（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）（精讲）（解析版）

8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:直线与平面垂直的判断题型2：直线与平面垂直的判定定理题型3：补全线面垂直的条件题型4：直线与平面所成的角的概念题型5：求线面角题型6：由线面角求参数题型7：线面角最值问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.（2）符号语言：对于任意，都有.（3）图形语言：（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.知识点2：直线与平面垂直的判定定理（1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直线面垂直（2）符号语言：，，，，（3）图形语言：如图知识点3：直线与平面所成角（1）直线与平面所成角的定义如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.（2）说明：①为斜线②与的交点为斜足③直线为在平面上的射影④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：⑥直线与平面所成角取值范围：.（3）直线与平面所成角的求解步骤①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；③算：一般借助三角形的相关知识计算.二、重点题型分类研究题型1:直线与平面垂直的判断典型例题1．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（

）.A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】C【详解】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.故选：.2．在正方体的六个面中，与垂直的平面有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体的六个面中，与垂直的平面有平面和平面，共两个.故选：B3．如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【详解】解：依题意平面，平面，所以，又是底面圆的直径，所以，，平面，所以平面，故A正确；对于B：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误；对于C：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误；对于D：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误；故选：A同类题型演练1．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，C．若，，则 D．若，，，则【答案】D【详解】选项A：若，，则或或相交.判断错误；选项B：若，，则或或相交.判断错误；选项C：若，，则或或相交.判断错误；选项D：若，，则，又，则.判断正确.故选：D2．如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，且，，A正确，D错误.直线和平面没有确定关系.故选：A．3．已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，．其中正确的命题是______．（填序号）【答案】②【详解】①，，则或或相交.判断错误；②，.判断正确；③，，则或.判断错误.故答案为：②题型2：直线与平面垂直的判定定理典型例题1．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．（1）证明：（1）取的中点，连接，，∵是的中点，∴，，∵和都垂直于平面，∴，∵，∴，，∴四边形为平行四边形，从而，∵平面，平面，∴平面．（2）证明∵垂直于平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，由（1）可知：，∴平面．2．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.(1)若，求四棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明详见解析【详解】（1）解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，∴；（2）证明：∵四边形为矩形，∴，∵底面，面，∴，又，∴面，又，分别是，的中点，∴，∴平面.3．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．(1)求证：平面BCD；(2)求点E到平面ACD的距离．【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）证明：O，E分别是BD，BC的中点，，，，则，即，，则，即，在中，由已知可得，，平面，平面.（2）设点E到平面ACD的距离为，如图所示：，，在中，而，，点E到平面ACD的距离为4．如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【详解】（1）连接，如图，∵O、M分别是、的中点，是矩形，则，且，∴四边形是平行四边形，则，平面，平面，∴平面.（2）连接，∵正方形的边长为2，，∴，，，则，故，又∵平面，平面，∴，由为正方形可得：，，平面，∴平面，又∵平面，∴，，面，∴平面.5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，．(1)证明：BD⏊平面PAC；(2)求三棱锥的表面积．【答案】(1)证明见解析；(2)（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又底面ABCD为正方形，∴，又，平面，∴平面PAC；（2）连接PO，∵平面ABCD，平面，∴，，∴，为直角三角形，同理由（1）中平面PAC可得为直角三角形，又是直角三角形，由题意可得，，，其表面积∴三棱锥的表面积为．同类题型演练1．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面.（2）连接，如图所示：因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.2．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：(1)平面；(2)平面．【详解】（1）连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；四边形为正方形，，又，平面，平面.3．在棱长为2的正方体中．(1)求证：面；【详解】（1）如图，连接，，平面，平面，所以，且，所以平面，平面，所以，同理，，且，平面所以平面4．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)证明：平面PAC；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）底面为直角梯形，，，故可得，又，则，易知，故，则；又面面，故；又面，故面.（2）由（1）知面，又面，故，又面面，故，则，又，则；因为面，故点到面的距离为，也即点到面的距离为；又，设点到面的距离为，则由可得：，则，解得，故点到面的距离为.5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2.(1)求证：BC⊥平面BDE；(2)求点D到平面BEC的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，因为ED⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC⊂平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，故，由余弦定理，所以BC＝，在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，故BC⊥BD，因为ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE；（2）解法一：由（1）知BC⊥平面BDE，因为BC平面BCE，所以平面BDE⊥平面BCE，过点D作EB的垂线交BE于点G，∵平面BDE∩平面BCE＝BE，DG平面BDE，则DG⊥平面BEC，所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，∵ED⊥平面ABCD，BD在平面ABCD内，∴ED⊥BD，在三角形BDE中，，所以，所以点D到平面BEC的距离等于.解法二：由（1）BC⊥平面BDE，BE平面BDE，所以BC⊥BE，因为DE＝1，，所以BD＝，BC＝，BE＝，所以，，设点D到平面BCE的距离为h，根据VD－BCE＝VE－BCD，由（1）可知ED⊥平面ABCD即，，解得h＝，即点D到平面BCE的距离为题型3：补全线面垂直的条件典型例题1．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的___________直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.【答案】两条相交【详解】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.故答案为：两条相交2．已知平面ABCD，则四边形ABCD满足______时，有．（试写出一个满足的条件）【答案】四边形ABCD为菱形.（答案不唯一）【详解】如图，因为平面，平面，所以，当四边形为菱形时，，又，平面，所以平面，又平面，所以.故答案为：四边形为菱形.（答案不唯一）3．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：平面PAD；(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)当时，MN⊥平面PCD（1）取的中点，连接∵分别为的中点，则∥且又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且则∥且，即为平行四边形，则∥平面PAD，平面PAD∴平面PAD（2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD∴⊥PD，且为的中点∴若且为的中点，则⊥PD∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD，则CD⊥平面PAD，平面PAD，则⊥CD，则⊥平面PCD，∥，则MN⊥平面PCD综上所述：当时，MN⊥平面PCD4．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，【详解】（1）取中点，连接，因为是的中点，则，又，则，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面；（2）存在点，使得平面，此时，证明如下：连接，易得，又底面，底面，则，则，，则，，又，，由余弦定理得，，则，，又，，平面，则平面，故存在点，使得平面，此时.5．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．(1)证明：平面；(2)点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】解：（1）证明：取的中点，记，连接，，，在中，，分别是，的中点，所以，同理可得，又因为，，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）解：因为底面是菱形，所以，因为，，所以，则，又因为是的中点，所以，因为，所以平面，又平面，所以，即因为，，所以，则，则，所以，即又因为，所以平面，若平面，则与重合．故．同类题型演练1．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．【答案】【详解】由线面垂直的判定定理可知：，，，，且，则，故答案为：2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．【答案】1【详解】解：连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影，∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF，，因为，所以平面，又平面，所以DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．∴＝1时，D1E⊥平面AB1F．故答案为：1.3．已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)【详解】（1）连接，，，四边形为平行四边形，；分别为中点，，，平面，平面，平面.（2）取中点为，，，，，又，，，又，，则，，平面，平面，此时，则线段上存在点，为中点，使得平面，此时.（3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离，由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为，又，直线到平面的距离为.4．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，(1)连结，交于点，连结．因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．(2)因为正方体的棱长为1，是的中点，所以,所以边上的高为，所以.因为，所以，解得：，即点到平面的距离为．(3)在对角线上存在点，且，使得平面．证明如下：因为四边形是正方形，所以．因为平面，平面，所以．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．作于，因为，所以．因为平面，平面平面，所以平面．由,得．所以当时，平面．5．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．（1）求证：BM//平面PAD．（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点．【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，∴，.∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD．（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABME．作MN⊥BE，交AE于点N，∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，∴MN⊥平面PBD．易知△BME∽△MEN，而，∴，即，而，∴N为AE的中点．题型4：直线与平面所成的角的概念典型例题1．若直线m与平面所成的角为，则可能为135°．()【答案】错误【详解】直线与平面所成的角的范围为．故答案为：错误.2．若直线l与平面所成角为，直线a在平面上，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是___________.【答案】【详解】解：由题可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以与直线所成的角的最小值为，又为异面直线，则直线与所成角的最大值为，故直线与直线所成角的取值范围是.故答案为：.同类题型演练1．一条直线与一个平面所成角的取值范围是___________.（用区间表示）【答案】【详解】由线面角的概念知，一条直线与一个平面所成角的取值范围是.故答案为：2．如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成的角为θ2，则θ1_________θ2(填“>”“=”或“<”).【答案】【详解】连接AP，∵AA1⊥平面ABC，故∠A1PA为直线A1P与平面ABC所成的角，即∠A1PA=θ1，故sinθ1=.过点A1向BC作垂线，垂足为M，若M与P重合，则直线A1P与直线BC所成的角为90°，即θ2=90°，此时显然有θ1<θ2;若M不与P重合，则∠A1PM为直线A1P与直线BC所成的角，即∠A1PM=θ2或π-θ2，故sinθ2=，∵AA1是平面ABC的垂线，故AA1<A1M，∴sinθ1<sinθ2，又θ1，θ2∈，∴θ1<θ2.故答案为：<题型5：求线面角典型例题1．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据长方体性质知：面，故为与面所成的角，，所以.故选：A2．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接，因为在平面ABCD上的投影为，故作于，且平面，连接，则AP与平面ABCD所成角为.因为，故，且，故.所以AP与平面ABCD所成角的正切值为故选：D3．如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线与平面所成的角的正切值.【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由题意可得，所以底面圆面积，圆锥的高，所以圆锥的体积为.圆锥侧面展开图的半径为，弧长为底面圆周长，圆锥的侧面积为.（2）取中点，连接，如下图所示：在中，中位线，易知平面可得平面，所以即为直线与平面所成的角，易知，又，所以，所以.所以直线与平面所成的角的正切值为.4．如图，在长方体中，，.求(1)求直线和直线所成的角的大小；(2)求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)；(2)（1）在长方体中，，则,因为∥，所以为直线和直线所成的角，在中，，因为为锐角，所以，所以直线和直线所成的角的大小为，（2）连接，在长方体中，，，则，因为平面，所以为直线与平面所成的角，在中，，因为为锐角，所以5．如图在四棱锥中，底面是边长的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)（1）连接，因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面.（2）因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，所以，即.又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，设，则，，在中，所以，因为，所以，即与平面所成的角为.同类题型演练1．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】平面，与平面所成的角为.又，，可得，而平面平面，与平面所成角的正弦值为.故应选：B.2．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接交于F，设与平面所成角为，因为∥,所以与平面所成角为，如图：因为在长方体中，，，所以四边形是正方形，是中点，，，所以，又，面，所以平面，又平面，所以平面平面，过作于，因为面面，面面，，面，所以平面，所以，即，所以.故选：A.3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)证明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).（1）如图，连接BC1，AD1，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得EF∥BC1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1，又EF⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，所以EF∥平面A1ADD1；（2）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为C1D1⊥平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，所以∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成的角，由题意知AC1＝，在Rt△AD1C1中，sin∠C1AD1＝＝＝，即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为.4．在四棱锥中，⊥平面，，，．(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)（1）证明：作，在等腰梯形中，，∴，∴又平面，∴，又，平面，∴⊥平面．（2）Rt△中，，∴，Rt△中，，∴，∴△≌△；又，∴点到平面的距离，∴与平面所成角的正弦值为．5．如图，三棱柱的底面为菱形，，为的中点，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)（1）证明：以、、为基底，得，,，所以；同理可证，和是平面内两相交直线，所以平面.（2）由已知四面体是正四面体，如图，是的中心，是的中点，，是正四面体的高，从而与底面上的直线垂直，是与平面所成的角，则，所以，．题型6：由线面角求参数典型例题1．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为A．40 B． C． D．【答案】A【详解】解：圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，可得，又的面积为，可得，即，可得与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：，则该圆锥的侧面积：，故选A．2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为__________.【答案】##【详解】在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．则△PCD和△PBC均为直角三角形，当O点为PC中点时，OP＝OD＝OB＝OC，此时O为四面体PBCD的外接球的球心．∵直线PA与平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，则∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面体PBCD外接球的半径为，所以四面体PBCD外接球的体积为．故答案为：．3．已知正三棱柱中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，故平面.（2）解：因为平面，与平面所成的角为，因为是边长为的等边三角形，则，平面，平面，，则，所以，，平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，因为为的中点，则，则.4．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，底面.（1）求证：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，又因为平面，平面，故，又，故平面；（2）设，则为中点，连接，设到平面的距离为，因为平面，所以是直线与平面所成的角，于是，因此.又，故为等边三角形，所以三角形的面积为，故三棱锥的体积.在直角三角形中，，，所以，平面，平面，则，则，所以三棱锥的体积，解得，所以，点到平面的距离为.同类题型演练1．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【详解】由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝.故选：D.2．若正三棱锥底面边长为2，侧棱与底面所成的角为，则其体积为_______．【答案】【详解】解：先求正三棱锥的高，由题意，顶点在底面中的射影是底面的中心，为侧棱与底面所成角，，从而有高，又底面积，所以正三棱锥的体积.故答案为：.3．如图，已知四棱锥中，平面，且.(1)求证：平面；(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.【答案】(1)见解析；(2)（1）证明：连接，设交于点，连接，因为，所以，因为，所以，所以，又平面，平面所以平面；（2）解：因为平面，所以即为直线与底面所成的角的平面角，即为直线与底面所成的角的平面角，所以，所以，，，设点到平面的距离为，因为所以，故，，所以.4．如图，三棱柱各棱长均为2，.(1)求证：；(2)若与平面所成的角为，求三棱柱的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)(1)证明：取AC的中点D，连接BD，，，则，因为，，所以为等边三角形，又D为AC的中点，所以，因为，平面，所以平面，.又平面，所以.(2)由（1）知平面，又平面，所以平面平面，平面平面，故过作平面的垂线，垂足为E，则E一定在直线上，因为与平面所成的角为，所以，由题意知，所以，所以，所以.（或：由题意知，所以，所以）所以.题型7：线面角最值问题典型例题1．如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为上一动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，过点作于点，连，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又∵平面，∴，故为直线与平面所成的角，在中，越小，越大，越大，当时，最小，此时最大，∵为等腰直角三角形，又，在中，,在中，，则,在等腰直角三角形中，，在中，,,则，故选：C.2．如图，在三棱柱中，点在平面上的射影为的中点，，，，.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以平面平面.因为，，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面（2）解：取中点，连接，，则，所以四边形是平行四边形.因为，，，，平面，所以平面，又平面所以平面平面.作于，则平面，连接，则为直线与平面所成的角.由，，，知，又由（1）知平面，所以，，.则.由于，所以，所以.故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.同类题型演练1．三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为______________【答案】【详解】如图，过作，垂足点为，连接,根据面面，面面，可得底面，即为直线与面所成角，设，设，又，则，因为，，，，则，易知，且，在中，，由余弦定理可得：，又，，所以，，令，则，，当时，取得最大值.所以，直线与面所成角的正弦的最大值为．故答案为：．2．如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点.(1)求证：平面平面BDF；(2)若，，，求直线BF与平面ACD所成角的