专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中知识清单）（解析版）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

5/5专题02一元二次函数、方程和不等式（4知识&10题型&5易错&7方法清单）一元二次函数一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质基本不等式二次函数一元二次方程不等式作差法一元二次函数作商法一元二次不等式一元二次方程分式不等式利用基本不等式求积、和最值利用基本不等式求商式最值利用基本不等式求等式最值“1”的妙用利用基本不等式求恒成立问题利用基本不等式求能成立问题【清单01】实数大小比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【清单02】基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）【清单03】四个二次的关系一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式二次函数(的图象一元二次方程()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集【清单04】分式不等式定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②③④⑤【题型一】比较数、式大小【例1】（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小．（2）已知，，比较与的大小．【答案】（1）；（2）【分析】（1）作差法得出差值为负；（2）作差并因式分解得出即可判断正负.【详解】（1）因为，所以；（2），因为，，所以，，所以，所以．【变式1-1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小；（2）已知，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证.【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，又，所以，得证.【题型二】由基本不等式求和、积最值【例2】（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）已知两个正数，满足，则（

）A．的最大值为 B．的最小值3C．的最小值为2 D．的最小值为【答案】ABC【分析】根据基本不等式即可直接求解A，根据乘“1”法即可求解B，根据完全平方关系即可求解C，结合二次函数的性质即可求解D.【详解】对于A，两个正数，满足，则，故，当且仅当，即时等号成立，故A正确，对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确，对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确，对于D，，结合A选项可知：，因此时，结合，即，此时的最小值为，故D错误，故选：ABC【变式2-1】（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（

）A．若，的最小值为9．B．若，的最小值为1C．若，的最小值为D．若，的最大值为【答案】ACD【分析】对于每个选项，都根据已知条件通过变形构造出可以使用基本不等式的形式，然后求出最值并判断对错.【详解】对于A：若，则，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为9，故A正确；对于B：若，则，所以，当且仅当，即当或时，等号成立，而，所以的最小值不存在，故B错误；对于C：若，则，所以，由，，以及可知，，则当时，即时，有最小值为，故C正确；对于D：因为，设，则，又，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以，故D正确；故选：ACD【题型三】二次与二次（一次）商式最值【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：(1)求的最大值.(2)求的最小值.(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值；（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值；（3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】（1）当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，函数的最大值为.（2）当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.（3）因为，且，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为恒成立，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.【变式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值.（2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.【答案】（1）4，

（2）6，【分析】（1）根据基本不等式求解即可；（2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可.【详解】（1）因，则有，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为4；

（2）当时，，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为6.【题型四】条件等式求最值【例4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为【答案】2【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值.【详解】由，得，令，则，解得，，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键.【变式4-1】（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是.【答案】17【分析】设，从而得到，，不等式转化为，换元后，由基本不等式求出最小值.【详解】令，则，化简得，故，故，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，当时，，，满足要求，当时，，，满足要求，故答案为：17【题型五】“1”的妙用【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为【答案】【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，则，则.当且仅当，且，，即，时等号成立.所以，的最小值为.故答案为：.【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为.【答案】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】正数满足，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：【题型六】基本不等式解决恒（能）成立问题【例6】（23-24高一上·山东泰安·期中）若任意，不等式恒成立，则实数的范围为.【答案】【分析】变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】，不等式恒成立，即，，当且仅当时等号成立，故.故答案为：【变式6-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围.【详解】由不等式恒成立，只需，又，则，当且仅当时等号成立，故，所以，故实数的取值范围是.故答案为：【题型七】一元二次不等（分式不等式）（不含参）【例7】（24-25高一上·天津西青·期中）不等式的解集为.【答案】R【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可求解.【详解】由题意知，方程中，，所以该方程无解，则不等式的解集为R.故答案为：R【变式7-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）不等式的解集为.【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法计算即可.【详解】由，解之得.故答案为：.【题型八】一元二次不等式（含参）【例8】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)当时，求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果；（2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】（1）由题意可知的两根为和，所以由根与系数的关系得，解得.（2）当时，则，解得；当时，，当时，则，解得或；当时，则，当时，即，解，得；当时，即，解，得；当时，即，解，得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【变式8-1】（24-25高一上·福建南平·期中）设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】（1）若，则由，解得，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，，解得；当时，则，解原不等式可得；当时，，解原不等式可得或；当时，原不等式即为，即恒成立；当时，，解原不等式可得或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【题型九】由一元二次不等式的解确定参数【例9】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或【答案】ABD【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可.【详解】因为不等式的解集为，所以，且方程的解为，故A正确；则，即，因为，所以，即，则不等式的解集为，故B正确；，，故C错误；，即，解得或，故D正确.故选：ABD.【变式9-1】（多选）（24-25高二上·山东威海·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】BD【分析】对于A，根据不等式的解集得到判断A；对于B，结合题意得到和3是关于x的方程的两根，再结合韦达定理得到，将目标不等式化为，求出解集判断B，对于C，结合得到判断C，对于D，将合理变形后求出解集判断D即可.【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为，所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误；对于B，由已知得和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，解得，对于不等式，即化为，解得，故B正确；对于C，可得，故C错误；对于D，对于不等式，可化为，而，则化为，解得，故D正确．故选：BD【题型十】一元二次不等式恒成立与能成立问题【例10】（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围.【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立；当时，，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：【变式10-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将不等式在区间上有解，转化为在区间上有解求解.【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解，所以在区间上有解，令在区间上递减，所以，所以，故答案为：【题型一】多次利用同向相加求范围出错【例1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，则的取值范围为.（用区间表示）【答案】【分析】由不等式的性质即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以的取值范围为，故答案为：【变式1-1】（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是.【答案】【分析】利用不等式的性质计算即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：【变式1-2】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是.【答案】【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】由，可得，，由不等式的基本性质可得.因此，的取值范围是.故答案为：.【题型二】基本不等式容易忽略“一正”“三相等”【例2】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列说法正确的有（

）A．当时，的最大值是5B．当时，C．已知正实数满足，则的最小值是2D．的最小值为【答案】ABC【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，逐项分析求解即可.【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，正实数满足，则，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，而，因此等号不能被取到，D错误.故选：ABC【变式2-1】（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）下列命题正确的是（

）A．若，，且，B．已知正数、满足，则的最小值为C．函数的最小值为2D．若，，，则的最小值是8【答案】BD【分析】举例说明判断A；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断B；由基本不等式取等号条件判断C；利用基本不等式求出最小值判断D.【详解】对于A，当时，，而，A错误；对于B，正数满足，则，，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，函数，当且仅当，即时取等号，而，因此等号不成立，C错误；对于D，，由，得，解得，当且仅当时取等号，D正确.故选：BD【变式2-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，对选项逐一验证即可得出结论.【详解】A选项，当时，，故A错误；B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确；C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确；D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错误，故选：BC．【题型三】解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边【例3】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可.【详解】不等式等价于不等式，即不等式，即不等式，解得或.故选：B【变式3-1】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为．【答案】【分析】移项，通分后可化简为简单分式不等式求解，需要注意分母不为零.【详解】移项得：，通分化简得到分式不等式：；两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组：解得.原不等式解集为.故答案为：【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·期中）不等式的解集为．【答案】【分析】将分式不等式移项通分，解不等式即可.【详解】，则.故不等式解集为.故答案为：.【题型四】一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法【例4】（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，分离参数，再由二次函数的最值，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，为真命题，则在上恒成立，令，，则，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：【变式4-1】（2024高二下·天津南开·学业考试）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解.【详解】因为当时，不等式恒成立，则，原题意等价于当时，不等式恒成立，又因为，当且仅当，即等号成立，可得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.【变式4-2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为【答案】【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解.【详解】因为，使恒成立，所以，使恒成立，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，即的取值范围为.故答案为：【题型五】解含参数不等式时分类讨论不当【例5】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知实数，则不等式的解集不可能是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断.【解答】由，当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为；当时，解方程得，则当时，，函数开口向上，故不等式的解集为；当时，，函数开口向下，所以不等式的解集为或.综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或，所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集.故选：D.【变式5-1】（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解．【详解】∵，∴，又，所以不等式的解为或．故选：C．【变式5-2】（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式的解集可能为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分类讨论的大小，利用二次不等式的解法即可得解.【详解】由，得.当，即时，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为.故选：ACD.【题型一】作差法与作商法比较大小适用：比较数、式大小【例1】（22-23高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小.（2）已知，，.求证：；【答案】（1），（2）证明见解析【分析】（1）由作差法证明即可；（2）由不等式的性质证明即可.【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2），，，又，.【变式1—1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【答案】①；②；③；【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系；②用作差法比较即可；③用作差法或作商法比较即可.【详解】解：①，因为，所以，即；.②，.③方法一（作差法），因为，所以，所以，所以...方法二（作商法）因为，所以，所以，所以..【题型二】基本不等式之“凑配法”【例2】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A.【变式2—1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（

）A．-1 B．1 C．4 D．7【答案】B【分析】构造基本不等式，转化后可得，即可求得最大值.【详解】由题意可得：，因为，所以，当且仅当时取等号，即故选：B【题型三】基本不等式之换元法【例3】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（

）A．1 B．C． D．【答案】D【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，令，，则，，所以，当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.【变式3—1】4．（24-25高一上·安徽·期中）若正实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值．【详解】∵正实数x，y满足，，∴，当且仅当取等，设，∴，∴，即，，∴，故的最小值为2.故选：A．【题型四】基本不等式之“1”的妙用【例4】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围.【详解】因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为，因为恒成立，所以，所以所以的取值范围是，故答案为：.【变式4—1】（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为．【答案】【分析】由乘“1”法，将和相乘，展开后，利用基本不等式即可求解；【详解】由可得：，当且仅当，即时，取等号，故答案为：【题型五】分类讨论法解一元二次不等式（含参）【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数．(1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案；（2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案.【详解】（1）为假命题，，为真命题，即不等式在R上恒成立，当时，恒成立，则满足题意；当时，需满足，解得，综上，实数a的取值范围．（2）不等式等价于．当时，不等式可化为，解得；当时，，由不等式解得；当时，则，原不等式即