专题07 函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期中复习讲义）（原卷版）高一数学上学期人教A版

3/3专题07函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律7.1函数零点的概念与求法能理解零点的定义，会求简单函数的零点（令f(x)=0求解）。概念理解题。7.2零点存在性定理的理解与应用能判断函数在区间[a,b]上是否连续，并验证f(a)·f(b)<0，从而判断零点存在性。高频考点，易错在“连续”条件的忽视。7.3判断函数零点（方程根）的个数能通过图象法（两个函数图象的交点）或单调性法判断零点个数。常见中等题，数形结合思想的典型应用。7.4二分法求方程近似解的原理与步骤能叙述二分法的原理和操作步骤，理解其“逐步逼近”的思想。了解性考点，通常不要求具体计算。7.5一次、二次函数模型的应用能根据实际问题建立直线或二次函数模型解决最优值等问题。基础应用模型。7.6指数函数、对数函数模型的应用（增长、衰减、复利等）能识别指数增长/衰减的特征，并建立相应模型解决实际问题。期中应用题压轴题型，符合当前命题趋势。7.7函数模型的选择与评价能根据数据特征或散点图选择适当的函数模型，并对结果进行合理性分析。考查数学建模核心素养的最高层次知识点01函数零点的定义一般地，对于函数y=fx，把使叫作函数y=fx的零点.函数y=fx的零点就是方程fx=0方程、函数、函数图象之间的关系：方程fx=0有实数解⇔函数y=fx的图象⇔函数知识点02函数零点存在性定理如果函数y=fx在区间a,b上的图象是的一条曲线，且有，那么函数y=fx在区间a,b内零点，即存在c∈a,b，使得fc=0知识点03函数单调性对零点个数的影响如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调知识点04几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0知识点05零点与单调性配合可确定函数的符号是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，知识点06证明零点存在的步骤（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在知识点07三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同知识点08常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)知识点09解函数模型问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：题型一求函数的零点及零点个数解｜题｜技｜巧函数零点即函数值为0时的自变量值，解方程(f(x)=0)可得零点。（2）结合区间端点、特殊点的函数值，辅助确认零点是否存在及个数（如端点值异号则区间内有零点）。【典例1】（24-25高一上·河南郑州·期中）（多选）函数的零点有（

）A．0 B． C． D．3【典例2】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则=【变式2】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，函数，则函数的零点个数为个．题型二用零点存在性定理判断零点所在区间解｜题｜技｜巧确认函数在区间([a,b])上连续（如多项式、指对数函数等基本函数的组合通常连续）。计算区间端点的函数值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，则区间内至少有一个零点。（3）结合函数单调性，可进一步判断区间内零点的唯一性。【典例1】（24-25高一上·河南开封·期中）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·北京海淀·期中）函数的一个零点所在区间为（

）A． B． C． D．题型三求方程的根及根的个数解｜题｜技｜巧将方程变形为(f(x)=0)，方程的根等价于函数(f(x))的零点。分析函数(f(x))的单调性、根据极值（跨章节）的正负判断函数与x轴的交点数。（3）结合函数定义域和极限趋势，综合判断根的个数。【典例1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（

）A． B． C． D．1【变式2】已知函数当时，方程的根的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型四求图象的交点及交点个数【典例1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数.(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域；(2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围.【变式2】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，其中(1)用定义证明：函数，在上单调递增(2)若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围(3)已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．题型五指数函数模型【典例1】（24-25高一上·浙江温州·期中）一个质量为的物体在空气中以初始速率落下，假设空气阻力大小与物体的速率满足（为正常数）可求得在时刻物体的速率，其中自然常数，为重力加速度的大小，按照此模型，可推得（

）A．当时，随着变大，物体速率减小，但始终大于B．当时，随䒴变大，物体速率增大，且始终大于C．当时，随着变大，物体速率减小，且始终小于D．当时，随着变大，物体速率增大，最终会等于【变式1】（24-25高一上·四川泸州·期中）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.15%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（

）A．12倍 B．18倍 C．24倍 D．36倍【变式2】（24-25高一上·广东惠州·期中）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（

）小时.A．20 B．22 C．33 D．24题型六对数函数模型【典例1】（24-25高一上·广东佛山·期中）猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．猪血木不仅实现了人工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（

）（参考数据：）A．9 B．8 C．7 D．6【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（

）A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍题型七建立拟合函数模型解决实际问题【典例1】（24-25高一上·广东·期中）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元(1)求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限)【典例2】（24-25高一上·广东东莞·期中）东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：9141822295459635952已知第9的日销售收入为552元.(1)求的值；(2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值.【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.(1)将表示成的函数；(2)判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.【变式2】某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.(1)现有两个奖励函数模型：①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.期中基础通关练（测试时间：20分钟）一、单选题1．（24-25高一上·贵州·期中）函数的一个零点所在的区间是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·广东东莞·期中）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（

）（参考数据：，）A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年5．（24-25高一上·广东惠州·期中）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（

）小时.A．20 B．22 C．33 D．246．（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、解答题8．（24-25高一上·湖南怀化·期中）某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息：(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式；(2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）；(3)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）.（参考值：）期中重难突破练（测试时间：30分钟）一、单选题9．（24-25高一上·江苏南通·期中）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（

）（结果精确到0.1，参考数据：，，）A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min10．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．11．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．12