（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展四：三角形周长（定值最值范围）问题 精讲（解析版）

拓展四：三角形周长（定值，最值，范围）问题目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：三角形周长（边长）（定值问题）题型2：三角形周长（边长）（最值问题）题型3：三角形周长（边长）（范围问题）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.二、重点题型分类研究题型1：三角形周长（边长）（定值问题）典型例题例题1．已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由题意有，即有，由正弦定理得：，又，所以，则，所以；（2）解：由（1）知，因为，且的面积为，由得：，所以，由余弦定理得：，所以，所以的周长为.例题2．已知的内角，，所对的边分别为，，，.(1)求角；(2)若为的中点，且的面积为，，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，根据正弦定理可得，得，得，∵，，∴，∴，即.（2）根据题意可知，的面积为，故，解得；在中，利用余弦定理可得：，化简求解得：，故，在和中，，，因为，不难求得：.例题3．已知函数，.(1)求函数的单调增区间；(2)在锐角中，角，，的对边分别为，，，当，，且三角形的面积为时，求.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题意可得，.由，可得，，.所以，函数的单调增区间为.（2）由（1）知，.因为，所以，，则，，又是锐角，所以，，解得，则.又，，则，所以，.根据余弦定理可得，，所以.例题4．已知中，角的对边分别为，．(1)求；(2)若的面积为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，，即又，所以.（2）由及余弦定理知，,①由面积公式：整理得：,②结合①②可得,即得，所以．同类题型演练1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题：①；②；③．(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【详解】（1）如选择①，有，即，由正弦定理可得，，又，所以，因为，所以.如选择②，由可得，，由正弦定理可得，，又，所以，又，所以，即，所以.因为，所以，所以，解得.如选择③，.由余弦定理可得，，整理可得，，所以.因为，所以.（2）由（1）知，，又，且的面积为，所以有，解得，由余弦定理可得，，所以，所以的周长.2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小及a的值；(2)求面积的最大值，并求此时的周长．【答案】(1)，(2)面积的最大值为，此时的周长为【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，又∵，∴．∵，∴，∵（舍去），∴，∵，∴．（2）由（1）知，，．由余弦定理得，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，此时的周长为．3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)12【详解】（1）∵，∴结合正弦定理有.∵，∴，∴，即，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即.（2）因为的面积为，，由三角形的面积公式得，化简得，又根据余弦定理得，所以，所以，所以，故的周长为.4．在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，的面积是，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，，所以，由于，所以，所以，则．（2）由（1）得，所以，由解得，由于，所以，由余弦定理得.5．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，且(1)求角；(2)若角的平分线交于点，，，求，的值.【答案】(1)(2).【详解】（1）由，得，得，得，得，又所以，又所以.（2）∵，∴，∴①又由余弦定理可得，即②，∴由①②可得.6．一块土地形状为四边形，其中，(1)求这块土地的面积；(2)若为中点，在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知得，，，所以，在三角形中，由余弦定理得，解得.所以这个四边形的面积为：.（2）连接，由于，又将四边形面积平分，故，设，则由正弦定理得，所以，所以，，设，则，解得，所以.题型2：三角形周长（边长）（最值问题）典型例题例题1．的内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)；(2)9.【详解】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）由余弦定理得：.即.∵（当且仅当时取等号），∴，解得：（当且仅当时取等号），∴周长，∴周长的最大值为9.例题2．在中，分别是角的对边，已知向量，设函数​.(1)求的单调递增区间；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)（1）因为，由​，得​，所以​的单调增区间为.（2）由​得​，故，因为，所以​，故，得，所以​，又，，所以​，又​，所以​，故​，所以​最大值为​.例题3．如图，在平面四边形中，．(1)判断的形状并证明；(2)若，，，求四边形的对角线的最大值．【答案】(1)直角三角形，证明见解析(2)9【详解】（1）已知，由正弦定理可得：，即得，，，故，即为直角三角形．（2）如图，在BC上方作Rt△BCM使，且，∴，∴且∴，由，，得，在中，，由，，得.由，得，∴，当M在AC上时等号成立，∴．例题4．已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：(1)求的值；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由已知和正弦定理得，由余弦定理可得，所以.（2）解：法一：，则，由得，即，又中，从而，即，所以（当且仅当时取等号），故的最大值为.法二：由所以，，即，即，所以（当且仅当时取等号），故的最大值为.同类题型演练1．已知的内角满足.(1)求角；(2)若，设是中边上的高，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，（2）在中，由得，①当角为锐角时，当，即时，.②当角为直角时，，③当角为钝角时，，当，即时，综上：当时，.2．在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角所对的边分别是，且__________.(1)求角；(2)若点满足，且线段，求的最大值.【答案】(1).(2)6.【详解】（1）选①，由及正弦定理可得:,所以，，因为，所以，则,所以故；选②，由及正弦定理可得，所以，，∵，所以，则.（2）如图：点满足，则,故，又，故，即，即，又，所以，当其仅当时取等号，即，故，即得最大值为6.3．已知向量，，函数，在中，内角的对边分别为，且．(1)求的大小；(2)若的面积为，点在边上，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，，，，，解得：.（2），；，，在中，由余弦定理得：，（当且仅当，即，时取等号），，即的最小值为.4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．(1)求角C；(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C，即，由正弦定理可得，结合余弦定理可得，又，故可得.（2）由三角形面积可得，解得；又，故即，当且仅当时取得等号.故CD的最小值为.5．已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足，且．(1)求；(2)若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，又，且为锐角，所以，所以．因为．所以．所以．（2）设，，根据题设有，所以，可得，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为．6．在①；②；③.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，的面积为S，且满足___________(1)求A的大小；(2)设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）选①，由，由正弦定理得，中，∴，，则，所以，，可得，则，因此，；选②，，，则，∴，得；选③，，由正弦定理和切化弦得，中，∴中，，∴，得（2）由，有，由，有，∴，等号成立时即，∴的最小值为.题型3：三角形周长（边长）（范围问题）典型例题例题1．锐角中，角，，所对边的长分别为，，，．(1)求的大小；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，，故.又为锐角三角形，故，故，即，解得.（2）由正弦定理，即，又，故.由正弦定理可得.因为，且为锐角三角形，故,且，可得.故，即，故，即b的取值范围为例题2．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．(1)求角；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因

，且，于是有，即，在中，由正弦定理得：，而，于是得，又A为锐角，所以．（2）是锐角三角形，由（1）知，，于是有，且，从而得，而，由正弦定理得，则，，则有，而，则，即,所以的取值范围．例题3．已知向量，，函数.在中，内角的对边分别为，且.(1)求的大小；(2)若，且的面积，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，，，所以，又，所以.所以，.因为，所以.（2）解：由（1）知，所以.因为，所以，所以.由余弦定理得.又，所以.因为的周长，所以，即周长的取值范围为.例题4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积．(1)求；(2)求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得：，由正弦定理得：，根据余弦定理可知，又所以，得，因为，所以；（2）法一：，因为，即，即，解得：，当时等号成立，又，所以，所以，综上，周长的取值范围．方法二：=由正弦定理．∴又．∴∵，∴∴，∴，∴．综上，周长的取值范围．同类题型演练1．在锐角中，角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以，即，即，又，所以，因为，所以；（2），因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为．2．在锐角三角形中，角的对边分别为，，.(1)求角A；(2)求c的取值范围.【答案】(1).(2).【详解】（1）由，得，即，由正弦定理得，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴.（2）由得，∵是锐角三角形，∴，，得，当时，，，∴，即c的取值范围是.另解：由得，∵是锐角三角形，∴，即，解得，即c的取值范围是.3．某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.(1)求M，N两地间的直线距离；(2)求观光线路长的取值范围.【答案】(1)(2)长的取值范围是（单位：）.【详解】（1）由余弦定理得.（2）设，由正弦定理得，，所以，所以，由于，所以.即长的取值范围是（单位：）.4．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若b＝2，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）由，可得：,又，∴即，当且仅当时取等，又，∴的取值范围为．5．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①；②；③．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(1)求角C；(2)若，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）选①，由得：，即，所以，因为，故角；选②，由得：，，所以，因为，，所以，解得：；选③，因为，又因为，所以，∴，∵，∴，∴，因为，所以．（2）根据（1）可知：，又因为，由余弦定理得：，所以，即，当且仅当时取得等号，又因为根据三角形的三边关系有：所以，所以△ABC周长的取值范围为．6．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，且△ABC的面积，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)(2)（4，）【详解】（1）解：因为，所以由正弦定理，得，即，所以，因为B∈（0，），所以．（2）解：由（1）知，由题意得，故，即，由余弦定理可得，故，所以，故，即△ABC周长的取值范围为（4，）．三、高考（模拟）题体验1．在中，内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)（1）解：因为，由正弦定理.又，，所以，所以.（2）解：因为，所以，又，所以，，由余弦定理可得，所以.所以的周长为.2．从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．【答案】(1)条件选择见解析，(2)(1)选①因为，所以，由余弦定理得，，所以，即由正弦定理得，在中，有，故由A为锐角，得选②因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得即

化简得，在中，有，由A为锐角得，所以，得(2)由题意得，，所以，又b＝c，所以由余弦定理，解得所以，，所以是钝角三角形所以，所以在直角中，3．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边上的高等于a．(1)求证：；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)设边上的高为，则，所以，由正弦定理得．(2)由余弦定理得，因为，所以，所以，即，所以．4．如图所示，在平面五边形中，已知，，，，.(1)当时，求；(2)当五边形的面积时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).（1）连接，由五边形内角和得：，∴，则四边形为等腰梯形，则，又，，故，，所以在中，由余弦定理得，∴，过点作于，可得，∴；（2）由，又五边形的面积，∴，设，则，整理得，解得或，又，即，∴的取值范围是.5．已知中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，且，，．(1)若，求的面积；(2)求周长的取值范围．【答案】(1)；(2).（1）在中，由得，而，则正弦定理得：，则，由余弦定理得：，于是得，整理得：，而，解得，所以的面积.（2）因，则，，由（1）知，由余弦定理得：，即，整理得，解得或，当时，，，，则，即，当时，由知，，，显然，有，，即有，因此，即，综上得，所以周长的取值范围是.6．在锐角中，角的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1），由正弦定理：，又，，，即：，.，，即（2），，由正弦定理有：，，，.，，为锐角三角形，，，，，，，即的周长的取值范围是7．在中，角，，的对边分别为，，.，均为锐角，且满足.（1）证明：是直角三角形；（2）若面积为，求的周长的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】(1)在中，由正弦定理及得，而，于是得，假设不是直角三角形，而，均为锐角，则，即或，当时，，则，同理，因此，与矛盾，当时，，则，同理，则有，与矛盾，从而得假设不成立，则有，所以是直角三角形；(2)由(1)知，是直角三角形，，则，解得，即的周长，当且仅当时取“=”，所以的周长的最小值是.8．在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为：（1）求∠C的的大小；（2）若c=2，求的取值范围【答案】（1）∠C=30°；（2）（4，16+]．【详解】（1）∵tan（A+B）=tan（=-tanCtan（A+B）=，∴-tanC=∴tanA+tanB+tanC=tanA·