（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.3.2-6.3.4平面向量的坐标表示 精讲（原卷版）

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:平面向量的正交分解及坐标表示题型2:平面向量的坐标运算题型3:由向量线性运算解决最值和范围问题题型4:利用坐标求模题型5:平面向量共线的判定与应用题型6:利用向量坐标解决平面几何问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：平面向量的正交分解（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.知识点2：平面向量的坐标表示（1）向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应②两向量相等时，坐标一样③，，④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标（2）点的坐标与向量的坐标的关系区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.知识点3：平面向量的坐标表示（1）两个向量和（差）的坐标表示两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.坐标表示：，则：；（2）任一向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标，，则.（3）向量数乘的坐标表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.坐标表示:,则.知识点4：平面向量共线的坐标表示设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；用坐标表示,可写为,即：消去得到：.这就是说,向量()共线的充要条件是.二、重点题型分类研究题型1:平面向量的正交分解及坐标表示典型例题例题1．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．在平面直角坐标系中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．例题3．在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则______，______.同类题型演练1．在直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，分别计算出它们的坐标.2．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.3．如图，已知边长为1的正方形中，与x轴正半轴成30°角，求点B，D的坐标和，的坐标．题型2:平面向量的坐标运算典型例题例题1．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（

）A． B． C． D．例题2．已知向量，满足，，，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．2例题3．某公园有三个警卫室､､，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.(1)保安甲从出发1.5小时后达点，若，求实数､的值；(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？同类题型演练1．在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（

）A．

B．

C．

D．2．已知在中，，，设是的内心，若，则（

）A． B． C． D．3．已知在中，，，，为中点，则的坐标为__．4．已知向量，，为坐标原点．若向量，，求向量的坐标．题型3:由向量线性运算解决最值和范围问题典型例题例题1．在等腰直角中，为斜边的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．在矩形中，，，动点在以点为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2例题3．在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．同类题型演练1．已知正方形的边长为2，动点满足，且，则的最大值为A． B． C． D．2．如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.题型4:利用坐标求模典型例题例题1．已知向量的，，那么（

）A． B．2 C． D．例题2．在中，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．例题3．如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.例题4．（2022秋·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期中）在中，，，，为线段上一点，则的最小值为___________．同类题型演练1．已知向量的，，那么（

）A． B．2 C． D．2．在中，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（多选）若平面向量和互相平行，其中，则（

）A． B．0 C． D．24．已知点，，则___________.5．已知向量,，则向量的模的最大值是________.6．已知向量，，若，则________．题型5:平面向量共线的判定与应用典型例题例题1．已知向量，若，则（

）A． B．2 C．1 D．例题2．向量，，，若，且，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．例题3．已知，，向量，，则当时，的最小值为_____．例题4．已知，.(1)当为何值时，与共线；(2)若，且三点共线，求的值.例题5．已知两个不共线向量与，且，，.(1)若，求，的值；(2)若，，三点共线，求的最大值.同类题型演练1．已知向量，若向量，则实数_____.2．已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．3．已知向量，．若，则________.4．已知向量，，若，则实数k＝______．5．已知向量，，且，则__________.题型6:利用向量坐标解决平面几何问题典型例题例题1．如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．例题2．如图，，，是圆上的三个不同点，且，，则（

）．A． B．C． D．同类题型演练1．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为A． B． C．2 D．2．（多选）如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（

）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个D．λ+μ=的的点P有且只有一个三、高考（模拟）题体验1．已知向量满足，则（

）A．1 B．3 C．5 D．72．已知向量，若，则（

）A． B．2 C．1