湖北省孝感市2025年数学高二第一学期期末统考模拟试题含解析

湖北省孝感市2025年数学高二第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.162．如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（）A. B.2.8C. D.2.93．已知一组数据为：2，4，6，8，这4个数的方差为（）A.4 B.5C.6 D.74．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）A. B.C. D.5．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第人得钱数为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱6．双曲线：的实轴长为（）A. B.C.4 D.27．年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（）A. B.C. D.8．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.9．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是A. B.C. D.10．若方程表示双曲线，则（）A. B.C. D.11．已知，记M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则（）A. B.C. D.12．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（）A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为B.前七个矩形块中所填写的数字之和等于C.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列D.按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为_________14．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________15．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.16．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）设直线与交于两点，为何值时？18．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）已知数列的前项和满足，数列满足（1）求，的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和20．（12分）已知函数，其中常数，（1）求单调区间；（2）若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根21．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值22．（10分）“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：（1）利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；（2）把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.男女合计30合计45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635参考公式：χ2＝.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C2、C【解析】根据题意作出辅助线直接求解即可.【详解】如图所示，由题意可知，在中，取的中点，连接，所以，，又因为，所以，所以即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.故选：C3、B【解析】根据数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】由平均数的计算公式，可得，所以这4个数的方差为故选：B.4、B【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C：上一点，则有，又，所以，故选：B.5、A【解析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，设数列、、、、公差为，则，解得，故.故选：A.6、A【解析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.【详解】因为双曲线的实轴长为2a，而双曲线中，，所以其实轴长为故选：A7、C【解析】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，确定这四位数的选数的种数，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，因此，位的回文数共有个.故选：C.8、B【解析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.【详解】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.9、A【解析】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.故选A.10、C【解析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：C.11、C【解析】分别求出点M在x轴，y轴，z轴上的投影点的坐标，再借助空间两点间距离公式计算作答.【详解】设点M在x轴上的投影点，则，而x轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在y轴上的投影点，则，而y轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在z轴上的投影点，则，而z轴的方向向量，由得：，解得，则，所以.故选：C12、B【解析】根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求.【详解】设每个矩形块中的数字从大到小形成数列，则可得是首项为，公比为的等比数列，，所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为，故A错误；前七个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故C错误；按照这个规律继续下去，第个矩形块中所填数字是，故D错误.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据给定条件探求出椭圆长轴长与其焦距的关系即可计算作答.【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，即，依题意，，而直线是圆的切线，即，则有，又点在椭圆上，即，因此，，从而有，所以椭圆的离心率为.故答案为：14、；【解析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径,利用点到直线距离公式解出半径,即可得到圆的方程【详解】由题,设圆心到直线的距离为,所以,因为圆与直线相切,则,所以圆的方程为,故答案为：【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程,考查点到直线距离公式的应用15、1【解析】通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.【详解】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，从而.故答案为：116、【解析】由空间直角坐标系中点到轴的距离为计算可得【详解】解：空间直角坐标系中，点到轴的距离为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，解出可得椭圆的标准方程（2）设，，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得【详解】解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，可得椭圆的标准方程为：（2）设，，联立，化为：，恒成立，，，，，，解得．满足当时，能使【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题18、（1）；（2）【解析】（1）根据条件求出即可；（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】（1）且，，（2）19、（1），；（2）.【解析】（1）由求得的递推关系，结合可得其为等比数列，从而得通项公式，代入计算得；（2）求出，由错位相减法求和【详解】（1）由可得，，即，易知，故..（2）由（1）可知，①，②，①－②得，.【点睛】方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及错位相减法求和．数列求和的常用方法：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，谈论参数的范围，根据导数的正负，可得单调区间；（2）由已知可解得，构造函数，再根据（1）的结论，可知函数的单调性，结合零点存在定理，可证明结论.【小问1详解】定义域为，因为，若，，所以单调递减区间为，若，,当时，，当时，，所以单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】证明：若且对任意，都有，则在处取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，则单调性相同，单调递减区间为，单调递增区间为，且，，，所以在(1e2，所以在和各有且仅有一个零点，即方程有且只有两个实根21、（1）（2）【解析】【小问1详解】由,得.两边同乘,即.由,得曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入,得,设A,B对应的参数分别为则所以.由参