浙江省舟山市南海实验高中2025~2026学年高二上册第1次月考数学试卷（含答案）

浙江省舟山市南海实验高中2025-2026学年高二上学期第1次月考数学试题考生须知：1、本试题卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟。2、答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上3、答题时,请接照答題紙上“注意事项”的要求,在答題紙相应的位置上規范作答,在本试题卷上的作答一律无效4、非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求。1.若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．53.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4.圆与圆的公切线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5.直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．6.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7.已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（

）A．4 B．6 C．9 D．128.如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（

） B． C． D．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．四边形的面积为 D．四边形的周长为10.设是一个随机试验的两个事件，则（

）A．若对立，则一定互斥B．若，则C．若，则相互独立D．若，则一定对立11.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（

）A．B．三棱锥的体积不变C．的最小值为D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为．13.已知非零向量，满足，则与的夹角为14.已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）已知∆ABC的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为.(1)求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知圆，直线过点(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.18．（本小题满分17分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由.19．（本小题满分17分）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”(1)求点P所在曲线的方程.(2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.（ⅰ）求直线的方程.（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由。南海实验高中2025学年第一学期第1次月考高二数学参考答案题号12345678910答案DCBBCBBCBCAC题号11121314答案ABD15．【详解】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为，又，所以直线的方程为，即.（2）由点在轴上，设，则线段的中点，由点在直线上，得，得，即，又点在直线上，因此，解得16、【详解】（1）因为，，所以，.又，，所以.所以.所以.因为，即，所以为直角三角形，且.又平面，平面，所以.平面，，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，.所以即为二面角的平面角.在中，，，，所以，所以.即二面角的正弦值为.【详解】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径，故直线为圆的切线；若直线的斜率存在，设切线方程为，则，故，此时切线方程为，综上，切线的方程为或.（2）设点则，由点是的中点得，所以①，因为在圆上运动，所以②，①代入②得

化简得点的轨迹方程是.18．【详解】（1）分别为中点，，且，又为中点，且，易得，连接，交于点，连接，由题设，易知四边形为平行四边形，为中点，是的中点，为中点，，又平面，平面，平面；（2），，，又平面，平面，即为二面角的平面角，；取中点，连接，如图，，，，，，，，，又平面，，平面，平面，，则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则，，，，设，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，直线与平面所成的角为，，解得或，存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为；设平面的法向量，又，，，令，则，，；当时，，；当时，，；综上所述：二面角的余弦值为.19．(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）存在，【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P所在曲线的方程为（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，则P是圆和的交点.因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，故直线的