2021北京重点校高一（下）期中数学试卷试题汇编：平面向量数量积的坐标表示

1/12021北京重点校高一（下）期中数学汇编平面向量数量积的坐标表示一、单选题1．（2021·北京四中高一期中）平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，点，则向量与的夹角的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2021·北京八中高一期中）若向量，，则与的夹角等于（）A． B． C． D．3．（2021·北京·101中学高一期中）已知单位向量满足，若向量，则（）A． B． C． D．4．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）设向量，且，则的值是（）A． B．C． D．二、双空题5．（2021·北京·101中学高一期中）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．6．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的最大值是________；最小值是________.三、填空题7．（2021·北京·北大附中高一期中）在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________．8．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知点，向量绕原点逆时针旋转后等于，求点的坐标为_____.9．（2021·北京四中高一期中）已知，，若，则实数的值为_______.10．（2021·北京·北大附中高一期中）菱形ABCD中，A=60°，E为BC中点，记，，若，则=_______．四、解答题11．（2021·北京·101中学高一期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足．求证：A、B、C三点共线；已知、，，的最小值为5，求实数m的值．12．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.（1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；（2）写出函数的“伴随向量”为，并求；（3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为，①若，，求的值；②求证：向量的充要条件是.13．（2021·北京四中高一期中）已知向量，，其中.（1）求及的值；（2）若函数，求的最大值.14．（2021·北京·北大附中高一期中）已知三角形ABC，A(3，4)，B（0，0），C(16，0)（1）写出一个与垂直的非零向量；(坐标形式)（2）求；（3）求向量在向量上投影的数量；（4）若，求k的值；（5）求．15．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知向量，.（1）求；（2）求向量与的夹角.16．（2021·北京市第五中学高一期中）已知平面向量，且（1）求的最小值；（2）若，求与的夹角．17．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知向量，，．（1）若，求的值；（2）当时，与共线，求的值；（3）若，且与的夹角为，求.

参考答案1．B【分析】根据题意，设向量与的夹角为，求出、的坐标，由数量积的计算公式计算，由基本不等式求出的取值范围，由此分析可得答案．【详解】根据题意，设向量与的夹角为，点，点，则，，则，，，则，又由，则，当且仅当时等号成立，则，又由，故，即向量与的夹角的取值范围是，故选：．2．C【分析】根据向量坐标表示的运算法则，结合向量数量积公式，求得两向量夹角.【详解】∵，；∴；∴故选：C.3．B【解析】本题借助将代入化简即可.【详解】因为是单位向量，所以.因为，所以.所以所以.故选：B.4．B【分析】直接利用垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为向量，且，所以，解得：.故选：B5．【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.6．1【分析】如图，建立坐标系，利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出【详解】解：如图所示，建立直角坐标系，则，所以，所以，令，因为在上单调递减，在上单调递增，所以时，取得最小值，，因为，所以最大值为1，故答案为：1，7．【解析】先判断是等腰直角三角形，，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，写出点的坐标，设且，求出和的坐标，计算再求最值即可.【详解】在中，，，所以，，是等腰直角三角形，，如图以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，则，设则，所以，所以时，取得最小值为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断是等腰直角三角形，易于建坐标系，设出动点坐标且，求出定点坐标，即可用坐标表示数量积，再计算最值.8．【分析】由旋转特点可知两向量模长相等且互相垂直，由此可构造方程组求得，根据可得结果.【详解】设，又，由题意得：，即，解得或(舍去)所以.故答案为：9．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，计算求得的值．【详解】，，若，则，求得实数，故答案为：．10．【分析】建立坐标系，写出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示求解即可【详解】由题意，可以菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意不妨令，则，则有，，，，，由，可得：，解得，故答案为：11．(1)见解析(2)m的值为-3或【详解】试题分析:（1）因为,且,化简可得,即∥，又与有公共点A，则命题成立;（2）根据和=-求出,的坐标,代入解析式f（x）,化简可得关于sinx的二次函数,讨论对称轴与区间[0，1]的中点为的关系,根据单调性分别得出最小值,列出等式求得m的值.试题解析:（1）因为，所以∥，又与有公共点A，所以A，B，C三点共线．（2）因为=（1，cosx），=（1+sinx，cosx），所以=+=（1+sinx，cosx），=-=（sinx，0），故·=1+sinx+cos2x，||==sinx，从而f（x）=·+（2m+）||+m2=1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2，关于sinx的二次函数的对称轴为sinx=，因为x[0，]，所以sinx[0，1]，又区间[0，1]的中点为．①当≤，即m≤0时，当sinx=1时，f（x）min=m2+2m+2，由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，所以m=-3；②当>，即m>0时，当sinx=0时，f（x）min=2+m2，由f（x）min=5得m=，又m>0，所以m=．综上所述：m的值为-3或．点睛:平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.12．（1）；最大值为；（2）,；（3）①；②证明见解析.【分析】（1）根据伴随函数的定义写出函数结合辅助角公式化简整理，即可求出最值；（2）结合两角和的余弦公式可化简得，进而表示出向量，即可求出模长；（3）①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式即可求出结果；②由两角和的正弦公式，可推出，充分性：找出时，满足的条件，可得证；必要性：当时，,带入的解析式中，即可知.【详解】（1）,因为，所以最大值为.（2）所以所以（3）设，①设，根据定义得出，其中，由知.②充分性：，等号成立当且仅当存在使得，其中，所以，，即得.必要性：当时，，，当且仅当时，取得最大值.13．（1），；（2）0.【分析】（1）利用数量积的坐标运算及两角差的余弦求；由向量的坐标加法运算得的坐标，再由向量模的运算公式求的值；（2）把（1）中求得的结论代入，整理后利用换元法及配方法求的最大值．【详解】（1），，，，；又，，，，，；（2），令，则，，则，则当时，．14．（1）；（答案不唯一）（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）求出，设与垂直的非零向量为，从而可出的关系式，根据关系式即可写出答案；（2）求出，，根据即可得出答案；（3）根据向量在向量上投影的数量为计算即可得解；（4）利用向量坐标的线性运算求得，再根据列出方程，即可得解；（5）求出，根据公式即可得解.【详解】解：（1）因为A(3，4)，B（0，0），所以，设与垂直的非零向量为，则，可取，所以与垂直的非零向量为；（答案不唯一）（2）因为A(3，4)，B（0，0），C(16，0)，则，，所以；（3）向量在向量上投影的数量为；（4），，因为，所以，解得；（5），所以15．（1）2；（2）.【分析】（1）根据向量的加法运算求出，根据利用坐标即可计算出向量的模长；（2）利用向量的夹角公式即可求出结果.【详解】（1）因为向量，，所以；.（2）因为，所以，所以向量与的夹角为.16．（1）13；（2）.【分析】（1）根据求出x，然后求出，进而求出的最小值；（2）通过求出y，，然后根据向量夹角公式求得答案