（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.5.1 直线与直线平行（精讲）（解析版）

8.5.1直线与直线平行(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:基本事实4的应用题型2：等角定理的应用题型3：空间中直线与直线平行的应用一、必备知识分层透析知识点1：直线与直线平行（1）基本事实4（平行线的传递性）①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行②图形语言：③符号语言：直线,,④作用：证明两条直线平行⑤说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性（2）空间四边形空间顺次连接不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形.如图中的四边形表示空间四边形.点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的线段,,,连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段,.空间四边形的对角线不共面.（3）等角定理①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补②图形语言：③符号语言：,或④作用：判断或证明两个角相等或互补二、重点题型分类研究题型1:基本事实4的应用典型例题例题1．若，，，，则．()【答案】正确【详解】因为，，，，由平行传递性可得，．故答案为：正确.例题2．已知三条不同的直线，，，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】解：若，又，则，故充分性成立，反之，若，又，则，故必要性成立.故“”是“”的充要条件.故选：C.例题3．如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（）A．与平行 B．与不平行 C．与平行 D．与平行【答案】A【详解】假设，则由，知，这与直线与直线不平行矛盾，所以直线与直线不平行.故选：A.同类题型演练1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定【答案】A【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选：A.2．若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是______．【答案】【详解】因为且根据平行线的传递性知平行或重合，又因为，再次利用平行线的传递性知平行或重合，因为c，d为不重合的两条直线，所以.故答案为：.3．已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．其中正确的说法是______（填序号）．【答案】①【详解】由公理4知①正确；当与相交，与相交时，与可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当平面，平面时，与可能平行、相交或异面，故③不正确；当，与成等角时，与可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故答案为：①题型2：等角定理的应用典型例题例题1．若，，则．()【答案】错误【详解】由等角定理可知，当两角所对应的边分别平行时，两角相等或互补；虽然，，但没有说明两个角的两边方向是否相同，所以与应是相等或互补.故答案为：错误例题2．若，且与的方向相同，则与（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行【答案】D【详解】如图，若，且与的方向相同，与不一定平行．故选：D．例题3．在三棱锥中，，，，分别是，，的中点，则＝（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，又因为，所以，所以.故选：D.例题4．已知，，，则_________.【答案】或【详解】利用等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故，,则有或,又,所以或，故答案为：或例题5．如图，已知棱长为的正方体中，．(1)四边形是何图形？如何证明？(2)与有何关系？【答案】(1)四边形是等腰梯形，证明见解析(2)相等(1)解：四边形是等腰梯形，证明如下：连接、、、、，因为，则，且，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，所以，且，又因为，同理可得，则，所以，四边形为等腰梯形.(2)解：因为，，且与的方向相同，因此，.同类题型演练1．若，且，与的方向相同，则下列说法中，正确的是A．，且方向相同 B．，且方向不同C．与不平行 D．与不一定平行【答案】D【详解】如图，；当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行．如图．故选D．2．空间两个角的两边分别平行，则这两个角_____．【答案】相等或互补【详解】根据等角定理有：当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当角的两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．故答案为：相等或互补．3．如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则______【答案】【详解】解：依题意且，所以四边形为平行四边形，所以，同理可得，所以或与互补，显然与不互补，所以；故答案为：4．如图，在棱长为a的正方体中，M、N分别是棱CD、AD的中点．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)证明：．【答案】(1)等腰梯形，理由见解析(2)证明见解析【详解】（1）等腰梯形，理由：连接，，，，，因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，，又因为且，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以且，所以四边形是梯形，又因为，所以，所以梯形是等腰梯形.（2）证明：由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同，所以根据等角定理可得.5．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.（1）证明:，，.（2）求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）因为与相交于点O，所以与共面，在和中，可得，又因为，所以，所以，，所以同理，.（2）因为，，且和，和的方向相反，∴.同理，因此，又，所以.题型3：空间中直线与直线平行的应用典型例题例题1．在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【详解】因为分别是边的中点，所以，所以；同理可得，所以四边形是平行四边形；又因为，所以，即四边形是矩形.故选：B.例题2．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（

）A．与平行B．与异面C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上D．与的交点一定在直线上【答案】D【详解】解：如图所示：连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，所以GF//BD，且GF＝BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH//BD，且EH＝BD，所以EH//GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选：D.例题3．在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】【详解】设正方体的棱长为a，如图，连接，，易知，所以或其补角为异面直线BN与AM所成的角.则，，，所以.故答案为：．例题4．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．【详解】证明：如图所示：连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四边形MNA′C′是梯形．同类题型演练1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（

）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【答案】C【详解】如图，连接AD1，CD1，AC，因为E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选：C2．如图，是长方体的一条棱，那么长方体中与平行的棱共有________条．【答案】3【详解】根据正方体的结构特征，可得，共有条.故答案为：.3．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．【详解】由于分别