（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练7.2.2 复数的乘、除运算 精讲（解析版）

7.2.2复数的乘、除运算(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:复数的乘、除运算题型2：复数的乘方题型3：与共轭复数有关的运算题型4：根据复数的乘法运算结果求参数题型5：根据复数的除法运算结果求参数题型6：复数范围内的解一元二次方程问题题型7：复数四则运算的创新应用三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：复数代数形式的乘法运算（1）复数的乘法法则我们规定，复数乘法法则如下：设,是任意两个复数，那么它们的乘积为，即（2）复数乘法满足的运算律复数乘法的交换律、结合律、分配律(交换律)(结合律)(分配律)知识点2：复数代数形式的乘方（1）复数的乘方复数的乘方就是相同复数的乘积（2）复数乘方的运算律根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：①②③知识点3：共轭复数的性质设，（）①②为实数③且为纯虚数④⑤，，知识点4：复数代数形式的除法运算（1）定义规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或（2）复数的除法法则（）由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.二、重点题型分类研究题型1:复数的乘、除运算典型例题例题1．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在复平面内对应的点在第三象限,,即.实数的取值范围是.故选：A.例题2．若（，为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，故，故，则.故选：B.例题3．已知复数满足，则_________________；【答案】【详解】因为，所以,即例题4．计算．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）原式.（2）原式.（3），，，原式.同类题型演练1．已知，则=（

）A．3 B． C． D．2【答案】D【详解】由可得，所以解得，所以，故选:D.2．（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】．故选：D．3．（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D4．已知复数z满足，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【详解】由，得，所以，故选：A5．计算．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【详解】（1）；（2）题型2：复数的乘方典型例题例题1．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】因为，所以复数z在复平面内对应的点是，位于第三象限．故选：C例题2．复数满足，则复数（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得，则，∴．故选：D.例题3．已知是虚数单位，则___________．【答案】【详解】因为，，所以，故答案为：.例题4．计算：______．【答案】1【详解】故答案为：1同类题型演练1．已知是虚数单位，则的虚部是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】，故其虚部为，故选：D.2．已知复数（i是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】因为，所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B．3．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D4．计算：______．【答案】【详解】故答案为：题型3：与共轭复数有关的运算典型例题例题1．若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，故.故选：A例题2．已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，因此，.故选：A.例题3．设复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数为______．【答案】##【详解】因为，所以，故.故答案为：.例题4．设复数,则的虚部是______.【答案】【详解】解：因为，，所以，所以，故的虚部是故答案为：同类题型演练1．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为复数满足，所以所以，所以.故选：B2．已知复数，i为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，所以，所以.故选：A．3．复数的共轭复数______.【答案】##【详解】，所以，故答案为：4．若复数满足，则_______________.【答案】【详解】故答案为：题型4：根据复数的乘法运算结果求参数典型例题例题1．已知复数的实部与虚部的和为12，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由复数的乘法运算可知，，因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，.故选：B.例题2．若复数满足，则的值为A． B． C． D．【答案】C详解：由，可得，即，可得，所以，所以.故选：C例题3．已知复数．(1)若，求的值；(2)求的最小值，【答案】(1)或(2)(1)解：由复数，可得，所以，解得或．(2)解：由复数，可得，所以当时，有最小值，最小值为.同类题型演练1．已知，且，则复数______．【答案】##【详解】设，则，即，又，所以，即，所以.所以.故答案为：.2．已知，如果，求实数a，b的值.【答案】，【详解】由，把代入得，∴，∴，∴，解得.3．已知复数，实数a，b满足，求a，b的值．【答案】或.【详解】由已知可得,整理可得：.∴,解得或.题型5：根据复数的除法运算结果求参数典型例题例题1．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【详解】由题意可得，故，解得，故选：A例题2．已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以，解得，故选：B.例题3．已知复数，，其中是正实数．(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，求的值．【答案】(1)2(2)2（1）解：∵，，，∴，从而，解得，所以实数a的值为2．（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以：，解得：或；又因为a是正实数，所以a＝2．同类题型演练1．若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意可知，，因为复数的实部和虚部相等，所以，解得，所以．故选：C．2．已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________．【答案】【详解】因为复数为纯虚数，所以，.故答案为：-3.3．若复数是纯虚数，则实数__________．【答案】1【详解】解：∵==为纯虚数，∴a+1≠0且a-1=0，∴a=1，故答案为a=1．题型6：复数范围内的解一元二次方程问题典型例题例题1．已知复数是关于的方程的一个根，则（

）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【详解】因为复数是关于的方程的一个根，所以，所以，所以，所以，则，故选：C.例题2．若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________.【答案】3【详解】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，∴其共轭复数也是方程的根.由根与系数的关系知，，∴，.故答案为：例题3．已知方程有两个虚根，则的取值范围是________【答案】【详解】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.同类题型演练1．已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则______．【答案】0【详解】是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，则，即，，.故答案为：02．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______．【答案】19【详解】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，所以，解得，所以，故答案为：193．若实系数方程的一个根是，则__________．【答案】1【详解】解：因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，根据韦达定理可得，所以.又，所以，所以故答案为：.题型7：复数四则运算的创新应用典型例题例题1．在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则向量的模为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，.故选：B例题2．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【详解】设，由于对应点在第二象限，所以，，，，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.故选：B例题3．现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.【答案】（1）证明见解析；（2）当，时，，推导过程见解析.【详解】（1）证：设（、）.左右左=右，证毕.（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量的方程的解.设（、），则，即.当，时，解得，，.∴，故，当，时，.例题4．设虚数、满足.（1）若、是一个实系数方程的两根，求、；（2）若，，复数，求的取值范围.【答案】（1），（2）【详解】解:(1)因为、是一个实系数方程的两根,所以由“共轭虚根定理”知.设,则,因为,所以,所以,由“复数相等的充要条件”得,所以,.所以,;(2)由,得,所以.又,所以,所以.因为,所以,,所以.同类题型演练1．在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【详解】，所以（1）错误.，，所以（4）错误.设，.，所以（2）正确.，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）2．已知复数，，其中i是虚数单位，．(1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值；(2)求的值域．【答案】(1)，(2)【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根，则，解之得则，，则，（2），，则，由，可得则的值域为．3．已知关于的实系数一元二次方程．（1）若一根为，求，的值；（2）若存在模为1的虚数根，求，满足的条件；（3）设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，B，，求的值．【答案】（1），；（2），；（3）.【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，，所以，解得，.（2）设模为1的虚根为，，，且，则实系数一元二次方程的两根为，，所以，解得，.又，所以，故，.（3）若，则方程的根为，.若，则，，则，，.所以；若，则，，则，，.所以.故.4．设复数，满足．（1）若，满足，求，；（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值；（3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），或，；（2）或；（3）存在常数满足条件，．【详解】（1）设，由得到，，，，，解得或，故或；（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，则设，则由题意得，，解得或，故或；（3）设，则，由得，，故.三、高考（模拟）题体验1．若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【详解】由题意有，故．故选：B．2．设，其中为实