专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中知识清单）（原卷版）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

5/5专题02一元二次函数、方程和不等式（4知识&10题型&5易错&7方法清单）一元二次函数一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质基本不等式二次函数一元二次方程不等式作差法一元二次函数作商法一元二次不等式一元二次方程分式不等式利用基本不等式求积、和最值利用基本不等式求商式最值利用基本不等式求等式最值“1”的妙用利用基本不等式求恒成立问题利用基本不等式求能成立问题【清单01】实数大小比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【清单02】基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）【清单03】四个二次的关系一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式二次函数(的图象一元二次方程()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集【清单04】分式不等式定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②③④⑤【题型一】比较数、式大小【例1】（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小．（2）已知，，比较与的大小．【变式1-1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小；（2）已知，，求证：．【题型二】由基本不等式求和、积最值【例2】（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）已知两个正数，满足，则（

）A．的最大值为 B．的最小值3C．的最小值为2 D．的最小值为【变式2-1】（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（

）A．若，的最小值为9．B．若，的最小值为1C．若，的最小值为D．若，的最大值为【题型三】二次与二次（一次）商式最值【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：(1)求的最大值.(2)求的最小值.(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.【变式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值.（2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.【题型四】条件等式求最值【例4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为【变式4-1】（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是.【题型五】“1”的妙用【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为.【题型六】基本不等式解决恒（能）成立问题【例6】（23-24高一上·山东泰安·期中）若任意，不等式恒成立，则实数的范围为.【变式6-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.【题型七】一元二次不等（分式不等式）（不含参）【例7】（24-25高一上·天津西青·期中）不等式的解集为.【变式7-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）不等式的解集为.【题型八】一元二次不等式（含参）【例8】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)当时，求不等式的解集.【变式8-1】（24-25高一上·福建南平·期中）设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【题型九】由一元二次不等式的解确定参数【例9】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或【变式9-1】（多选）（24-25高二上·山东威海·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【题型十】一元二次不等式恒成立与能成立问题【例10】（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为.【变式10-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为.【题型一】多次利用同向相加求范围出错【例1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，则的取值范围为.（用区间表示）【变式1-1】（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是.【变式1-2】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是.【题型二】基本不等式容易忽略“一正”“三相等”【例2】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列说法正确的有（

）A．当时，的最大值是5B．当时，C．已知正实数满足，则的最小值是2D．的最小值为【变式2-1】（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）下列命题正确的是（

）A．若，，且，B．已知正数、满足，则的最小值为C．函数的最小值为2D．若，，，则的最小值是8【变式2-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（

）A． B．C． D．【题型三】解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边【例3】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式3-1】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为．【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·期中）不等式的解集为．【题型四】一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法【例4】（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是.【变式4-1】（2024高二下·天津南开·学业考试）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【变式4-2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为【题型五】解含参数不等式时分类讨论不当【例5】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知实数，则不等式的解集不可能是（

）A． B．C．或 D．或【变式5-1】（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式5-2】（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式的解集可能为（

）A． B． C． D．【题型一】作差法与作商法比较大小适用：比较数、式大小【例1】（22-23高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小.（2）已知，，.求证：；【变式1—1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【题型二】基本不等式之“凑配法”【例2】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（

）A． B．C． D．【变式2—1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（

）A．-1 B．1 C．4 D．7等式之换元法【例3】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（

）A．1 B．C． D．【变式3—1】4．（24-25高一上·安徽·期中）若正实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【题型四】基本不等式之“1”的妙用【例4】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是.【变式4—1】（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为．【题型五】分类讨论法解一元二次不等式（含参）【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数．(1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；(2)求不等式的解集．【变式5—1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数(1)求函数的解析式；(2)求关于x的不等式解集.（其中）【题型六】判别法【例6】（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B