1.A.B.(3a+8b)⊥ac.(3a+8b)⊥bD.(8a+3b)⊥a【答案】B【分析】将已知条件平方，化简可得a·利用该结论依次判断各个选项.对于选项B,由于a·2,则8a·b+3a²=0,即(3a+8b)·a=0,所以(3a+8b)⊥a,故B正确；对于选项D,(8a+3b)·a=8a²+3a·,故D错误.故选：B.的图象与y轴交于点C,D(5,0),B(2,A),且BC·CD=0,则f(4)=()【答案】C【答案】C【分析】根据函数图象得出w,φ,再求出点的坐标及数量积公式计算A,最后求出函数值.【详解】由题干图象可知,则T=12,所以,解得A=2√10(负根舍去),题型4求平面向量的投影解解1向量b在向量a上的投影：b||cosθ,它是一个实数，但不一定大于0.3求投影或其坐标，多结合图形去思考。【注意】注意投影和投影向量的区别，投影是个数，投影向量是个向量。【答案】【答案】A【分析】由a+b|=|a-6,利用向量的运算律，求得a·B=0,得到a⊥b,设AD=a,AB=b,结合投影向量的计算公式，即可求解.【详解】由a+5|=|a-6|,可得|a+b|²=|a-|²,即(a+b)²=(a-b)²,如图所示，设AD=a,AB=b,则四边形ABCD为矩形，且AC=a+b,CDCaBABb A.(5,-1)B.(3,2)投影向量坐标为()【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得a·b,从而根据投影向量的定义运算得答案.【详解】因为la|=1,b=(1,2),la-b|=√5,所以向量a在向量b上的投影向量坐标则a方向上的投影的最小值为.再【分析】由|3ā-2b|≤V11两边平方可得3a·B≥4+b²,向量在向量6方向上的投影化简》再【详解】因为|3a-2b|≤√11,所以9a²-12a·b+4b²≤11,所以12a·b≥9a²+4b²-11,因为向量a在向量b方向上的投影为题型5求平面向量的数量积1如果两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作：a·2设a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),则数量积a·b=x₁x₂+y₁y₂3求平面向量的数量积，主要有定义法(利用a·b=|al|b|cosθ,往往是数量积的两个向量的模及其夹角易求时使用)、基底法(定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向量，此时利用基底法好使)、建系法(当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求)等等。【注意】求数量积时，要注意的解题方法的选择。1(2025·广东佛山·三模)如图，已知矩形ABCD的边长满足AB=2AD=4,以A为圆心的圆与BD相切于P,则AP·AC=()C.8【答案】A【分析】由AP⊥BD,根据等面积可得由AC=AB+AD及向量数量积几何意义求解即可.【详解】由已知条件可知，AP⊥BD,因此故选：A2(2025-湖北黄冈·模拟预测)在△ABC中，BD=2DC,|AB+AD|=|AB-AD|,|AD|=√2,AD=()A.2B.2√2【答案】C【分析】根据A|B+AD|=|AB-AD|得出AB·AD=0,再利用向量的线性运算得出即可求出所以4AB·AD=0,即AB·AD=0,PA·PC-PB·PD=()A.2B.0C.-2【答案】C【答案】C【分析】法一，连接AC,BD交于点0,连接PO,根据平面向量的线性运算与数量积的运算性质化简求解即可；法二，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算求解数量积即可.【详解】解法一如图，连接AC,BD交于点0,连接PO,所以PA·PC-PB·PD=(PO+OA)·(P=(PO+OA)·(PO-OA)-(PO+OB)·(P故选：故选：C.以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，个DCPAB交则根据题意可得A(0,0),B(2,0),C(3,√3),D(1,√3),设P(x,y),则PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(3-x,√3-y),PD=(1-x,√3-y),则PA·PC-PB·PD=(-x,-y)·(3-x,√3-y)-(2-x,-y)·(1-x,√3-y)=-3x+x²-√3y+y²-(2-2x-x+x²-√3y+y²)=-2.故选：C.4(2025-浙江·三模)已知A,B,C是函数f(x)=|2-log₃x|图象上的三点，A在x轴上，且BC//x轴，若A.0B.-1C.—107【答案】C【答案】C【分析】先根据A在x轴，令函数值为0求出A坐标.设B、C坐标，再根据BC长度列出方程，得到x₁与x₂的关系.写出AB与AC坐标，进而算出(x₁-9)(x₂-9).求出x₁、x₂具体值，得到y₀和y2,算出数量积结果.【详解】令|2-log₃x|=0,即2-log₃x=0,得log₃x=2,所以A(9,0).又x₁<x₂,且y=log₃x递增，所以2-log₃X₁=-(2-log₃x₂),即log₃x₁+log₃x₂=4,根据运算法则得log₃(x₁x₂)=4,所以x₁X₂=3⁴=81.展开(x₁-9)(x₂-9)=x₁x₂-9x₁-9x₂+81=x₁X₂把x₂-x₁=24,x₁X₂=81代入得(x₂+x₁)²=24²+4×81=576+324=900,则则(x₁-9)(x₂-9)=81-9×30+81=162-270yo=|2-log₃3|=1,y?=1.【分析】根据投影向量的求法及已知得【分析】根据投影向量的求法及已知得,进而有即可求夹角.故选：D【答案】【答案】C【分析】由数量积的运算律结合向量垂直得到向量夹角的余弦值，再利用基本不等式和同角的三角函数关系可得.【详解】由题意，得(a-b)·(2a-b)=2|àl²-3|al|blcos(a,b)+|b²=0,又由同角的平方和为1,所以sina, 【答案】【答案】A【分析】应用向量夹角公式计算求出余弦值，再结合同角三角函数关系得出是，最后结合面积公式计算求进而由向量夹角公式得 故选： 故选：A.5(2025·河南·三模)在△ABC中，向量AB=(x,1),BC=(-3,2-x),若∠ABC为锐角，则实数x的取值【答案】【答案】A【分析】根据题意BA·BC>0且BA与BC不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不等式求解即可.【详解】因为∠ABC为锐角，则BA·BC>0且BA与BC不共线.若BA与BC共线，则-x(2-x)=(-1)×(-3),即x²-2x-3=0,故选：A题型7平面向量的最值问题1平面向量的最值是多样的，最常见的是求数量积的最值，方法有(1)定义法(利用a·b=la||b|cosθ,往往是数量积的两个向量的模及其夹角易求时使用),把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；(2)基底法(定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向量，此时利用基底法好使),把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；(3)建系法(当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求),把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值；(4)极化恒等式①平行四边形模式：在平行四边形ABCD中，即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的2利用平面向量的等和线，可以处理类似求AO=λAB+μAC中λ+μ的最值问题；3其他的一些最值问题，主要思路也是几何法或代数法。几何法强调对图形的观察，能够辨识出几何模型；代数法，主要是如何引入参数表示所求，再利用函数方法求解，引入哪个变量是难点。【注意】采取代数法求解最值，要注意引入的变量的取值范围。1(2025-河南·一模)如图梯形ABCD,ABIICD且AB=5,AD=2D【答案】B【分析】先建系解得D,C坐标，再设E坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设D(m,n),C(m+2,n),(m>0,n>田业m²+n²=16m²+n²=16m=2因此m+2,n)·(m-5,n)=0“m²+n²—3m-10=0'n=2√3'所以AE·DE=(x,-2√3(x-5))·(x-2,-2√3(x-5)-=(x,-2√3(x-5))·(x-2,-2√3(x-5)-2√3)=13x²-11【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.【答案】Acos∠COE≤1可得结果.【详解】设AB的中点为E,因为|OA|=|0B|=1,AB|=√3,AC·BC=CA·CB=(0a-oc)·(oAB0故选：故选：A3(2025·广东东莞·模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，则PM·PN的最大值是().【答案】C【分析】设正方形ABCD的内切圆圆心为0,由题可得MN为圆O的一条直径时，弦MN的长度最大，PM·据此可得最大值.【详解】如下图所示：设正方形ABCD的内切圆圆心为0,当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，PDA-PDMONNDA+DB,且|D|=|DA|=2,则DO·DE的最大值为()【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则设M(x,√3(-1≤x≤1),则AM=(x+2,√3),BM=(x-2,√3),6(2024·河北保定·二模)如图，圆O₁和圆O₂外切于点P,A,B分别为圆O₁和圆O₂上的动点，已知圆O₁和圆O₂的半径都为1,且PA·PB=-1,则|PA+PB|²的最大值为()A.2A.2B.4【答案】D【分析】由PA·PB=(PO₁+O₁A)·(PO₂+O₂B)=1,化简得到O|₁A·O₂B|=|PO₁·(O₂B-O₁A)|≤PO₂+O₂B|²化简即可得到答案.【详解】PA·PB=(PO₁+O₁A)·(PO₂+O₂B)=PO₁·PO₂+PO₁·O₂B+O₁A·PO₂+O₁A·O₂B=-1+PO₁·(O₂B-O₁A)+O所以|O₁A·O₂B|=|PO₁·(O₂B-O₁A)|≤|解得-1-√3≤0₁A·O₂B≤-1+√3.PA+PBI²=|PO₁+O₁A+PO₂+O₂BI²=|O₁A+O₂B²=|0₁AI²+=2+20₁A·O₂B≤2+2×(-1+=2+20₁A·O₂B≤2+2×(-1+a-6≥2|c|恒成立，则实数λ的最大值为()A.1B.2【答案】DBbaA有a-2c=DA,b-2c=DB,所以2|c,所以λ≤4,(△ABC外)内及边界上运动，若AP=λAB+μAC,记2λ+μ的最大值与最小值分别为m,n,则m+【答案】【答案】【分析】设E、0分别为AB、BC的中点，则AP=λAB+μAC=2λAE+μAC,由三点共线可得2λ+μ=【详解】设E为AB的中点，连接CE,设0为BC的中点，即点0为以BC为直径的半圆的圆心，当点P在CE上时，由三点共线可得2λ+μ=1,此时点P与点C重合，即由三点共线知点P在直线l上时，2λ+μ最大，因为AC⊥BC,所以AC为半圆的一条切线，所以NC=NP,所以AP因为N,P,M三点共线，所以2,可得2λ+72729(2025·四川成都·模拟预测)如图，A,B是单位圆(圆心为O)上两动点，C是劣弧AB(含端点)上的动点.记OC=λOA+μOB(λ,μ均为实数).【分析】(1)由题意确定,根据数量积的运算律求得则OC·【详解】(1)由题意知O到弦AB的距离是,贝DBDCAO故λ+μ=20C·(OA+OB)=20C·OD=2cos(OC,OD〉,(2)设∠AOB=α,α∈(0,π),甲可得90A²即而120A+OB|=J(20A+OB)²=√5+4cosa,IOA+OBIJ(OA+OB)²=√2+2co题型8平面向量在几何的应用1由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.2用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；Eg点A、B、C、D不在同一直线上 △ABC的().A.外心B.内心C.重心D.垂心【详解】在△ABC中，因PA+PB+PC=0,APDA.重心B.垂心C.外心D.内心【答案】A【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出|AB|·sinB=|AC|·sinC,代入关系式由向量的加减法化简，得出AP与AD共线，由此得出点P的轨迹，得出答案.【详解】OAP设t=|AB|·sinB=|AC|·sinC,t>0,∴AP=λt(AB+AC),所以A,P,D共线，∴点P的轨迹为射线AD(不含端点A).3(2024·四川内江·三模)已知点A、B、C在圆x²+y²=1上运动，且AB⊥BC,若点P的坐标为(0,2),则A.3B.5【答案】【答案】C【分析】由题意可得AC为直径，且|PA+PB+PC|=|2PO+PB|,当PO,PB共线且方向相同时模长最长，即可得出答案.【详解】因为AB⊥BC,所以AC为直径且过原点，AC的中点为原点0,所以由平行四边形法则可得：PA+PC=2PO,所以当PO,PB共线且方向相同时模长最长，即当B运动到D(0,-1)时，PA+PB+PC|=|2PO+PB|取得最大值为2×2+3=7.P0D6,则△ABC的形状是().A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能几何意义可得DE=1,结合重心性质可得点H,C重合，从而得解.AGorBDEHC积是△BCD的面积的2倍，则BD的长度为.【分析】如图建立直角坐标系，设AC,BD交点为E,由△ABD的面积是△BCD的面积的2倍可得E坐标，然后由B,E,D三点共线结合AC=4可得B点坐标，即可得答案.【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F,以DF所在直线为x轴，以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系.过C,A两点作DB垂线，垂足为G,H,则又AC=√BC²+BA²=4→2(x-2√3)²→x²-4√3x+y²+8=0→7y²-9y+2=0→(个DCHFHAx题型9平面向量在物理的应用2力的合成与分解符合平行四边形法则.就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F·S(其中W是功，是力，S是位移)一物体在力F₁=A.25B.5C.-5【答案】【答案】A【分析】利用条件，先求出两个力的合力F₁+F₂及AB,再利用功的计算公式即可求出结果.W=(F₁+F₂)·AB=-3+7×4=25.【分析】由数量积的运算律，定义，结合模长计算可得.【详解】由题意可得质点P位移为AD=AB+BC+CD,因为AB=4,BC=2,CD=3,AB·BC=-2,所以AB·CD=12,设AB,BC的夹角为θ,所因为AB//CD,所3(多选)(2025·安徽黄山·二模)如图，一条河两和v2的夹角为θ(0<θ<π),则下列说法正确的为()水流A.A.当船的航行时间最短时，B.当船的航行距离最短时，C.当时，船的航行时间为6分钟直河岸方向的分速度v=|v₁lsinθ)可计算并判断A,C;根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，【详解】对于A,将船的速度v1和水流速度v2进行合成，船垂直河岸方向的分速度v=|v₁lsinθ,对于B,当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，θ₂船的航行时间,即6分钟，故C正确；【分析】设OA,OB,OC三条绳受的力分别为a,b,c,则a+b+c=0,根据向量加法法则和直角三角形三边【详解】设OA,OB,OC三条绳受的力分别为a,b,c,则a+b+c=0,c′a即|àl>|b|,là|>|c|,故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高.bB′题型10平面向量的新定义解处理新定义问题，理解新定义的内容是重点，多结合简单的特例感性了解，再试图寻找其中的共性，把 6不共线，记以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S(a,b)=|x₁y₂—x₂y₁I.已知OM=m,ON=n,OP=A.|λ+μ|B.|λ【详解】依题意设0M=m=(x3,y3),ON=n=(x4,y4),(ax₃+μx₄)y₃|=|μ||x₃y4-x4y₃1,S(n,p)=|x₄(λy₃+μy4)-(λx₃+μx₄)y₄I=