2.2有理数的乘法与除法 解析版

.2有理数的乘法与除法【考点归纳】【知识梳理】知识点一：.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.知识点二.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。技巧归纳：①0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。知识点三.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac知识点四：有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0知识点五：有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。【题型归纳】题型一：倒数【例1】．（2024·江苏扬州·三模）2024的倒数是（）A． B． C．2024 D．【答案】A【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解．本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数定义是关键．【详解】解：∵．∴2024的倒数是．故选：A．【跟踪训练1】．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）的倒数是（

）A． B． C．2025 D．【答案】B【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可．【详解】解：的倒数是．故选：B【跟踪训练2】．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）在数轴上，点A对应的数是．将点A到原点的距离记为m，那么m的倒数是（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是数轴上各点到原点距离的定义，倒数的定义．根据点A对应的数是，得出点A到原点的距离为，根据倒数定义得出答案即可．【详解】解：∵点A对应的数是，∴点A到原点的距离为，∴m的倒数是．故选：C．题型二：两个有理数的乘法运算【例2】．（24-25七年级上）计算：①；(2)②；(3)③；(4)④；(5)⑤；(6)⑥．【答案】110【分析】（1）两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘．（2）两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘．（3）两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘．（4）一个数乘以0，结果为0．（5）两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘．（6）两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则.【跟踪训练1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)28(2)(3)(4)5100【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法法则和乘法交换律是解题的关键．本题需要根据有理数乘法法则进行计算．【详解】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)1(2)(3)2(4)(5)0(6)【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘，（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据有理数的乘法法则求解即可．【详解】（1）解∶原式；（2）解∶原式；（3）解∶原式；（4）解∶原式；（5）解∶原式；（6）解∶原式．题型三：多个有理数的乘法运算【例3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)20(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法法则，以及乘法交换律、结合律、分配律在有理数乘法运算中的应用，利用这些运算律可简化计算是解题的关键．（1）本题考查多个有理数的乘法运算，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再结合乘法结合律简化计算；（2）本题可利用乘法交换律和结合律，将能凑整的数结合在一起，简化多个有理数的乘法运算；（3）本题适合运用乘法分配律，把括号外的数分别与括号内的每一项相乘，再进行计算；（4）本题需要先将带分数变形为一个整数与一个分数的差，然后利用乘法分配律进行简便计算．【详解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)26(2)(3)【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，乘法运算律，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则．（1）先确定积的符号，再利用乘法运算法则进行计算即可；（2）先确定积的符号，再利用乘法运算法则进行计算即可；（3）利用乘法对加法的分配律进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则.（1）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算.（2）先将绝对值求出并将带分数化成假分数后进行运算.（3）先将绝对值求出并将小数化成分数，带分数化成假分数后进行运算.（4）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算.【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式（4）解：原式题型四：有理数乘法运算律【例4】．（23-24七年级上·广东深圳）怎样算简便就怎样算（写出主要过程）(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查有理数的混合运算，（1）利用乘法分配律将原式化为，然后计算括号内的加法，再进行乘法即可；（2）利用乘法分配律将原式转化为，然后计算乘法，再进行加减运算；（3）利用交换律和结合律将原式化为，然后计算括号内的加法，最后进行加法运算；（4）先将带分数化为假分数，然后进行乘法运算，再进行加法运算即可；掌握相应的运算法则、运算律及运算顺序是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数乘法的简便运算．（1）先分别计算和，再计算乘法即可；（2）根据乘法分配律计算即可；（3）先将化为，再根据乘法分配律计算即可；（4）根据乘法分配律计算即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）解：；（4）解：．【跟踪训练2】．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．逆用乘法分配律我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算：，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多．根据以上信息，解答下列问题．(1)计算：．(2)计算：．【答案】(1)2025(2)【分析】本题主要查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．（1）逆用乘法分配律进行计算即可；（2）逆用乘法分配律进行计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．题型五：有理数的除法运算【例5】．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）把除法变成乘法，再计算乘法即可；（2）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可；（3）根据除法计算法则求解即可；（4）先将除法化为乘法，再计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【跟踪训练1】．（22-23七年级上·全国·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)5(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用有理数除法运算法则计算；（2）利用有理数除法运算法则计算；（3）利用有理数乘除混合运算法则计算；（4）利用有理数除法运算法则计算．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键．利用有理数的除法法则计算各题即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．题型六：有理数的乘除法实际应用【例6】．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）[情境题生活应用]随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天(1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？(2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米．(3)若行驶需用汽油，请估计小明家一个月（按30天计算）共用多少升汽油？【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米(2)这七天中平均每天行驶千米(3)小明家一个月共用升汽油【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键．（1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的；（2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得；（3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，即得小明家一个月用的汽油．【详解】（1）解：，答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米．（2）解：则答：这七天中平均每天行驶千米，（3）解：（升），答：小明家一个月共用升汽油．【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南·开学考试）典典给外省的朋友邮寄了一封信函，邮寄费是14元，这封信函最重是多少克？最轻是多少克？业务种类计费单位资费标准/元本省资费外省资费信函首重及以内，每加收（不足按计算）续重～，每加收（不足按计算）【答案】这封信函最重是，最轻是【分析】本题考查了分段收费问题，解题关键是理解题目意思，正确列出算式，本题根据题意先求出续重的最大重量，即可完成最重多少克与最轻多少克的求解．【详解】解：首重的费用为（元），则续重费用为（元），续重的计费单位数为（个）；因此，信函总重量在以上，且不超过．所以这封信函最重是，最轻是．【跟踪训练2】．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）某养殖厂饲养一种特色山鸡，经过一个月的饲养，该厂技术人员随机抽测只山鸡的重量，考查这批山鸡的成长情况，记录数据如下（单位：）：序号称重序号称重(1)若这种山鸡经过一个月的成长，体重在之间表示达标，则抽查的这只山鸡中，达标率是多少？(2)运用正负数的知识，通过计算说明抽查的这只山鸡的总重量是超过还是不足标准重量（标准重量按每只计算），超过或不足标准重量多少克．【答案】(1)(2)不足标准重量，不足标准重量克【分析】（）用达标的数量除以即可求解；（）以为标准重量，超过部分用正数表示，不足部分用负数表示，求出个数的和即可判断求解；本题考查了有理数除法的应用，正负数的意义，有理数加法的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键．【详解】（1）解：由数据可知，抽查的这只山鸡中，有只山鸡的重量不达标，∴达标率是；（2）解：以为标准重量，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，则这只山鸡的重量记为（单位：）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∵，∴抽查的这只山鸡的总重量不足标准重量，不足标准重量克．题型七：有理数的乘除法的混合计算【例7】．（23-24七年级上·湖北黄石）脱式计算．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1) (2) (3) (4)【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题目选择正确的方法求解是解题的关键．各题均需观察结构形式，寻找简便计算方法：（1）利用加减法性质重组括号；（2）分解乘除关系约分；（3）运用乘法分配律逆运算计算；（4）拆分为分数差求和．【详解】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)（简便计算）【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】本题考查的是绝对值，有理数的加减混合运算，用运算律简化运算相关知识．利用有理数的加减混合运算法则计算；利用有理数的加减混合运算法则计算；先计算乘除，然后计算加减；利用乘法分配律对该式变形，然后再计算；先将除法变为乘法，然后再计算；首先对该式变形，然后再利用乘法分配律计算．【详解】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．（5）原式．（6）原式．【跟踪训练2】．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）计算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)1(2)3(3)(4)(5)(6)【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及加减混合运算，有理数的乘法，乘法分配律，熟练掌握其运算规则及方法是解题的关键．（1）先将原式转化成，然后再相加即可求解；（2）根据乘法分配律逆运算计算即可；（3）根据乘法分配律计算即可；（4）将转化成，然后根据乘法分配律计算即可；（5）先将原式拆项成，再抵消法计算；（6）变形为，再抵消法计算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；（5）解：原式；（6）解：原式．题型八：有理数乘除的简便运算【例8】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）请你仔细阅读下列材料并计算：解法：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：故再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：.【答案】【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案.【详解】解：原式的倒数为：，∴．故答案为.【跟踪训练1】．（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）怎样简便就怎样计算．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键．（1）先计算括号里的乘法和减法，再计算括号外的除法；（2）能凑整的先运算，然后再进行加减计算即可；（3）用乘法分配律的逆运算简便计算；（4）先将除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算；【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·重庆·开学考试）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)2(2)(3)0(4)10【分析】该题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先将原式化为，再计算即可．（2）根据有理数加减法简便运算法则计算即可．（3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律逆运用即可解答．（4）先将除法转化为乘法，百分数和小数转化为分数，再根据有理数混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【高分演练】一、单选题1．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）的倒数是（

）A． B． C． D．以上都不是【答案】A【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．根据倒数的定义作答即可．【详解】解：的倒数是，故选：A．2．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了有理数的计算，根据有理数的加、减、乘、除法则逐项计算即可判断．【详解】解：A．，故不正确；B．，故不正确；C．，故不正确；D．，正确；故选：D．3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）五个数相乘的积为负数，则这五个数中负因数有（）A．1个 B．1个或3个 C．5个 D．1个或3个或5个【答案】D【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．根据有理数的乘法法则解答即可．【详解】解：五个有理数的积为负数，这五个有理数中有奇数个负因数，即1个或3个或5个，故选：D．4．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列计算：①；②；③；④．其中正确的是（

）A．②③ B．①③④ C．①④ D．②④【答案】C【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的加、减、乘、除运算法则逐个算式分析即可．【详解】解：①，故正确；②，故不正确；③，故不正确；④，故正确．故选C．5．（25-26七年级上·广东阳江·阶段练习）如图，两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则进行判断即可．【详解】解：由数轴可知，，∴，∴四个选项中，只有C选项中的式子正确，符合题意，故选：C．6．（2025·四川广元·模拟预测）下列式子中的计算结果与相等的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，准确计算是解题的前提．对已知乘法算式进行变形，把带分数写成整数加真分数的形式，即可得到结果．【详解】；故选．7．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）计算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数的运算，先观察整理得，，故原式，再进行计算，即可作答．【详解】解：依题意，，则，故选：C．8．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）游泳馆收取门票，一次30元，现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元：B卡收费200元，办理后每次门票20元；C卡收费400元，办理后每次门票15元．某人一年游泳次数45~55次，他选择下列（

）方案最合算．A．不办理会员年卡 B．办理A卡 C．办理B卡 D．办理C卡【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，根据题意分别对三种情况进行计算是解题的关键．需分别计算办理会员年卡的费用，然后比较各种方案的费用，选择最低方案即可．【详解】不办卡：（元），（元），卡：（元），（元）；卡：（元），（元）；卡：（元），（元）；他选择办理卡方案最划算．故选：．9．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）定义一种新运算：，如，则的值为（

）A． B． C．11 D．29【答案】A【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：A．10．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的大小比较，倒数等知识，设，则根据倒数的定义可得出，，，，进而可得答案．【详解】解：设，∴，，，，∴，，，，∴．故选：C．二、填空题11．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若与互为倒数，则．【答案】【分析】本题考查了倒数的性质，由题意得，即可求解；【详解】解：由题意得：，解得：故答案为：12．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克()元，芒果每千克()元．【答案】【分析】本题考查了有理数的应用，由千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，可得葡萄每千克（元），从而可求芒果每千克得价钱，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：因为千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，所以葡萄每千克（元），所以芒果每千克（元），故答案为：，．13．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）定义一种新运算“#”，，如，那么．【答案】【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了阅读理解能力．根据新定义先运算，再运算即可．【详解】解：根据题中新定义可得，则，故答案为：．14．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）我们规定有理数和两数中较小的数用符号来表示，较大的数用符号表示．则：（1）．（2）．【答案】【分析】本题考查了新定义，有理数比较大小，有理数的乘除运算，理解新定义，根据新定义得出正确的式子并计算是解题的关键．（1）根据新定义及有理数比较大小的方法得出算式并计算即可；（2）先根据新定义及有理数比较大小的方法得出，，再根据新定义、有理数比较大小的方法及有理数的乘法运算法则计算即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2）．15．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）计算下面共1926个式子的乘积：．【答案】【分析】本题考查多个有理数的乘法计算，将原式变形为，根据共有1926个式子，可得原式等于，化简即可．【详解】解：原式，故答案为：．16．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（填写序号）．【答案】①②③④【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减，乘除运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各式子与0的大小即可．【详解】解：观察数轴得：，∴，故①正确；∴，故②正确；∴，∴，故③正确；则，故④正确．故答案为：①②③④三、解答题17．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查有理数的混合运算．（1）根据加减运算法则，进行计算即可；（2）利用加法交换律和结合律，进行简算即可；（3）利用乘法分配律进行计算即可．（4）利用乘法分配律进行计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．18．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了有理数的混合运算．（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）根据乘法分配律计算即可；（3）先将小数