2021北京重点校高一（下）期末数学试卷试题汇编：三角恒等变换章节综合

1/12021北京重点校高一（下）期末数学汇编三角恒等变换章节综合一、单选题1．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）函数是（）A．奇函数，且最小值为B．奇函数，且最大值为C．偶函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为2．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）在中，，则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．（2021·北京师大附中高一期末）在中，，那么这个三角形是（）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．不确定二、双空题4．（2021·北京·人大附中高一期末）已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.则这三个条件是________（只填写序号），的面积是________三、填空题5．（2021·北京·人大附中高一期末）如图，三个全等的三角形，，拼成一个等边三角形ABC，且为等边三角形，若，则的值为__________.6．（2021·北京·101中学高一期末）已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是________．7．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知，则_____.8．（2021·北京·101中学高一期末）若为的内角，且，则的值为________．四、解答题9．（2021·北京师大附中高一期末）已知集合，称为的第个分量.对于的元素，定义与的两种乘法分别为：给定函数，定义上的一种变换.（1）设，求和；（2）设，对于，设，对任意且，定义①当时，求证：中为0的分量个数不可能是2个；②若的任一分量都只能取或，设的第1个分量为，求的最小正周期的最小值，并求出此时所有的.10．（2021·北京·101中学高一期末）对，定义．（1）求的最小值；（2），有恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在，且m＞n，使得为恒定常数．11．（2021·北京·人大附中高一期末）设A，B，C为△ABC的三个内角，向量，且.（1）求角A的大小；（2）求sinB＋sinC的取值范围.12．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值和最小值.13．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知△的面积为，，.求（1）和的值；（2）的值.14．（2021·北京师大附中高一期末）已知函数.（1）求；（2）求的最小正周期：（3）求在区间上的最大值.

参考答案1．D【分析】根据奇偶性判断得函数为偶函数，再将函数变形为，进而得函数有最大值.【详解】解：因为，所以函数为偶函数，，所以由余弦函数及二次函数的性质知，最大值为.故选：D2．B【分析】根据结合题意得,化简整理得,再根据余弦定理角化边整理得,故的形状为直角三角形.【详解】解:由降幂公式得,因为,所以,即,由于,所以,整理得:.所以的形状为直角三角形,故选:B3．B【分析】边角互化后，再利用三角函数恒等变形判断形状.【详解】根据正弦定理可知，，而，所以，整理为，即，所以是等腰三角形.故选：B4．①②③【分析】如果选条件②③④，不能确定三角形是锐角三角形，如果选条件①④②或①④③，三角形不是锐角三角形，只有选①②③，可得锐角三角形，然后求出三角形面积．【详解】如果选条件②③④，则由正弦定理得，均为锐角，，，则，则为锐角，为钝角，不合题意；如果选条件①④②或①④③，同理，则为锐角，为钝角，不合题意；只有选择①②③，由得，解得或，时，，角是钝角，不合题意，舍去．时，，是锐角，符合题意．此时．故答案为：①②③；．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和与差的正弦余弦公式，解题关键是根据所选条件判断三角形的形状，以确定符合题意的条件．5．【分析】首先设，，中，,,,利用正弦定理表示的值.【详解】设，，因为三角形，，互为全等三角形，且是等边三角形，所以，，，且,在中，根据正弦定理有，所以，所以，即，.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.6．【分析】令，化简，求出的范围，结合不等式恒成立得到，再求出的范围即可．【详解】解：令则．因为，所以，所以，由于不等式对于恒成立可得．所以的取值范围为．故答案为：．7．【分析】由诱导公式和二倍角余弦公式直接求解可得结果.【详解】.故答案为：.8．【分析】根据正弦值为负推出，再利用，求出，再利用两角和的余弦公式求值.【详解】因为为的内角，且，所以，...故答案为：.9．（1），；（2）①见解析；②，或.【分析】（1）根据定义计算可得相应的计算结果.（2）①利用反证法结合分量的特征可证明该结论.②先求出，找出一般规律后可求出，结合解析式的形式可得到何时的最小正周期有最小值.【详解】（1），，故，．（2）①：当时，，，故，即，同理，类似的求法，有：，若中为0的分量个数是2个，不妨设，则，两式相加后有，故，矛盾．故中为0的分量个数不可能是2个．②：由①的计算可知：，；类似地，有：，；也就是：而，，也就是：，，依次类推则有的第一个分量为：，故，其中或，当的符号交替出现时，的最小正周期有最小值，此时或，最小正周期的最小值为，对应的或.【点睛】方法点睛：本题为与三角函数有关的新定义题，解决此类问题关键是弄清楚新运算的性质与三角函数中三角变换公式之间的联系，从而得到一般规律，注意本题中，因此我们可由有限归纳法来总结规律.10．（1）；（2）；（3）见解析.【分析】（1）依题意可得，进而可得结果；（2）依题意可得对，，所以，故可得结果；（3）用反证法证明，假设存在，且，使得恒为常数，由，，结合奇偶分析得出矛盾.【详解】（1）依题意得所以当时，有最小值；（2）因为对，，所以，即的最大值为；（3）用反证法：假设存在，且，使得恒为常数，，则，，由可得，即是偶数.而，由于，所以必有.若，则，不合题意；若，则，故.而由，可知：是偶数，是奇数，由可得，显然矛盾.综上，不存在符合题意的，.【点睛】关键点点睛：第（3）问用反证法证明的关键点是：由，，结合奇偶分析得出矛盾.11．（1）；（2）【分析】（1）根据已知结合向量模长坐标公式，得到二次关系，由正弦定理化角为边，最后用余弦定理求出，即可求解；（2）由（1）将角用角表示，再运用三角恒等变换转化为正弦型三角函数，利用角范围，即可得出结论.【详解】（1），所以，，由正弦定理得，所以，又，所以；（1），因为，所以，所以的范围是.12．（1）最小正周期；单调递增区间为；（2），.【分析】利用二倍角和辅助角公式化简；（1）由正弦型函数周期性可得最小正周期；利用整体对应法可解不等式求得单调递增区间；（2）利用的范围可求得的范围，利用整体对应的方式可得的范围，由此可得最值.【详解】；（1）由题意得：最小正周期；令，解得：，的单调递增区间为；（2）当时，，，，.13．（1），；（2）.【分析】（1）由同角三角函数平方关系求，利用三角形面积公式求，应用余弦定理求即可；（2）由题设有，三角形面积公式、同角三角函数关系求、，根据两角差正弦公式求即可.【详解】（1