课堂教学设计3-1 导数及其应用

课堂教学设计教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元3导数及其应用(3-1)知识目标掌握导数的定义、左、右导数的概念、导数几何意义；理解函数的可导性与连续性之间的关系技能目标会求曲线的切线方程态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点导数的定义；左、右导数的概念；函数的可导性与连续性之间的关系教学难点导数的定义；计算分段函数导数教学资源参考书作业【同步训练】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入明确教学目标、教学重点难点，熟悉教学方法讲授法5’引例探析【引例3-1】求变速直线运动的瞬时速度【引例3-2】求电路中的电流强度【引例3-3】求平面曲线的切线斜率讨论式教学法20’概念认知1．导数的概念2．导数的几何意义3．导数可导性与连续性的关系启发式教学法50’同步训练【同步训练-】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿单元3导数及其应用(3-1)【引例探析】【引例3-1】求变速直线运动的瞬时速度【问题描述】设一物体做变速直线运动，其运动方程为(表示时刻)，又设当为时刻时，位置在处，求物体在时刻的瞬时速度．【问题求解】当物体做匀速直线运动时，；而物体做变速直线运动时，它在不同时刻的速度是不同的，物理学中把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，而上式中的速度只能反映物体在某时段内的平均速度．我们假定这个物体沿数轴的正方向前进，如图3-1所示。设当时，物体的位置为，当时，物体的位置为，物体在的时间间隔内，所经过的路程是在这段时间内物体运动的平均速度为若存在，则此极限值即为物体在时刻的瞬时速度，即．就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量与时间的增量之比，当时间的增量趋于零时的极限．【引例3-2】求电路中的电流强度【问题描述】带电粒子（电子、离子等）的有序运动形成电流，通过某处的电荷量与所需时间之比称为电流强度，简称为电流，如果在电路闭合后的一段时间t（秒）内，流过导线横截面的电荷量为Q（库伦），求时刻的电流强度．【问题求解】电路中流过导线横截面的电荷量随时间t而定，是t的函数，即Q=Q(t)．所以从时刻至的一段时间内，流过导线横截面的电荷量为：．如果是恒定电流（直流），就是单位时间内流过导线横截面的电荷量，称为电流强度．如果电流不是恒定的，那么称为在这段时间内的平均电流强度，记为，即当→0时，的极限称为时刻时的电流强度，记为，即也就是说，电路中的电流强度是电荷量函数的增量与时间的增量之比，当时间的增量趋于零时的极限．【引例3-3】求平面曲线的切线斜率【问题描述】设曲线所对应的函数为，求曲线在处的切线的斜率．【问题求解】各种平面曲线的切线的严格定义为：设、是曲线上的两点，过这两点作割线，当点沿曲线无限接近于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置时，则称直线为曲线在点处的切线，如图3-2所示．根据图3-2可知，曲线的割线的斜率为为割线的倾斜角．当点沿曲线趋近于点时，，此时，．如果当时，割线的斜率的极限存在，则曲线在点处的切线斜为【概念认知】1．导数的概念（1）函数在点处的导数【定义3.1】：函数在点处的导数设函数在点的某一邻域U（,）(>0)内有定义，且当自变量在处有增量（仍在该邻域中）时，相应地函数也取得增量，即，如果与之比当0时的极限==存在，那么称此极限值为函数在点处的导数，并且说，函数在点处可导，记为、、或即===这时也称函数在点处可导，有时也说成在点处具有导数或导数存在．若极限不存在，则称函数在点处不可导．若，也可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线．有了导数的概念，前面讨论的三个引例可以叙述为:①变速直线运动的速度是路程在点时刻的导数，即．②电路中的电流强度是电荷量Q=Q(t)在点时刻的导数，即=．③曲线在处的切线的斜率等于函数在点处的导数，即．（2）函数在点处的左导数与右导数若x从的左侧趋于时，极限存在，就称其值为在点的左导数，并记为，即=．若x从的右侧趋于x0时，极限存在，就称其值为在点的右导数，并记为，即．函数在一点处的左导数、右导数与函数在该点处的导数间有如下关系：【定理3.1】：函数在点可导的充分必要条件函数在点的左导数和右导数均存在，且相等，即．【示例3.1】讨论在处的导数．解：，，，，因为的左导数为-1，右导数为1，所以在点不可导．（3）导函数的定义【定义3.2】：导函数如果函数在开区间内的每一点都可导，就称函数y=在开区间内可导．这时，函数对于开区间内的每一个确定的的值，都对应着一个确定的导数，这就构成了一个新的函数，这个函数叫做的导函数，记作、、或，即=．2．导数的几何意义（1）切线的斜率函数在点的导数在几何上表示该曲线在点点处的切线斜率，即，或，式中为切线的倾斜角．（2）切线方程曲线在点处的切线方程为．（3）法线方程过切点，且与点切线垂直的直线称为在点的法线．如果，法线的斜率为，此时，法线的方程为：．【特殊情况】：①若，或，则切线方程为：，法线方程为②若，或π，则切线方程为：，法线方程为【示例3.3】：求曲线在点（2，4）处的切线方程和法线方程．解：由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即．所求法线的斜率为，法线方程为，即．3．函数可导性与连续性的关系【定理3.2】：函数可导性与连续性的关系如果函数在点处可导，则函数在点处必连续．证：因为函数在点可导，即