21.2 解一元二次方程【九大考点+九大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版） 解析版

⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．【题型探究】题型一：直接开平方法解一元二次方程【例1】．（25-26九年级上·全国）用直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)， (2)，【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．（1）直接利用开平方解方程得出答案；（2）方程两边同时开平方，进而得出答案．【详解】（1），则，解得：，；（2）．，解得：，．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答．（2）先移项，再直接开平方，即可作答．【详解】（1）解：∵，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴，∴；解得【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：(1)(2)．【答案】(1)4，(2)4，【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答．（2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答．【详解】（1）解：∵，∴两边同时除以2，得，则，∴或，解得4，．（2）解：∵，∴，∴，∴，解得4，题型二、配方法解一元二次方程【例2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．（1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；（3）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；（4）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．【详解】（1）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，；（2）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，；（3）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，；（4）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键：（1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可；（2）先把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可；（3）将等式左边的式子展开，移项，合并同类项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可；（4）先把二次项的系数化为1，再把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可．【详解】（1）解：，，，；∴；（2），，，，∴，∴；（3），，，，，，∴；（4），，，，，，∴．【跟踪训练2】．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．（3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】（1）解：方程变形得：，配方得：，即，开方得：，，；（2）解：方程变形得：，配方得：，即，开方得：，解得：；，；（3）解：整理得：，配方得：，即，开方得：，，．题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况【例3】．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了根的判别式．根据方程的系数与根的判别式，得到，再由根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程．(1)求证：方程必有两个不等实数根；(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．【答案】(1)方程必有两个不等实数根；(2)m的值为1，这两个有理数根为和．【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程．（1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根；（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．【详解】（1）证明：．∵，∴，即，∴方程必有两个不等实数根；（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，∴，∴原方程为，且，∴此时原方程的解为，∴m的值为1，这两个有理数根为和．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程，有两个不相等的实数根：(1)求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为2，求k的值．【答案】(1)(2)3【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键：（1）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解不等式得出即可；（2）将代入，进而求出k的值，进而得出方程的解．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：；（2）解：∵方程的一个根是2，∴代入方程得：即，解得：或，∵，∴．题型四、根据一元二次方程根的情况求参数【例4】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围．【详解】解：依题意列得，解得且．故选：C．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可．【详解】解：根据题意得，当时，，解得，且；当时，原方程为一元一次方程，解得，有实数根；综上，当时，原方程有实数根．故选：B．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（

）A． B．C．且 D．或【答案】C【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据关于x的一元二次方程有实数根，得，且，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，且，解得，∴a的取值范围是且，故选：C．题型五、公式法解一元二次方程【例5】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题．（1）把，，代入求根公式计算即可；（2）把，，代入求根公式计算即可；（3）把，，代入求根公式计算即可．【详解】（1）解：，，，，，，；（2），，，，，，；（3），，，，∴，，，．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，；(2)方程没有实数解；(3)，．【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解；（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）解：，，，，，，，；（2），方程化为一般式为，，，，，方程没有实数解；（3），方程化为一般式为，，，，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．【跟踪训练2】．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)此方程无实数根【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是先将方程化为一般形式（），计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解．（1）方程已是一般形式，直接确定、、，计算，因，代入求根公式得两个相等实数根；（2）先将方程展开整理为一般形式，确定、、，计算，代入求根公式得两个不相等实数根；（3）先将方程整理为一般形式（或化简为），确定、、，计算，判断方程无实数根．【详解】（1）解：方程为一般形式，，，，，代入求根公式：，故方程的根为：．（2）解：展开整理为一般形式：，即，，，，，代入求根公式：，故方程的根为：，．（3）解：整理为一般形式：（化简：），，，，，∵判别式小于0，∴此方程无实数根．题型六、因式分解法解一元二次方程【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）解一元二次方程：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键．（1）用因式分解法计算即可．（2）用因式分解法计算即可．【详解】（1）∵∴，∴，∴，解得．（2）∵∴，∴，解得．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解来解一元二次方程：（1）利用十字相乘法分解因式即可求解；（2）利用十字相乘法分解因式即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法；（1）根据因式分解中的提公因式法解题即可；（2）运用十字相乘法分解因式即可；【详解】（1）解：，，，∴；（2）解：，，∴，∴．题型七、换元法解一元二次方程【例7】．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值．解：设，则原方程可化为，即：解得．∵，∴上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：(1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数．(2)已知实数、满足，求的值．【答案】(1)这四个连续的正整数为，，，；(2)的值为．【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”．（1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可；（2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可．【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数，根据题意可得，∴，设，，则，解得或（舍去），∴，，∴，∴，，，答：这四个连续的正整数为，，，．（2）解：设，，则，∵，∴，∴，，∴，∴，答：的值为．【跟踪训练1】．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键．（1）根据“整体换元法”设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．（2）根据“整体换元法”设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．【详解】（1）解：设，则原方程可化为，解得．当时，；当时，，此方程无解．综上所述，原方程的解为．（2）解：设，则原方程可化为，解得．当时，；当时，．综上所述，原方程的解为．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料：解方程，解：设，则原方程化为，解得，．当时，，解得：；当时，，解得．原方程的解为：，，，．以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想．(1)请用上述方法解下列方程：；(2)已知实数，满足，求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易．（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解；（2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去．【详解】（1）解：设，则原方程可化为，分解因式可得：，解得：，，当时，可得：，解得：，当时，可得：，解得：，原方程的解为，；（2）解：，整理得：，设，则原方程化为，整理得：，分解因式可得：，解得：，，当时，，当时，(不符合题意，舍去)，．题型八：用合适的方法解一元二次方程【例8】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程：(1)（用配方法）；(2)（用公式法）；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法和配方法．（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；（2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（3）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；（4）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）解：，，，，∴，解得，；（2）解：，，∵，，，∴，∴，∴，；（3）解：，，，∴或，解得：，；（4）解：，∵，，，∴，∴，∴，；【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)，；(3)(4)【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等．（1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解；（2）方程，尝试用因式分解法求解；（3）方程，用公式法求解；（4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解．【详解】（1）解：（1），即，或，；（2）解：，，，；（3）解：，，，，；（4）解：，设，则方程变形为，，即，或，或，则或，解得．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．（1）用公式法求解；（2）用因式分解法求解；（3）先化为一般形式，再用公式法求解；（4）用换元法求解．【详解】（1）解：，去括号，得，移项，得，，，，，，即，；（2），两边同除以2，得，方程左边分解因式，得，所以或，解得，；（3），去括号，得,移项，得，合并同类项，得，，，，,所以，；（4）设，则原方程可化为，去括号，得，即，所以，所以或，解得：或，所以，，解得：，．【跟踪训练3】．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)原方程无实数根(3)；(4)【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关运算方法为解题的关键．（1）利用因式分解法求该方程的解即可；（2）利用公式法求该方程的解即可；（3）先整理方程，再利用配方法求该方程的解即可；（4）利用因式分解法求该方程的解即可．【详解】（1）解：，，或，；（2），，，原方程无实数根；（3），整理得：，，，，；（4），，，或，．题型九：解一元二次方程的综合问题【例9】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【阅读感知】我们知道，解如的方程可以通过因式分解将其转化为：，这样就可以得到：或从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为：，从而得到或，再解方程就可以得到【理解应用】（1）将因式分解得______（2）解方程：【知识拓展】（3）试求方程组的解【答案】（1）（2）（3）或【分析】本题考查解方程和方程组，熟练掌握因式分解法解方程（组），是解题的关键：（1）提公因式法进行因式分解即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用平方差公式法将进行因式分解，将方程组化为两个二元一次方程组，进行求解即可．【详解】解：（1），∴；（2），∴，∴，∴；（3）∵，∴，∴可化为：或，解得或．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若，求的值；(3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解．（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；（2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围．【详解】（1）证明：，，，，方程总有两个实数根．（2）由是方程的根，，，解得．（3），即，，方程有一个根不小于5，，．的取值范围是．【跟踪训练2】．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生）已知关于的方程．(1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值；(2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长【答案】(1)(2)等腰三角形的周长为或【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出，，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出，即可求解；（2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立．【详解】（1）解：∵，∴，，，∵，∴，∴，，∵两根异号，且正根的绝对值较大，∴，∴整数的值为；（2）解：①当为底边长时，，，此时原方程为，解得：．、、能组成三角形，三角形的周长为；②当为腰长时，将代入原方程，得：，解得：，此时原方程为，解得：．、、能组成三角形，三角形的周长为，综上所述：等腰三角形的周长为或．【高分演练】一、单选题1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（

）A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，，【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可．【详解】解：整理得，∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，．故选：C．2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答．【详解】解：依题意，，移项得，，∴，故选：B3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（）A． B． C．，且 D．，且【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：由题意得，且，解得且，故选：．4．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为，当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程．【详解】解：，在方程两边同时除以，得：，即，配方，得：，即．故选：D．5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（）A．10 B．4 C．4或 D．4或或10【答案】B【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．【详解】解：∵当时，则，当时，，∴当时，解得，不符合题意，舍去；当时，则，∴，∴，解得：，（舍去），∴，综上，，故选：B．6．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可．【详解】解：令，则方程即为方程，∵方程的解是，∴方程的解是，，∴或，解得，，，∴方程的解是，，．故选：B．7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于的方程，下列解法完全正确的是（

）甲乙丙丁两边同时除以（x-1）得到3．移项得1）=0，，或，．整理得，，，，，．整理得，配方得，，，．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解题关键是熟练掌握各方法的规则：因式分解法需保证因式分解的准确性，避免除以含未知数的式子；公式法需准确识别a、b、c的值；配方法需遵循“配方后等式两边加一次项系数一半的平方”的规则．本题需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同学的解法，判断其是否符合一元二次方程的解题规则（如因式分解时不能随意除以含未知数的式子、公式法中系数对应准确、配方法步骤正确等），从而确定完全正确的解法．【详解】解：甲的解法是“两边同时除以得到”，由于当时，，而0不能作为除数，这种操作会丢失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法错误；原方程移项应为，而非，因此乙的解法错误；原方程整理为，，，而非28；且代入求根公式后结果也不匹配，因此丙的解法错误；原方程整理得，配方得，，，，丁的解法正确。综上，只有丁的解法完全正确，故选：D．8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；②若是一元二次方程的根，则；③存在实数，使得；④若是方程的一个根，则一定有成立其中正确的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键．一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可．【详解】命题①：∵方程有两个不等实根，∴根判别式．∴原方程的判别式为，原方程必有两个不等实根．∴①正确．命题②：∵是方程的根，∴，∴．∴．∴②正确．命题③：∵，∴．∴，∵，∴，∴．存在实数m、n满足此条件（如取，）．∴③正确．命题④：∵c是方程的根，∴，∴．当时，方程成立但不一定为0．∴④错误．综上，正确的命题为①②③，故选：D．二、填空题9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围．【详解】解：当，即时，原方程为，解得：，∴符合题意；当，即时，，解得：，∴且．综上所述，m的取值范围是．故答案为：．10．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和7，第三边长是方程的根，则第三边的边长是．【答案】9【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系确定第三边的值是解题的关键，利用因式分解的方法得到，推出，，解得，，再根据三角形的三边关系得出第三边只能是9．【详解】解：，，，，解得：；，，由于三角形两边之和大于第三边，只能取．故答案为：9．11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成．【答案】【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解．【详解】解：，，，∴，∵方程可以配方成的形式，∴，，∴，∴为，∴，配方，得，即，故答案为：．12．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是．【答案】，/，【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解．【详解】解：，整理得：，方程的解是，，方程的解是，，解得：，．故答案为：，．13．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）为方程的两个根，则代数式的值为．【答案】1【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可．【详解】解：由题意知：，，∴．故答案为：．14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为．【答案】【分析】本题主要考查了正比例函数图象及性质，一元二次方程根的情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题．【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x的增大而增大，∴，∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即；∴，∵为整数，∴可取1，2，3；∴满足条件的整数的值之和为：，故答案为：6．三、解答题15．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解方程：(1)(2)；(3)(4)．【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或．【分析】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是解答的关键．（1）