专题08 函数性质的综合应用12大题型65题（期中专项训练）（解析版）高一数学上学期人教版A版

2/24专题08函数性质的综合应用题型1求函数值（常考点）题型7抽象函数中的对称性问题（难点）题型2函数图象或解析式的判断（常考点）题型8周期性对称性的综合应用（重点）题型3单调性奇偶性结合比较大小关系（重点）题型9周期性奇偶性的综合应用（重点）题型4单调性奇偶性结合解不等式（重点）题型10奇偶性对称性的综合应用（重点）题型5抽象函数中奇偶性问题（常考点）题型11函数性质的全部综合应用（难点）题型6抽象函数中的周期性问题（重点）题型12函数新定义（难点）题型一求函数值（共5小题）1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果.【详解】由，则①，由，则②，由①有，结合②有，所以，故，由的图象关于对称，则③，由①有，结合②③有，所以，则，由知：，由知：，且，综上，.故选：C【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键.3．（24-25高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数对任意实数均满足，则（

）A．为偶函数 B．C． D．函数在区间上不单调【答案】ACD【分析】用替换，则，可推导，即可判断；利用赋值法可判断；由可判断；计算满足的的值，由此可得，即可判断.【详解】选项，中，用替换，则，两式相减得：，即可得：，故正确；选项，令，则，需求，令，则，需求，令，则，因为为偶函数，所以，所以，由上述两式可得：，所以，故错误；选项，由选项知，，故正确；选项，，注意到两系数之和为3，若令，则有，所以，令，求得，取，则，即，则，即函数在区间上不单调，故正确.故选：.【点睛】方法点睛：验证抽象函数的奇偶性时，可取一对相反数代入；抽象函数求某一点函数值的问题可尝试代入，，等特殊值，再通过式子的加减变换求出所求的函数值.4．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（

）A．B．为偶函数C．D．若，则或【答案】BCD【分析】根据赋值法，函数的奇偶性的概念，函数的单调性的概念，可得是偶函数且在上单调递增，从而再针对各个选项分别求解即可．【详解】对选项A，令，则，所以，再令，则，所以，所以选项A错误；对选项B，定义在上的函数，定义域关于原点对称，令，则，所以，所以，所以是偶函数，所以选项B正确；对选项C，设，则，因为当时，，所以，由，知，所以，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以选项C正确；选项D，由选项B分析可知是偶函数，由选项C知在上单调递增，所以在上单调递减，又，若，则，解得且，所以选项D正确．故选：BCD．5．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件：①对任意的，都有成立；②对任意的，都有成立；③对于，都有成立，则．【答案】/0.9375【分析】由①得，再得出，从而求得，进而有时，，然后再计算．【详解】由①得，∴，因此由②得，又，而，所以，所以，所以，又，所以，从而，由③得时，，所以，而，所以，所以，故答案为：．【点睛】方法点睛：通过对已知条件中变量赋值得出函数值，如，为了求，需要结合两个条件得出，再结合可求得，利用单调性可得出函数的一部分表达式：时，，然后利用已知条件化所求值式子中的自变量值到此范围后即可得．实际上可用反证法证明，从而很快求得，题型二函数图象或解析式的判断（共4小题）6．（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的图像大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数探讨函数的性质，进而确定其大致图象.【详解】函数的定义域为R，求导得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，选项AC不满足；当时，，此时恒成立，B不满足，D符合题意.故选：D7．（24-25高一上·吉林长春·期末）函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】因为的定义域为，且，所以是奇函数，图像关于原点对称，由此排除CD选项.又因为，排除A选项.故选：B.8．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的解析式，可得函数为奇函数，排除C选项，在上函数值大于0，排除D选项，再由接近8，排除A，只有B的图象接近函数的图象.【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称，又因为，所以函数为奇函数，排除C选项，当时，，排除D选项，当时，，所以A不正确，B正确.故选：B.9．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象分析的奇偶性以及定义域，然后逐项判断即可.【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为，对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合；对于B：定义域为，不符合；对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合；对于D：定义域为，不符合；故选：C.题型三单调性奇偶性结合比较大小关系（共4小题）10．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得.【详解】依题意，，由在上单调递减，，得，所以.故选：C11．（22-23高一上·山东聊城·期中）已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案.【详解】，即，故函数在上单调递增，是上的奇函数，故是上的偶数，，，.，故.故选：A12．（24-25高一上·北京·期中）已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断的奇偶性与在上的单调性，根据奇偶性与单调性判断即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则定义域为，，又，所以是偶函数，又在上是增函数，所以当时，设，则，所以，即，所以在上是增函数，所以，又，所以，即．故选：C.13．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.【详解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，显然可得.故选：A【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.题型四单调性奇偶性结合解不等式（共6小题）14．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且所以不等式等价于,即，解之即可.【详解】因为的定义域为，且对于任意均有，所以在单调递减，又函数为偶函数，且由，得，等价于，所以，即，解得：，所以实数的取值范围是：，故选：B.15．（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解.【详解】易知：函数（）为偶函数，图象关于轴对称，且函数在上单调递增，在上单调递减.所以，所以或且，.即：.故选：B【点睛】关键点点睛：分析函数的定义域，奇偶性，单调性，把不等式转化为代数不等式时，要注意函数定义域的限制.16．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，，都有，且，都有，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】采用赋值法先分析的奇偶性，再根据条件得到的单调性，然后将函数值大小关系转化为自变量大小关系，从而可求结果.【详解】因为，都有，令，则，解得，令，则，解得，令，则，又的定义域为关于原点对称，所以为偶函数；因为，都有，即，都有，所以在上单调递减，所以在上单调递减，所以在上单调递增，又因为，所以，由此解得或，故选：A.17．（24-25高一上·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，若，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，可得到结论.【详解】因为是上的增函数，且，所以当时，；当时，．因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于原点对称，所以当时，；当时，．故不等式等价于或，解得或．故选：C.18．（23-24高一上·北京怀柔·期末）若函数为偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．【详解】因为函数为偶函数，且在内是增函数，所以在上单调递减，则可化为或，所以或，所以或.故选:D.19．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式.【详解】已知对任意，有，这表明当时，；当时，.即当时，，所以函数在上是减函数.因为是定义域为的奇函数，所以，那么.所以可化为，即.由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得.得到.可得.所以不等式的解集为.故选：B.题型五抽象函数中奇偶性问题（共7小题）20．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】B【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断．【详解】在中，令，则，又，所以，令得，所以，所以是偶函数，故选：B．21．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（

）A． B． C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性.【详解】对于A，令，则，得，所以或，当时，不恒成立，所以，所以A错误，对于B，令，则，得，所以，或，由选项A可知，所以，所以B错误，对于CD，令，则，由选项A可知，所以，所以，令，则，所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确，故选：D22．（24-25高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B．C．函数是奇函数 D．函数是增函数【答案】ACD【分析】首先利用赋值法求的值，再令，，求，并代入求函数的解析式，并赋值判断BD.【详解】令，，则，因为，所以，令，，得，即，，所以，故A正确；令，，所以，为奇函数，故C正确；由，令，得，故B错误；上式中令为，得，为增函数，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量.23．（22-23高一上·北京·期末）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．(1)判断的奇偶性；(2)判断的单调性，求在区间上的最大值；(3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)奇函数；(2)为上的减函数；在上的最大值为6；(3)存在，实数a的取值范围为．【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性；（2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值；（3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】（1）取，则，∴，取，，则，∴对任意恒成立，∴为奇函数；（2）任取且，则，因为，故，令，则有，即，∵时，，故时，，∴，∴．故为上的减函数．∴，，∵，，令，则，故，因为令，则，即，由（1）知：为奇函数，故，故，解得：，故，故在上的最大值为6；（3）∵在上是减函数，∴，∵，对所有，恒成立．∴，恒成立；即，恒成立，令，则，即，解得：或．∴实数a的取值范围为．24．（23-24高一上·浙江·期中）定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，.(1)求证：函数是奇函数；(2)求证：函数在上是减函数；(3)若，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明；（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明；（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【详解】（1）令，则有，令，则有，，是奇函数.（2）设则所以，因为，所以，即，则，又，所以，所以，所以，即，所以在上是减函数.（3）由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数，所以当时，函数的最小值为，所以恒成立，等价于：恒成立，即恒成立，设，是关于的一次函数，所以，即，则，则.25．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3).【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可；（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；（3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可．【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且，取，则，即，取，则，所以，所以为奇函数.（2）在R上的单调递减，证明如下：任取，且，则，令，则，因为为奇函数，所以，因为当时，，所以，即，所以在上的单调递减.（3）由，得，因为，所以，因为在上的单调递减，所以，即时，恒成立，等价于对任意时，恒成立，令，则，所以，所以，故实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题.26．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有.(1)求的值；(2)证明：为偶函数；(3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析，不等式解集为或【分析】（1）令求，令求.（2）令得，结合函数的定义域得为偶函数.（3）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，根据函数为偶函数得到在上单调递减，利用函数的单调性求不等式的解集.【详解】（1）令得，故，令得，故.（2）令得.∵是定义在非零实数集上的函数，∴为偶函数.（3）设任意的，，∵，∴，∴，即，∴函数在上单调递增.∵在上单调递增，且为偶函数，∴在上是减函数，∵，∴，∴且，解得且，∴不等式的解集为或.题型六抽象函数中的周期性问题（共4小题）27．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）函数满足，当，，则．【答案】1【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知，求得，从而得解.【详解】∵，∴，则函数的周期为4，∴，又∵，，∴，所以.故答案为：128．（23-24高一上·山东济南·期末）定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为.【答案】1【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解.【详解】由题意.故答案为：1.29．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则.【答案】【分析】先求出函数的周期，利用周期性将化为，再利用函数的奇偶性，有，代入解析式即可求解.【详解】因为，所以，所以的周期为，且为偶函数，即，当时，，.故答案为：30．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则.【答案】【分析】根据周期可得，根据奇函数得，代入已知条件即可求解.【详解】因为的周期为3，且为奇函数，所以.故答案为：题型七抽象函数中的对称性问题（共5小题）31．（24-25高一上·北京·期中）函数的图象关于（

）A．原点对称 B．x轴对称C．y轴对称 D．点对称【答案】A【分析】用代换判断的关系判断A、C；根据函数的概念判断B；根据是否恒成立判断D.【详解】由，且定义域为R，所以函数图象关于原点对称，A对，C错；由，显然不恒成立，D错；由函数的对应关系可知，函数图象不可能关于x轴对称，B错.故选：A32．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（

）A．2024 B．2025 C．4048 D．4049【答案】D【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值.【详解】由题可知：，则，所以，且，则.故选：D33．（24-25高一上·四川自贡·期中）已知三次函数有唯一对称中心，据此结论完成的对称中心.【答案】【分析】由对称中心概念即可求解.【详解】由题意对于，，，所以的对称中心是.故答案为：34．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是，进而求值．【答案】【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值.【详解】因为函数，所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因为函数为奇函数，其对称中心为原点，故函数对称中心，故，记，则，故.故答案为：；.35．（24-25高一上·上海·期中）已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则．注：．【答案】【分析】由已知可得，即可证，即函数与都关于点对称，进而可得解.【详解】由已知，则，则，即函数关于点对称，且，函数在上单调递增，又，则，，即函数关于点，且在，，，上分别单调递减，作出函数与的图像如图所示，可知函数与有个交点，分别为，，，，且与，与分别关于点对称，即，故答案为：.题型八周期性对称性的综合应用（共2小题）36．函数对任意，都有的图形关于对称，且，则（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】根据可得函数的周期为，再根据的图形关于对称，则的图象关于点对称，从而根据周期性和对称性即可得解.【详解】解：因为函数对任意，都有，所以函数的周期为，将的图形向左平移1个单位可得的图象，又的图形关于对称，所以的图象关于点对称，故为R上的奇函数，所以．故选：B．37．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，，且，则的值为（

）A．96 B． C．102 D．【答案】C【分析】根据题意，推得既关于成轴对称，又关于点成中心对称，由和，结合函数的对称性和周期性，即可求解.【详解】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称，又由函数满足，即所以函数关于对称，所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称，所以，且函数的周期，又因为，所以，可得，所以.故答案为：.题型九周期性奇偶性的综合应用（共6小题）38．（23-24高一下·湖北·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由是定义在上的奇函数，可得，结合可得函数的周期为4，利用周期性求解即可.【详解】由已知是定义在上的奇函数，所以，由于可知，所以，进而得到周期为4，.故选：B.39．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用对称性及奇函数的性质计算即得.【详解】由函数的图象关于轴对称，得，由函数是上的奇函数，得，因此，又当时，，所以.故选：B40．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（

）A．3 B．2 C．6 D．10【答案】A【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算.【详解】因为是定义域为的偶函数，所以.已知，将换为，可得，又因为，所以.由和可得.令，则，那么，又因为，所以，即，所以函数的周期是，所以.在中，令，可得，即，解得，所以.故选：A.41．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值.【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即，因为为偶函数，所以，则，所以，，所以，故的周期为，因为，所以，故选：B.【点睛】关键点点睛：由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.42．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则．【答案】1【分析】因为是定义域为的奇函数，则，并且，可得函数的周期为，根据函数性质可得，进而求得结果.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，，又，所以，即，所以，即是以为周期的奇函数，，又，，则，故，则．故答案为：.43．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若是定义在上的奇函数，，，则．【答案】【分析】根据题意，推得，得到的周期为，再求得的值，结合周期性，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，故，又因为，所以，故，所以，即的周期为，由于为定义在上的奇函数，且，可得，，，所以，则.故答案为：.题型十奇偶性对称性的综合应用（共5小题）44．（23-24高一上·重庆·期末）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即，从而，得，所以以4为周期的周期函数，，，所以．故选：A45．（23-24高一上·福建宁德·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（

）A．335 B．345 C．356 D．357【答案】B【分析】根据题意，求得的图象关于对称，的图象关于对称，结合，分别求得和的值，即可求解.【详解】由函数为偶函数，可得，所以，所以函数的图象关于对称，又由为奇函数，可得，即，所以函数的图象关于对称，由，均有，，所以，因为的图象关于对称，可得，又因为的图象关于对称，，可得，所以，因为，联立方程组，可得，所以.故选：B.46．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C． D．【答案】B【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出的对称轴，对称中心和周期.【详解】由为奇函数，，可得，即函数图象关于对称，；由关于对称，得，即，的图象关于点中心对称；结合条件关于直线对称，，可以得出.对于选项A，已知条件不足以确定的奇偶性，A选项错误；对于选项B，的图象可以由的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为，是奇函数，B选项正确；对于选项C，由已知只能得到，不能确定的取值，C选项错误；对于D选项，，D选项错误.故选：B47．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（）A．B．为函数图象的一条对称轴C．函数在上单调递减D．【答案】D【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D．【详解】A选项，因为奇函数，则，令，得，可得，故A正确；B选项，因为偶函数，则，即为函数图象的一条对称轴，故B正确；C选项，由，得为图象的一个对称中心，又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增，所以在当单调递增，又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确；D选项，由B选项，，令，可得，故D错误．故选：D．48．（24-25高一上·江苏扬州·期中）为定义在上的奇函数，函数图象关于直线对称，且，则.【答案】【分析】由函数奇偶性，对称性通过赋值计算即可.【详解】因为为定义在上的奇函数，则，则又函数图象关于直线对称，则，所以，所以，所以，故答案为：题型十一函数性质的全部综合应用（共10小题）多选题49．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（

）A．为奇函数B．C．D．【答案】BCD【分析】利用对称性、和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可．【详解】可得，又，，故，C正确的图象关于直线对称，，，，，，，B正确；的图象关于直线对称，，，是偶函数；又，，，又是偶函数，，是偶函数，故A错误，由得，根据是偶函数，，又，，由，，，D正确．故选：BCD．50．（24-25高一上·吉林·期中）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．的图象关于点对称B．C．D．若，则【答案】ABD【分析】对A：由是奇函数可得，即可得解；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：由，计算即可得.【详解】对A：由是奇函数，则，又定义域为，故的图象关于点对称，故A正确；对B：由，则，故，故周期为，故，故B正确；对C：，令，有，故，故C错误；对D：由，则，故D正确.故选：ABD.51．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上是减函数C．D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】利用赋值法求得，从而得以判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性，即可判断B；利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断C；先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断D.【详解】对于A，因为，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，即，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，，所以，又因为，所以由得，故，因为在上是减函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故D正确.故选：ABD．【点睛】关键点点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.52．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数为上的奇函数，对任意的，成立，又时，单调递增，则（

）A． B．直线是图象的一条对称轴C． D．【答案】ABD【分析】根据奇函数性质以及对赋值可判断选项.【详解】函数为上的奇函数，所以，所以对于A，令，则，所以可得，故A正确；对于B，由A知，所以可得，令，可得，由奇函数性质可得，令，则可得，令，则可得则，由此可知是函数的对称轴，故B正确；对于C，由A知，令，则，所以，又时，单调递增，故，则，故C错误；对于D，令，则，所以，再根据奇函数性质可知，所以，故D正确.故选：ABD53．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（

）A．是偶函数 B．在上单调递增C． D．任意实数都满足【答案】BCD【分析】利用赋值法计算可得C正确；根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确.【详解】对于C，令，则，所以，故C正确；对于A，令得，所以，即，又不恒为0，所以只能为奇函数，故A错误；对于B，令，且，故，因为时，，所以，即，所以，所以在上单调递增，故B正确；对于D，由在上成立，得，由为增函数，所以，又为奇函数，所以，所以，故D正确，故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数性质得出奇偶性以及单调性，再根据不等式性质判断得出结论.54．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（

）A． B．若在R上单调递增，则C．是奇函数 D．是奇函数【答案】ABD【分析】A选项，令得，或1，根据函数单调性排除，A正确；C选项，令，变形得到，不满足，C错误；B选项，由单调性得到，由条件得，故B正确；D选项，变形得到，故为奇函数，D正确；【详解】A选项，中，令得，，解得，解得或1，令得，即，若，满足上式，若得，但函数在R上单调，故，不合要求，综上，，A正确；C选项，中，令得，当时，，由于只有时，才有，当为其他数时，不满足，故不是奇函数，C错误；B选项，在R上单调递增，，故，因为，所以，所以，故B正确；D选项，因为，所以，当时，，，所以，故为奇函数，D正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解55．（24-25高一上·广东广州·期中）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（

）A． B．C．当时， D．在上单调递增【答案】ACD【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可.【详解】对于A，由，取，得，故A正确；对于C，由，取，因，故，即，当时，，则，故，即，故C正确；对于B，由，取，可得，，整理得，，因为，，当且仅当时取等号，由选项C可知的符号可正可负，故不一定有，即不一定成立，故B错误；对于D，任取，则，依题意，，而，则，即，即在上是增函数，于是对于，任取，因为，则，即，即函数在上单调递增，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解.56．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，且，则（

）A． B．C．为奇函数 D．在上具有单调性【答案】ABC【分析】运用赋值法结合函数性质逐个判断即可得．【详解】对A：令，则有，即，故A正确；对B：令，则有，即，由，故，即，故B正确；对C：函数的定义域为，则函数的定义域为，令，则有，即，即，故函数为奇函数，故C正确；对D：令，则有，即，即有，则当时，有，即，故在上不具有单调性，故D错误．故选：ABC．57．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（

）A．的图象关于点对称B．为偶函数C．的图象关于直线对称D．若，则【答案】ACD【分析】由可判断A，根据平移变换得为奇函数判断B，由题干等量函数关系得判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D.【详解】由知，故的图象关于点对称，A正确；的图象由的图象向左平移一个单位得到，故的图象关于点对称，即为奇函数，B错误；由，知：，所以的图象关于直线对称，C正确；因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，若，且，由的图象关于直线对称知，平方化简得，解得，D正确.故选：ACD【点睛】结论点睛：①如果，则图象关于直线对称；②如果或，则图象关于点点对称；③如果，则图象关于点对称.58．（24-25高一上·甘肃天水·期末）若满足对任意的实数都有，且，则下列判断正确的有（

）A．是奇函数B．在定义域上单调递增C．当时，函数D．【答案】BD【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断，计算出判断A；先利用证明所有有理数，有，然后用任意无理数都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得，这样可判断C，由此再根据单调性定义判断B，根据定义计算，然后求得D中的和，从而判断D.【详解】对于选项A，令，则，即不可能是奇函数，选项A不正确；证明，对于任意.假设存在，使得，则，与矛盾，故对于任意，所以对于任意，因为，所以对任意正整数，，所以，同理，对任意正有理数，显然有（是互质的正整数），则，对任意正无理数，可得看作是某个有理数列的极限，而，所以与的极限，所以，综上对所有正实数，有，选项C不正确，设，则，所以，则，所以在定义域上是增函数，选项B正确；由已知，所以，所以，选项D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解函数新定义，利用函数奇偶性的判断和函数单调性的证明即可判断AB选项.题型十二函数新定义（共7小题）59．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数.已知，均为正数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由高斯函数定义结合举特例可得答案.【详解】注意到当时，，则“”不是“”的充分条件，又注意到时，可得，即，则“”是“”的必要条件，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B60．（24-25高一上·江苏徐州·期中）定义运算“”：，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得函数为，再分段求值域即可.【详解】由，可得，所以，当时，，当时，在上单调递增，所以，当时，在上单调递减，所以，所以的值域为.故选：A.61．（24-25高一上·福建南平·期中）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析函数的单调性，求出该函数在、上的值域，分析可知，函数的值域为，结合分段函数的值域可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】因为函数的定义域为，且，由题意可知，函数的值域为，因为函数在上单调递增，当时，，函数在上为增函数，当时，，由题意可得，则有，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分段函数的单调性，求出函数在每段区间上的值域，再由并集运算得出不等式组求解.62．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数．(1)若为区间上的方正函数，求实数的值；(2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)不存在；理由见解析.【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值.（2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况.【详解】（1）因为，函数图象开口