高中数学选修二考试卷及答案

高中数学选修二考试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知复数\(z=3+4i\)，则\(\vertz\vert\)等于（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(7\)2.曲线\(y=x^2\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.已知\(a=(1,-2,1)\)，\(b=(2,0,1)\)，则\(a\cdotb\)等于（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(3\)D.\(-1\)4.若函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，则\(f(x)\)的极小值为（）A.\(0\)B.\(-1\)C.\(-3\)D.\(1\)5.已知椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，其长轴长为（）A.\(4\)B.\(6\)C.\(8\)D.\(10\)6.已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n=2n-1\)，则\(a_{10}\)的值为（）A.\(19\)B.\(20\)C.\(21\)D.\(22\)7.抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)8.函数\(y=\sinx\)的导数\(y^\prime\)为（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)9.已知双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)，其渐近线方程为（）A.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)B.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)10.已知\(A\)，\(B\)，\(C\)三点不共线，\(O\)为平面\(ABC\)外一点，若\(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\)，则点\(P\)与\(A\)，\(B\)，\(C\)的关系是（）A.\(P\)在平面\(ABC\)内B.\(P\)在平面\(ABC\)外C.\(P\)是\(\triangleABC\)的重心D.\(P\)是\(\triangleABC\)的外心二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递增的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知向量\(a=(1,m)\)，\(b=(2,-1)\)，若\(a\perpb\)，则\(m\)的值可能为（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)3.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的性质正确的有（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.焦点坐标为\((\pmc,0)\)4.对于数列\(\{a_n\}\)，下列说法正确的是（）A.若\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)为常数），则\(\{a_n\}\)是等差数列B.若\(a_{n+1}=qa_n\)（\(q\)为常数），则\(\{a_n\}\)是等比数列C.等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）5.下列关于复数的说法正确的是（）A.复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），当\(a=0\)时，\(z\)为纯虚数B.若\(z_1,z_2\)为复数，且\(z_1^2+z_2^2=0\)，则\(z_1=z_2=0\)C.复数\(z\)的共轭复数\(\overline{z}=a-bi\)D.复数的模\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)6.曲线\(y=f(x)\)在点\((x_0,f(x_0))\)处的切线方程为\(y-y_0=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)，下列说法正确的是（）A.\(f^\prime(x_0)\)是切线的斜率B.该切线一定与曲线\(y=f(x)\)只有一个交点C.点\((x_0,f(x_0))\)在切线上D.若\(f^\prime(x_0)=0\)，则切线与\(x\)轴平行7.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，下列说法正确的是（）A.渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)B.离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2+b^2\)）C.焦点坐标为\((\pmc,0)\)D.实轴长为\(2a\)8.已知函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可导，下列说法正确的是（）A.若\(f^\prime(x)>0\)在\([a,b]\)上恒成立，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增B.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增，则\(f^\prime(x)>0\)在\([a,b]\)上恒成立C.\(f(x)\)的极值点处\(f^\prime(x)=0\)D.若\(f^\prime(x)\)在\([a,b]\)上有零点，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可能有极值9.已知\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)是抛物线\(y^2=2px(p>0)\)上的两点，下列说法正确的是（）A.若\(AB\)过焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，则\(\vertAB\vert=x_1+x_2+p\)B.若\(AB\)垂直于\(x\)轴，则\(\vertAB\vert=2p\)C.抛物线的准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)D.焦点到准线的距离为\(p\)10.已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)是空间向量，下列说法正确的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)B.\((\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\)C.\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)D.若\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)不共面，则空间任意向量\(\overrightarrow{p}\)都可表示为\(\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}\)（\(x,y,z\inR\)）三、判断题（每题2分，共20分）1.若函数\(f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x=x_0\)处一定连续。（）2.复数\(z=1+i\)的模为\(\sqrt{2}\)。（）3.椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的离心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。（）4.数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n\)，则\(\{a_n\}\)是等比数列。（）5.曲线\(y=x^3\)在点\((0,0)\)处的切线方程是\(y=0\)。（）6.双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的实轴长为\(6\)。（）7.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,-4)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线。（）8.函数\(y=\cosx\)的导数是\(y^\prime=\sinx\)。（）9.抛物线\(y^2=-4x\)的焦点坐标是\((-1,0)\)。（）10.若\(a,b\)为异面直线，\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)分别是直线\(a,b\)的方向向量，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\neq0\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的单调区间。答：对\(f(x)\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此为单调递增区间；令\(f^\prime(x)<0\)，解得\(0<x<2\)，此为单调递减区间。2.已知椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求其焦点坐标和离心率。答：\(a^2=25\)，\(a=5\)；\(b^2=16\)，则\(c=\sqrt{a^2-b^2}=3\)。焦点坐标为\((\pm3,0)\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。3.已知复数\(z=2-3i\)，求\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)以及\(\vertz\vert\)。答：共轭复数\(\overline{z}=2+3i\)，\(\vertz\vert=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\)。4.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2+n\)，求\(a_n\)。答：当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=1^2+1=2\)；当\(n\geq2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n\)。\(n=1\)时也满足，所以\(a_n=2n\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(f(x)=x^2+\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的单调性与极值情况。答：求导得\(f^\prime(x)=2x-\frac{1}{x^2}=\frac{2x^3-1}{x^2}\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)。在\((0,\frac{1}{\sqrt[3]{2}})\)上\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)递减；在\((\frac{1}{\sqrt[3]{2}},+\infty)\)上\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)递增。\(x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)时取极小值\(f(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)。2.椭圆和双曲线在定义、性质上有哪些异同点？答：相同点：都与平面内到两个定点距离有关。不同点：定义上，椭圆是距离之和为定值，双曲线是距离之差的绝对值为定值；性质上，椭圆离心率\(0<e<1\)，双曲线\(e>1\)。椭圆有\(a^2=b^2+c^2