北师版数学高二-《排列(二)》 同步教学设计 北师大

1.2排列

（第一课时）

教学目标：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导

教学重点：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导

教学过程

一、复习引入：

1、分类计数原理：口）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有

m种方法可以完成，由第2种途径有0种方法可以完成，……由第k种途径有必种方法

可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……和不同的方法。

2,乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完

成第2步有m种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作

共有mXnzX……Xnk种不同方法

二、讲解新课：

1.排列的概念：

从〃个不同元素中，任取〃2（加工〃）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一•定•

的•顺•序•排成一列，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的一•个•排•列•

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2.排列数的定义：

从〃个不同元素中，任取〃？（m<n）个元素的所有排列的个数叫做从〃个元素中取

出〃?元素的排列数，用符号表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从〃个不同元素中，任取帆个元素

按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素中，任取〃？（加工〃）

个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号A；：只表示排列数，而不表示具体的排列

3.排列数公式及其推导：

求以按依次填机个空位来考虑A；=-1）（〃-2）…（〃-〃z+1）,

排列数公式：第।位第2位第3位ggm位

nn-1n-2

图10-5

A：=/?(77-1)(7?-2)•••(«-???+1)=—————(m,nsN.jn<n)

(/?-/«)!

说明：（1）公式特征：第一个因数是〃，后面每一个因数比它前面一个

少1,最后一个因数是2+1,共有个因数；

（2）全排列：当〃=加时即〃个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：A；；=/I(/?-1)(H-2)...21=H!(叫做n的阶乘)

4.例子：

例1.计算：(1)A1；(2)A；；(3)4.

解：(1)=16x15x14=3360；

(2)A：=6!=720；

(3)A；=6x5x4x3=360

例2.(1)若A；=17xl6xl5x…x5x4,则〃=,m=.

(2)若〃eM则(55-n)(56一〃)…(68-九)(69-n)用排列数符号表示—.

解：(1)〃=17,m=14.

(2)若N,则(55—九)(56—〃)…(68—〃)(69—〃)=4'.

例3.(1)从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少

个？

(2)5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

(3)某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比

赛1次，共进行多少场比赛？

解：(1)&=5x4=20；

(2)A1=5x4x3x2x1=120；

(3)4=14x13=182

课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导

课堂练习：

课后作业：

1.2.1排列

(第二课时)

教学目标：

掌握解排列问题的常用方法

教学重点：

掌握解排列问题的常用方法

教学过程

一、复习引入：

1.排列的概念：

从〃个不同元素中，任取〃？（机个元素（这里的被取元素各不相同）按照二房

的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的二个俳到

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2.排列数的定义：

从〃个不同元素中，任取〃？（//?</:）个元素的所有排列的个数叫做从〃个元素中取

出m元素的排列数，用符号A：表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从〃个不同元素中，任取机个元素

按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素中，任取〃7（/??</?）

个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号A：只表示排列数，而不表示具体的排列

3.排列数公式及其推导：

A：二一1）（〃一2）…（〃一[〃+1）（m,neN*,m<n）

全排列数：4；=〃（〃一1）（〃一2）・一2-1=〃！（叫做n的阶乘）

二、讲解新课：

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑

先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法.当问题的反面简单明

了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分

离”问题可能用“插空法”等.

解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”.

互斥分类一一分类法

先后有序一一位置法

反面明了一一排除法

相邻排列一一捆绑法

分离排列一一插空法

例1求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻；

（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；

（3）4男4女排成一排，同性者相邻；

（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻.

例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？

分析符合条件的奇数有两类.•类是以1、9为尾数的，共有PJ种选法，首数可从3、4、

5、6、7中任取一个，有F/种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有PJ种选法,

根据乘法原理知共有P2P5IV个：一类是以3、5、7为尾数的共有PJPJV个.

解符合条件的奇数共有PJPJP/+PJP/P/=1232个.

答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个.

例3某小组6个人排队照相留念.

（1）若分成两排照相，前挂2人，后排4人，有多少种不同的排法？

（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少

种排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分析(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3〜6个位子看成是第二排

而己，所以实际上是6个元素的全排列问题.

(2)先确定甲的排法，有PJ种；再确定乙的排法，有P；种;最后确定其他人的排法,有PJ

种.因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P』・PJ・P；种不同排法.

(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P』种不同排法.然后甲、乙两

人之间再排队，有干种排法.因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有FV-Pj种排法.

(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P：种排法.

(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如—女

—女—女―，再把3个男生放到这4个位子上,就保证任何两个男生都不会相邻了.这

样男生有P「种排法，女生有种排法.因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有

种排法.

(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P5,种排法；一类是乙不

站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有四种排法,

排尾从除乙以外的4人中选一人有PJ种排法，中间4个位置.无限制有PJ种排法，因为是分

步问题，应用乘法原理，所以共有PJPJP；种排法.

解(l)P