（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.6.1 直线与直线垂直 （精讲）（解析版）

8.6.1直线与直线垂直(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:求异面直线所成的角题型2:判断直线垂直关系题型3：证明异面直线垂直三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：异面直线所成角的概念已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线QUOTEa'与QUOTEb'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）知识点2：异面直线所成角的范围由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即.注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是.知识点3：两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，记作.注意：两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.知识点4：异面直线所成的角的求解步骤①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.②证明：证明作出的角就是要求的角③计算：求角度（常利用三角形的有关知识）④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.二、重点题型分类研究题型1:求异面直线所成的角典型例题例题1．如图所示，正方体中，，分别为平面与的中心，则与所成角的度数是_____________．【答案】【详解】根据题意可知：在中，//，//，所以在正方体中，所以与所成角的度数是故答案为：例题2．已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，取的中点，连接，因为点为的中点，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，在正中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理可得.故选：A.例题3．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______．【答案】【详解】如图，取中点，连接，，∵，分别为，中点，∴，且，∴异面直线和所成角为或其补角，在等边和等边中，，∴在中，由余弦定理，有，∴异面直线和所成的角的余弦值为.故答案为：.例题4．已知正四棱锥，，，是侧棱的中点，且，则异面直线与所成角为________．【答案】45°【详解】如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则∠OMB为异面直线PA与BM所成角．由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝PA＝1．在RtAOB中，易得OB＝AB·tan·45°＝1．又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以OMB为直角三角形，且∠OMB＝45°．故答案为：45°.例题5．如图，在三棱柱中，，．若，，则异面直线与所成的角为____．【答案】60°【详解】依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°．故答案为：60°.同类题型演练1．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设正方体的棱长为，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，可得，所以或其补角即为直线与直线所成角，在中，，所以，所以直线与直线所成角大小为，故选：C.2．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示)【答案】.【详解】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角，故两异面直线所成角的范围是.故答案为：.3．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是________．【答案】【详解】因为底面是平行四边形，所以，所以与所成的角即为与所成的角或其补角，又，所以与所成的角为，即与所成的角为.故答案为：.4．如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．【答案】【详解】如图，连接，，，因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角，因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.故答案为：.5．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.【答案】60°【详解】如图，取AC的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.单独看△GEF的平面图，可得在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H，在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝，所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°.所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.题型2:判断直线垂直关系典型例题例题1．在正方体中，与垂直的直线是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连结,则为直线与所成角,在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.为直线与所成角,在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.在正方体中,，平面，且平面,所以由,所以平面’平面,所以故选:C.例题2．若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是（

）A．B．C．与既不垂直也不平行D．与的位置关系不确定【答案】D【详解】构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C.故选:D.例题3．如图，，平面，在，的边所在的直线中：（1）与垂直的直线有________；（2）与垂直的直线有________．【答案】

【详解】，平面ABC，可知平面，（1）与PC垂直的直线有：.（2）与AP垂直的直线有：.故答案为：；同类题型演练1．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条．【答案】2【详解】可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，则，则的角平分线与直线a，b所成的角均为，的角平分线与直线a，b所成的角均为，因为，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条（直线），故答案为：2.2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．【答案】AB，A1B1【详解】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．故答案为：AB，A1B1.3．若空间三条直线a，b，c满足，，则直线a与c()A．一定平行

B．一定垂直

C．一定是异面直线

D．一定相交【答案】B【详解】若，，则根据线线垂直的判定定理可知，故选：B题型3：证明异面直线垂直典型例题例题1．如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】四边形为正方形

故选：例题2．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.例题3．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点棱上运动．证明：.【详解】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②BC，BB1为平面BB1C1C内两条相交直线，由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.同类题型演练1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（

）A．2条 B．4条C．6条 D．8条【答案】D【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D.2．如图，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是（

）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【答案】C【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确．对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确．对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确．故选：C．3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直【答案】C【详解】∵BD是菱形ABCD的一条对角线，菱形对角线互相垂直，∴AC⊥BD.∵MC⊥平面ABCD，∴MC⊥BD，∵MC和AC相交于点C，∴BD⊥平面ACM，∵MA⊂平面AMC，∴MA⊥BD.又∵MA与BD是异面直线，∴MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C.4．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．因为E是AB的中点，且AD=2，所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．三、高考（模拟）题体验1．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为()A