（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练10.2 事件的相互独立性 精讲（解析版）

10.2事件的相互独立性(精讲)目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:相互独立事件的判断题型2:相互独立事件的概率的求法题型3:相互独立事件的综合应用三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：相互独立事件的概念对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，知识点2：相互独立事件概率的求法已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有事件表示概率，同时发生，都不发生，恰有一个发生，中至少有一个发生或，中至多有一个发生或知识点3：互斥事件与相互独立事件的区别与联系相互独立事件互斥事件判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即概率公式事件与相互独立等价于事件与互斥，则二、重点题型分类研究题型1:相互独立事件的判断典型例题例题1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（

）A．相互独立事件 B．不相互独立事件C．互斥事件 D．对立事件【答案】A【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.故选：A.例题2．若，，，则事件与的关系是（

）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立【答案】C【详解】∵，∴，∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C例题3．设､为两个随机事件，给出以下命题：（1）若､为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则､为相互独立事件；（3）若，，，则､为相互独立事件；（4）若，，，则､为相互独立事件；（5）若，，，则､为相互独立事件；其中正确命题的个数为___________.【答案】3【详解】若为互斥事件，且，，则，故（1）错误；若，则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（2）正确；若，则，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（3）正确；若，当为相互独立事件时，，故（4）错误；若，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（5）正确.故正确命题的个数为3.故答案为：3.同类题型演练1．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（

）．A．互斥 B．互为对立C．相互独立 D．相等【答案】C【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；，，，，因为，所以与独立，故选项C正确；事件与不相等，故选项D错误.故选：C.2．在一次试验中，随机事件A，B满足，则（

）A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立【答案】B【详解】若事件A，B为互斥事件，则，与矛盾，所以，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，由题意无法判断是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，故选：B3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（

）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等【答案】C【详解】显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.题型2:相互独立事件的概率的求法典型例题例题1．（多选）已知事件，相互独立，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】根据事件A，B相互独立，且，，可得，即A正确；而，所以，即B错误；由独立事件的概率可知，所以，故C正确；由概率加法公式可得，故D错误；故选：AC例题2．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译；(2)恰有一人能破译.【答案】(1)(2)（1）记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.则根据题意两个人都破译出密码的概率为（2）恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙未破译出，乙破译出甲未破译出，即，∴.例题3．年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，由题意可知，事件、、相互独立，且，，.若他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，所以，，即他们都研制出疫苗的概率为．（2）解：他们都失败，即事件、、同时发生，所以，.即他们都失败的概率为．解：“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率.即他们能研制出疫苗的概率为．同类题型演练1．已知A、B是独立事件，，，则______.【答案】【详解】∵为两个独立事件，∴，∵∴∴．故答案为：．2．为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．(1)求甲乙两队都答对此题的概率；(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；（2）解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，故.故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.3．在一次猜灯谜活动中，甲、乙两人同时独立猜同一道灯谜，已知甲、乙能猜对的概率分别是0.6和0.5．(1)求两人都猜对此灯谜的概率；(2)求恰有一人猜对此灯谜的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）设“甲猜对”，“乙猜对”，则“甲猜错”，“乙猜错”，由题意得与相互独立，与，与，与都相互独立，“两人都猜对”，由事件独立性的定义可得；（2）设“甲猜对”，“乙猜对”，则“甲猜错”，“乙猜错”，由题意得与相互独立，与，与，与都相互独立，“恰有一人猜对”，因为与互斥，由概率的加法公式可得．题型3:相互独立事件的综合应用典型例题例题1．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件C． D．【答案】C【详解】对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故B错误；对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种，其中，事件发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，所以，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以，，所以，故C正确；对于D，事件表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.故选：C．例题2．设，为两个随机事件，给出以下命题：①若，为互斥事件，且，，则；②若，，，则，为相互独立事件；③若，，，，则，为相互独立事件；④若，，，则，为相互独立事件；⑤若，，，则，为相互独立事件．其中正确命题的个数为______．【答案】4【详解】若为互斥事件，且，则，故①正确；若则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故②正确；若，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故③正确；若，当为相互独立事件时，故④错误；若则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故⑤正确.故答案为：4.例题3．11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球､假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．【答案】(1)0.5(2)0.1【详解】（1）设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，则；（2）且甲获胜.同类题型演练1．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为____________.【答案】【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，即，记事件超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，事件超过1000小时时，元件3正常，事件该部件的使用寿命超过1000小时，则，，因为事件为相互独立事件，事件为同时发生的事件，所以．故答案为：．2．甲､乙､丙三人打靶，他们的命中率分别为，若三人同时射击一个目标，甲､丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.(1)求；(2)写出事件包含的所有互斥事件，并求事件发生的概率.【答案】(1)(2)互斥事件有：，【详解】（1）由题意知，A，B，C为相互独立事件，所以甲､丙击中目标而乙没有击中目标的概率乙击中目标而丙没有击中目标的概率，解得，.（2）事件包含的互斥事件有：，.3．如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示:元件概率0.60.50.40.50.7(1)求在时间内，与同时发生故障的概率；(2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率；(3)求在时间内，电路不通的概率.【答案】(1)0.3(2)0.8(3)0.828【详解】（1）解：设表示发生故障，则，在时间内与同时发生故障的概率；（2）解：在时间内，与至少一个发生故障的概率；（3）解：设表示发生故障，则，在时间内，电路不通的概率.三、高考（模拟）题体验1．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【详解】，故选：B2．（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，=“第1次取出的是红球”，=“第2次取出的是红球”，=“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（

）A．A与相互独立 B．A与互为对立C．与互斥 D．与相互独立【答案】ABD【详解】2个红球为，2个白球为，则样本空间为：，共12个基本事件.事件A，共4个基本事件.事件B，共6个基本事件.事件C，共6个基本事件.事件D，共8个基本事件.对于A选项，因，则，故A与相互独立.故A正确；对于B选项，注意到，得A与互为对立.故B正确；对于C选项，注意到，则与不互斥.故C错误.对于D选项，因，则，故D与相互独立.故D正确.故选：ABD3．（多选）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（

）A．A与B相互独立. B．A与D互为对立. C．B与C互斥. D．B与D相互独立；【答案】ABD【详解】由题可得，，，，，所以，，所以A与B相互独立，B与D相互独立，故AD正确；对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与D互为对立事件，故B正确；对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误.故选：ABD.4．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）①②③④【答案】②③【详解】①，故①不一定成立；②③由事件的独立性定义