第四章整式的加减单元复习（全章知识点总结15种题型举一反三）数学七年级上册专题复习（新教材人教版）（原卷版）

第四章整式的加减全章复习第1部分全章知识点、重难点与易错点总结一、核心知识点梳理（一）整式的相关概念1.单项式 定义：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式（如5、a）。 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号，如−3xy2的系数是5；πr2的系数是 次数：单项式中所有字母指数的和（如4x2y3的次数是2.多项式 定义：几个单项式的和（如2x 项：组成多项式的每个单项式（包含前面的符号，如x2−5x+3的项是x2、−5x 常数项：多项式中不含字母的项（如2a+b−7的常数项是−7）。 次数：多项式中次数最高项的次数（如3x2y−xy33.整式 定义：单项式和多项式统称为整式（分母中含字母的式子不是整式，如1x、a+b（二）同类项与合并同类项1.同类项 定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项，如5和−8）。 特征：“两相同，两无关”——字母相同、相同字母指数相同；与系数无关、与字母排列顺序无关（如2ab2和2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项。 法则：系数相加，字母及字母的指数保持不变（如3x（三）去括号与添括号1.去括号法则 括号前是“+”：去掉括号和“+”，括号内各项符号不变（如a+(b−c)=a+b−c）。 括号前是“−”：去掉括号和“−”，括号内各项符号都变（如a−(b−c)=a−b+c）。2.添括号法则 括号前加“+”：括号内各项符号不变（如a+b−c=a+(b−c)）。 括号前加“−”：括号内各项符号都变（如a−b+c=a−(b−c)）。（四）整式的加减运算1.核心实质：去括号和合并同类项的综合运用。2.步骤： ①用括号括起每个整式，用“+”“−”连接； ②去括号（按去括号法则）； ③合并同类项（直到无同类项）。（五）整式的化简求值1.步骤：先化简（去括号、合并同类项），再代入求值（代入数值时注意符号）。2.整体思想：将含字母的式子视为一个整体代入（如已知x−2y=3，求2(x−2y)+5，直接代入2×3+5=11）。（六）整式加减的实际应用与规律探究1.实际应用：用整式表示几何图形的边长、面积、周长，或经济问题中的费用、利润等，再通过整式加减计算。2.规律探究： 数字类：分析单项式系数、指数的变化规律（如−2x、4x2、−8x3…系数为 图形类：统计图形中元素（如小正方形、圆）的数量变化，用含n的整式表示第n个图形的数量。二、重难点突破（一）重点突破1.同类项的判断与合并 判断关键：严格核对“字母相同”和“相同字母指数相同”，避免忽略指数（如3x2y 合并技巧：先标记同类项，再按“系数相加，字母不变”计算，常数项单独合并。2.去括号法则的应用 多重括号：从内到外或从外到内去括号，每步只处理一层括号，避免漏变号（如a−[b−(c−d)]=a−b+c−d）。 括号前有系数：先将系数乘括号内每一项，再去括号（如2(a−3b)=2a−6b）。3.整式的化简求值 化简优先：必须先去括号、合并同类项，再代入数值，避免直接代入导致计算复杂（如化简3(x2−2xy)−2(xy−x2(二)难点突破1.多项式系数与指数中字母的求值 关键：根据“多项式的次数”“项数”列方程，注意“最高次项系数不为0”(如多项式(m−2)x3+x22.整式加减中“不含某项”“与某项无关”问题 核心：合并同类项后，令“不含的项”或“无关字母的项”的系数为0(如2x2+(a−1)x+3不含x项，则a−1=03.规律探究题 方法：列出前3-5项的具体形式，分析系数(符号、绝对值)、字母指数、图形数量的变化规律，用含n的整式表示，再验证规律是否成立。三、高频易错点警示1.单项式系数与次数判断错误 易错点：忽略系数符号(如−5x2的系数是−5不是5)；混淆π的属性(π是常数，不是字母，如πr2的次数是2)；漏算字母指数(如x2 避免方法：系数包含符号，π视为常数，次数是所有字母指数和。2.多项式次数与项的判断错误 易错点：误将所有项的次数相加(如x2y+xy2的次数是3不是2+2=4)；忽略项的符号(如x2−3x+2的项是x2、−3x、2 避免方法：多项式次数是“最高次项的次数”，项包含前面的符号。3.去括号时符号处理错误 易错点：括号前是“−”，只变第一项符号(如−(a−b+c)=−a+b−c，不是−a−b+c)；漏乘系数(如2(x−3y)=2x−6y，不是2x−3y)。 避免方法：括号前是“−”，括号内每一项都变号；系数乘括号内所有项。4.同类项判断错误 易错点：只看字母不看指数(如2x2和3x3不是同类项)；看字母排列顺序(如 避免方法：严格按“字母相同、相同字母指数相同”判断，与顺序、系数无关。5.化简求值时未先化简 易错点：直接代入数值计算，导致步骤繁琐且易出错(如求2(x2−xy)−3(xy−x2)在 避免方法：必须先去括号、合并同类项，再代入求值。第2部分常考题型分析及题型举一反三【题型1】单项式的识别与系数、次数计算1.核心知识点总结 单项式定义：数或字母的积，单独的数/字母也是单项式； 系数：数字因数(含符号，π是常数)； 次数：所有字母指数的和(非零常数次数为0)。2.高频考点梳理 识别单项式(区分整式与非整式，如1x 计算单项式的系数和次数(如求−23.易错点警示 忽略系数符号(如−4a3的系数是−4不是 误将π视为字母(如πr2的次数是2不是4.解题技巧拆解 识别：看式子是否含加减运算、分母是否含字母，不含则可能是单项式； 计算：系数直接找数字部分(含符号)，次数相加所有字母指数。【例题1】．（2024-2025•青浦区二模）代数式4ab2的次数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式题1-1】．（2024-2025•宜兴市期末）下列关于单项式−5xA．系数是−52，次数是4 B．系数是−C．系数是﹣5，次数是4 D．系数是﹣5，次数是3【变式题1-2】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）体育课上我们经常练习垫排球，只要测量出排球的半径r，就可以根据公式4πr33A．43，4 B．4π3，4 C．4π【变式题1-3】．（2024-2025•淮滨县期末）写出一个含有字母a、b，系数为﹣1，次数为4的单项式．【题型2】多项式的识别与项、次数计算1.核心知识点总结 多项式定义：几个单项式的和； 项：含符号的单项式(常数项是不含字母的项)； 次数：最高次项的次数(多项式按“次数+项数”命名，如三次二项式)。2.高频考点梳理 识别多项式(区分单项式与多项式，如x2 确定多项式的项、常数项、次数(如求3x3.易错点警示 漏写项的符号(如x2−5x+3的项是x2、−5x、3，不是x2、 误算多项式次数(如2x3y+xy24.解题技巧拆解 识别：式子含加减运算，且分母不含字母，则是多项式； 计算：先列出所有项(含符号)，再找次数最高的项，确定多项式次数。【例题2】．（2024-2025•浏阳市期末）下列说法中，正确的是（）A．−3πxy5的系数是B．mn2+2mn﹣1是二次三项式 C．﹣2ab2的次数是2 D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是：mn2、2mn、﹣1【变式题2-1】．（2024-2025•河口区期末）下列说法中，正确的是（）A．单项式﹣3a2bc的次数是2 B．代数式2ab﹣ab2+3c﹣1是三次四项式 C．单项式−12abc的系数是−D．﹣2不是单项式【变式题2-2】．（2025秋•南岗区校级月考）若代数式(a+2)xa2−1y【变式题2-3】．（2024-2025•新野县期末）若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为．【题型3】整式的判断1.核心知识点总结 整式定义：单项式和多项式的统称； 非整式：分母中含字母的式子(如2x、a+b2.高频考点梳理 区分整式与非整式(如判断5、x2+1、 分类整式为单项式和多项式(如将3a、2x−y、0分类)。3.易错点警示 误将分母含字母的式子归为整式(如x2是整式，2 忽略单独的数是单项式(也是整式，如0、−7)。4.解题技巧拆解 第一步：判断分母是否含字母，含则非整式； 第二步：不含字母时，看是否含加减运算，含则是多项式，不含则是单项式。【例题3】．（2024-2025•博兴县期末）在代数式1xA．3 B．4 C．5 D．6【变式题3-1】．（2024-2025•雁塔区校级期末）下列各式不是整式的是（）A．2m B．−2m C．2﹣m D．【变式题3-2】．（2024-2025•忻州期末）在代数式①x+yx；②x5+y32；③0.25m2n4；④2021；⑤A．1 B．2 C．3 D．4【变式题3-3】．（2024-2025•赛罕区校级期中）在代数式2x2y，﹣5b2，23x，0.5x2−16y2，18（m+n）2，x+33【题型4】同类项的判断1.核心知识点总结 同类项“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同； “两无关”：与系数无关、与字母排列顺序无关； 常数项都是同类项。2.高频考点梳理 直接判断同类项(如判断2ab2与−5b2a 结合同类项定义补充条件(如ax2y与33.易错点警示 只看字母不看指数(如x2y与 受字母排列顺序影响(如ab与ba是同类项)。4.解题技巧拆解 第一步：核对两个式子的字母是否完全相同； 第二步：核对相同字母的指数是否完全相同，两者都满足则是同类项。【例题4】．（2024-2025•平城区期末）下列单项式中，与ab3是同类项的是（）A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a3b【变式题4-1】．（2024-2025•东区期末）下列各组是同类项的是（）A．a3与a2 B．12a2与2C．2xy与2y D．3与a【变式题4-2】．（2024-2025•娄底校级期末）写出代数式3xy2的一个同类项：．【变式题4-2】．（2024-2025•古蔺县期末）下列各组中的两项不属于同类项的是（）A．3m2n3和﹣m2n3 B．a3和x3 C．﹣1和π D．xy5和25【题型5】合并同类项1.核心知识点总结 合并法则：系数相加，字母及字母的指数不变； 步骤：标记同类项→移同类项→合并系数→整理结果。2.高频考点梳理 直接合并同类项(如合并3x 合并含多项的同类项(如合并2xy3.易错点警示 合并时改变字母或指数(如2x+3x=5x，不是5x 漏合并同类项(如x2+2xy+y2+4.解题技巧拆解 标记：用不同符号标记不同类的同类项(如波浪线标x2项，横线标xy 合并：系数相加(注意符号)，字母和指数照抄，无同类项的项直接保留。【例题5】．（2024-2025•安溪县期末）下列合并同类项的结果正确的是（）A．2a2+3a2＝6a2 B．2a2+3a2＝5a2 C．2xy﹣xy＝1 D．2x2+3x2＝5x4【变式题5-1】．（2024-2025•梅河口市校级期中）把2x2﹣5x+x2+4x+3x2合并同类项后，所得的多项式是（）A．二次二项式 B．二次三项式 C．一次二项式 D．三次二项式【变式题5-2】．（2024-2025•皮山县月考）合并同类项：（1）2ab﹣3ab+5ab；（2）﹣3a2+2ab﹣4ab+2a2．【变式题5-3】．（2024-2025•江阳区校级月考）合并下列同类项：（1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba；（2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2．【题型6】去（添）括号运算1.核心知识点总结 括号前是“+”：去括号后各项符号不变； 括号前是“−”：去括号后各项符号都变； 括号前有系数：先乘括号内每一项，再去括号。2.高频考点梳理 直接去括号(如去括号a+(b−c)、a−(b−c))； 去多重括号(如去括号2x−[3y−(x−z)])； 括号前有系数的去括号(如去括号3(x−2y)−2(2x−y))。3.易错点警示 括号前是“−”，只变部分项符号(如−(x−y+z)=−x+y−z，不是−x−y+z)； 漏乘系数(如2(x+3y)=2x+6y，不是2x+3y)。4.解题技巧拆解 单层括号：按“正不变负变”直接去括号； 多重括号：从内到外去，每步只处理一层； 有系数：系数乘括号内所有项，再按符号规则去括号。【例题6】．（2024-2025•云梦县期末）将（5x+2）﹣2（2x﹣1）去括号正确的是（）A．5x+2﹣2x+1 B．5x+2﹣4x+1 C．5x+2﹣4x+2 D．5x+2﹣4x﹣2【变式题6-1】．（2024-2025•潍坊期末）添括号：﹣3x2+6x+2＝﹣3（）+2．【变式题6-2】．（2024-2025•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）【变式题6-3】．（2024-2025•锡林郭勒盟开学）在多项式﹣a﹣b﹣c+d+e（其中a＞b＞0＞c＞d＞e）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：﹣|a﹣b|﹣（c+d）+e＝﹣a+b﹣c﹣d+e，﹣（a﹣b﹣c）+|d+e|＝﹣a+b+c﹣d﹣e，•••．下列说法：①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等；②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【题型7】整式的加减运算1.核心知识点总结 整式加减实质：去括号+合并同类项； 步骤：括整式→去括号→合并同类项→整理最简结果。2.高频考点梳理 单项式与单项式的加减(如计算3x 单项式与多项式的加减(如计算2a−(a 多项式与多项式的加减(如计算(x3.易错点警示 去括号时符号错误(如(x2−2x)−( 合并同类项不彻底(如2x2+3x−4.解题技巧拆解 第一步：用括号括起每个整式(如A−B写成A+(−B))； 第二步：按去括号法则去括号； 第三步：合并同类项，直到无同类项，按某字母降幂/升幂排列(可选)。【例题7】．（2024-2025•商南县期末）计算：（1）﹣22+|4﹣8|+24÷（﹣3）；（2）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]．【变式题7-1】．（2025秋•江岸区校级月考）（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|；（2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值．【变式题7-2】．（2024-2025•南郑区期末）在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2，嘉淇错将“2A﹣B”看成“2A+B”，得到的结果是4a2b﹣3ab2．（1）求整式B；（2）求2A﹣B的正确结果．【变式题7-3】．（2024-2025•克州期末）阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整体思想“是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用；（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的结果．（2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值．（3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值．【题型8】利用单项式/多项式的次数与系数求值(提升)1.核心知识点总结 单项式次数：所有字母指数和，系数不为0(除非是0单项式)； 多项式次数：最高次项的次数，最高次项系数不为0； 列方程求解：根据“次数”“项数”条件列方程，求字母的值。2.高频考点梳理 单项式：已知−2xmy 多项式：已知(k−1)x3+ 综合：已知多项式x|m|+(m−2)x+1是二次三项式，求3.易错点警示 忽略“最高次项系数不为0”(如多项式是二次三项式，三次项系数必须为0)； 漏算字母指数(如xmy2是三次单项式，m+2=3，m=14.解题技巧拆解 单项式：根据“次数=字母指数和”列方程，系数若含字母，需注意系数不为0(除非题目允许0单项式)； 多项式：先确定最高次项，令“最高次项次数=指定次数”，且“最高次项系数≠0”，列方程求解。【例题8】．（2024-2025•汕头期末）已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为（）A．±2 B．﹣2 C．±3 D．3【变式题8-1】．（2024-2025•兴平市期末）若单项式xmy3与﹣4xyn+5的和仍是单项式，则m+n的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2【变式题8-2】．（2024-2025•高唐县期末）若代数式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式，单项式3x4+myn与该多项式的次数相同，则m+n的值为（）A．﹣1 B．1 C．2【变式题8-3】．（2024-2025•武城县期末）若5xn﹣（m﹣1）x+3为关于x的三次二项式，则m﹣n的值为．【题型9】整式加减中“不含某项”问题(提升)1.核心知识点总结 “不含某项”含义：合并同类项后，该项的系数为0； 步骤：去括号→合并同类项→令不含项的系数=0→求字母的值。2.高频考点梳理 不含一次项：如多项式2x2+(a−3)x+5不含x 不含二次项：如计算A−2B(A=x2+bx，B=ax2 不含多项：如多项式x3+(m−1)x3.易错点警示 合并同类项不彻底，误将非同类项当作同类项合并； 令系数为0时符号错误(如−(a+2)=0，解得a=−2，不是a=2)。4.解题技巧拆解 第一步：彻底去括号、合并同类项，整理成“按某字母降幂排列”的形式； 第二步：找到“不含的项”，令其系数等于0，列方程求解； 第三步：验证结果(代入字母值，检查该项是否确实为0)。【例题9】．（2024-2025•成都期末）已知关于x的整式A，B，其中A＝3x2+（a﹣1）x+1，B＝bx2+3x+2a﹣1．（1）当2B﹣A中不含x的二次项和一次项时，求a﹣b的值；（2）当b＝3，a为正整数时，A＝B﹣2a+8，求此时使x为正整数的a的值．【变式题9-1】．（2024-2025•荆州区期末）小明在准备化简代数式3（4x2+6xy）﹣■（x2+3xy﹣2）时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得（x2+3xy﹣2）前面的系数看不清了，于是小明就打电话询问李老师，李老师为了测试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有y．”请你通过李老师的话语，帮小明解决如下问题：（1）■的值为；（2）求出该题的标准答案．【变式题9-2】．（2024-2025•凉州区期末）已知关于x的多项式A，B，其中A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2（m，n为有理数）．（1）化简2B﹣A，当m＝1，n＝2，x＝1时，并求值；（2）若2B﹣A的结果不含x项和x2项，求m、n的值．【变式题9-3】．（2024-2025•惠城区校级开学）（1）已知A＝﹣x+2y﹣4xy，B＝﹣3x﹣y+xy．当x+y=67，xy＝﹣1时，求2A﹣3（2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）的结果中不含x2项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值．【题型10】整式加减中“与某项无关”问题(提升)1.核心知识点总结 “与某项无关”含义：合并同类项后，该字母所有项的系数和为0； 本质：与“不含某项”一致，针对“某字母的所有项”(如与x无关，即所有含x的项系数为0)。2.高频考点梳理 与字母x无关：如代数式(2−a)x2+3x+5与x 与字母x、y无关：如A−B(A=3x2+ay，B=bx2−2y)与x、3.易错点警示 漏合并某类含该字母的项(如与x无关，需令所有含x的一次项、二次项系数均为0)； 混淆“与某项无关”和“不含某项”(前者是某字母的所有项，后者是单一某一项)。4.解题技巧拆解 第一步：去括号、合并同类项，将式子整理为“含目标字母的项+不含目标字母的项”； 第二步：令“含目标字母的所有项的系数和=0”，列方程求解； 第三步：代入验证(代入字母值，检查式子是否确实与目标字母无关)。【例题10】．（2024-2025•兴化市期中）小明同学在整理错题本时发现一道题：“试说明代数式4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（）2的取值与a无关”．由于时间久远题干部分内容及答案已经缺失，请你从3个选项：①a﹣1；②a﹣2；③a﹣4中选择一项填入缺失部分，使得代数式的取值与a无关，并帮助他完成作答．（1）缺失部分为（填序号）；（2）试说明上述代数式的值与a无关．【变式题10-1】．（2024-2025•七星关区期末）根据对话内容，解决下列问题：（1）求a+b+c的值；（2）若|m﹣a|+（n+b）2＝0，比较mn与c的大小关系；（3）关于x，y的多项式A＝a2xy﹣by2+cx2，B＝axy﹣by2+c，请判断A﹣B的结果是否与y的值无关，并说明理由．【变式题1-2】．（2024-2025•莒县期末）【阅读理解】已知A＝（a﹣4）x﹣1；若A值与字母x的取值无关，则a﹣4＝0，解得a＝4．所以当a＝4时，A值与字母x的取值无关．【知识应用】已知A＝mx﹣x，B＝mx﹣3x+5m．（1）用含m，x的式子表示4A﹣B；（2）若4A﹣B的值与字母m的取值无关，则x的值为．【知识拓展】（3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，请求出此时的利润．【变式题10-3】．（2024-2025•牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数；（3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度．【题型11】整式的化简求值(含整体思想)(提升)1.核心知识点总结 化简求值步骤：先化简(去括号、合并同类项)，再代入求值； 整体思想：将含字母的式子(如x+y、x22.高频考点梳理 直接代入：如化简3(x2−xy)−2(xy−x2 整体代入：如已知a−b=5，求2(a−b)+3b−3a+1(整理为−(a−b)+1，代入5)； 条件隐含：如已知(x+1)2+|y−2|=0，求x2+2xy+3.易错点警示 未化简直接代入，计算繁琐且易出错； 整体代入时符号错误(如a−b=3，则b−a=−3，不是3)； 代入负数时未加括号(如x=−1，x2=(−1)4.解题技巧拆解 化简：彻底去括号、合并同类项，确保式子最简； 代入： ①直接代入：将字母值代入最简式，注意负数、分数加括号； ②整体代入：先将所求式子整理为含已知整体的形式，再代入整体值； 验证：计算后反向检查(如代入x=1、y=−2，先算原式，再算化简式，对比结果)。【例题11】．（2024-2025•沅江市期末）先化简，再求值：2a2b﹣[2ab2+2（a2b﹣2ab2）]，其中a=12，【变式题11-1】．（2024-2025•城关区校级期末）先化简，再求值：2（a2﹣3ab）﹣4（﹣a2+ab+b2），其中a＝2，b＝1．【变式题11-2】．（2024-2025•临邑县期末）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下：已知多项式A＝4ab﹣5+b2，B＝b2﹣ab，化简：A﹣2B．下面是这位同学的解题过程：解：A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（b2﹣ab）…第一步＝4ab﹣5+b2﹣2b2﹣2ab…第二步＝﹣b2+2ab﹣5．…第三步请回答下列问题：（1）这位同学从第步开始出现错误，错误的原因是；（2）请正确化简A﹣2B，并求当a＝3，b＝2时，A﹣2B的值．【变式题11-3】．（2024-2025•内黄县期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容．把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简：（1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）；（2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）．（1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程：（2）【简单应用】①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝；②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值；（3）【拓展提高】已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式2m【题型12】整式加减的实际应用(几何、经济)(培优)1.核心知识点总结 几何应用：用整式表示边长、周长、面积(如长方形周长2(长+宽)，圆面积πr 经济应用：用整式表示单价、数量、总价(如总价=单价×数量)，再计算费用、利润、优惠后的价格。2.高频考点梳理 几何类：如长方形长为(2x+1)，宽为(x−2)，求周长；两个长方形面积分别为3x2y 经济类：如某商品单价为a元，买n件打8折，求总价；甲、乙两种收费方案，用整式表示费用，比较优劣。3.易错点警示 几何公式记忆错误(如长方形周长是2(长+宽)，不是长+宽；圆周长是2πr，不是πr 经济问题中优惠规则理解错误(如“满500减100”，不是所有金额都减100)； 单位不统一(如长度单位是米，面积单位是平方米，避免混淆)。4.解题技巧拆解 几何应用：明确图形类型，回忆对应公式(如正方形面积=边长^2，梯形面积=12 ②用整式表示未知边长/半径，代入公式得面积/周长的整式； ③按题意进行整式加减(如求面积和、周长差)； 经济应用： ①分析题目中的“单价、数量、优惠规则”，用整式表示总费用； ②按题意计算(如比较两种方案的费用，求差值)； 验证：结果需符合实际意义(如长度、面积为正数，费用为正数)。【例题12】．（2024-2025•城阳区期末）某中学要建一长方形劳动基地，其中一面靠墙（足够长），其它三面用篱笆围起，已知长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米．（1）用a，b表示长方形劳动基地的宽．（2）求篱笆的总长度．（3）若a＝40，b＝20，篱笆单价为每米2元，求买篱笆所需的费用．【变式题12-1】．（2024-2025•武汉校级期末）如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来．（1）花圃的宽AB为米，花圃的长BC为米；（用含a，b的式子表示）（2）求篱笆的总长度；（用含a，b的式子表示）（3）若a＝30，b＝5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价．【变式题12-2】．（2024-2025•惠来县期末）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.5元/分钟1元/公里（注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．）（1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？（2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）（3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？【变式题12-3】．（2024-2025•罗庄区期末）随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大．某快递公司每件普通物品的收费标准如下表：寄往市内寄往市外首重续重首重续重10元/千克3元/千克12元/千克8元/千克说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费．②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算）例如：寄往市内一件1.8千克的物品，运费总额为：10+3×（0.5+0.5）＝13元．寄往市外一件3.4千克的物品，运费总额为：12+8×（2+0.5）＝32元．（1）小华同时寄往市内一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品，各需付运费多少元？（2）小彤同时寄往市内和市外同一件b千克的物品，已知b超过2，且b的整数部分是m，小数部分小于0.5，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差．【题型13】数字类规律探究(培优)1.核心知识点总结 规律分析：从系数(符号、绝对值)、字母指数两方面找变化规律； 表达形式：用含n(正整数)的整式表示第n项，验证规律是否成立(n=1,2,3时是否符合)。2.高频考点梳理 系数符号交替：如−x、2x2、−3x3、4x 系数绝对值成倍数：如2x、4x2、8x3、16x 常数项规律：如1、−3、5、−7…第n项为(−1)3.易错点警示 忽略系数符号的变化规律(如正负交替未用(−1)n或 指数规律与项数不匹配(如第n项的指数不是n，而是n+1，未验证前几项)； 系数绝对值规律错误(如3、6、9、12…系数是3n，不是n+2)。4.解题技巧拆解 第一步：列出前3-5项，分别写出“系数(符号+绝对值)”和“字母指数”； 第二步：分析系数符号(如正负交替用(−1)n)、绝对值(如成倍数用2n 第三步：分析字母指数(如第n项指数为n或n+1)； 第四步：组合系数和字母，写出第n项的整式，代入n=1,2,3验证。【例题13】．（2024-2025•睢县期末）观察下列板式：22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5；42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；…若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：．【变式题13-1】．（2024-2025•昭阳区月考）观察这一系列单项式的特点：12A．−(12)C．−(12【变式题13-2】．（2024-2025•昆明模拟）观察下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯，则第n个单项式是（）A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan【变式题13-3】．（2024-2025•明水县期末）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第8个代数式是．【题型14】图形类规律探究(培优)1.核心知识点总结 规律分析：统计前3-5个图形中元素(如小正方形、圆、火柴棒)的数量，找数量与图形序号n的关系； 表达形式：用含n的整式表示第n个图形的元素数量，验证规律。2.高频考点梳理 火柴棒摆正方形：如第1个图形用4根，第2个用7根，第3个用10根…第n个用3n+1根； 小正方形拼接：如第1个图形有1个小正方形，第2个有4个，第3个有9个…第n个有n2 图形叠加：如第1个图形有3个圆，第2个有6个，第3个有9个…第n个有3n个。3.易错点警示 统计数量时漏数或多数(如第2个图形的火柴棒数量，误算为8根，实际为7根)； 规律归纳错误(如数量差为3，却归纳为2n+1，未验证n=3时是否符合)； 混淆“图形序号”与“数量”的关系(如第n个图形的数量是n2，不是n4.解题技巧拆解 第一步：按顺序画出前3-5个图形，准确统计每个图形的元素数量，列出表格(序号n：1,2,3,4,5；数量S：s1 第二步：分析数量差(如s2−s 第三步：根据差的规律，设含n的整式(如等差设S=an+b，等比设S=a·q 第四步：用第3、4项验证整式是否正确，确定规律。【例题14】．（2024-2025•讷河市期末）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n【变式题14-1】．（2024-2025•商河县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为（）A．3n B．3n+1 C．3n+2 D．3n+3【变式题14-2】．（2024-2025•越秀区校级月考）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是一个个六角形房室．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，若第n个图案中“”的个数是49，则n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18第二部分非选择题（共90分）【变式题14-3】．（2024-2025•北京校级开学）如图，摆放的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色．从上向下数每层正方体露在外面的小正方形的个数分别为：第1层：侧面个数+上面个数＝1×4+1＝4+1＝5；第2层：侧面个数+上面个数＝2×4+3＝8+3＝11；第3层：侧面个数+上面个数＝3×4+5＝12+5＝17；第4层：侧面个数+上面个数＝4×4+7＝16+7＝23；…根据上述计算方法，总结规律，并完成下列问题：（1）求第6层有多少个面被涂成红色．（2）求第n层有多少个面被涂成红色．（3）若第m层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层，并说明理由．【题型15】新定义下的整式运算(培优)1.核心知识点总结 新定义理解：根据题目给出的新规则(如“定义a※b=2a−3b”“附属系数对”)，将新运算转化为整式的加减或乘除； 步骤：理解新定义→转化为整式运算→按整式加减规则计算。2.高频考点梳理 新运算定义：如定义f(x)=3x+2，求f(x 新概念定义：如定义“有序实数对(a,b)的附属多项式为ax2+bx”，求(2,3)3.易错点警示 误解新定义规则(如“a※b=a2−b 转化为整式运算时符号错误(如f(−x)=3(−x)+2=−3x+2，不是3x−2)； 忽略新定义中的限制条件(如“a※b仅当a、b为整式时成立”)。4.解题技巧拆解 第一步：逐句阅读新定义，用波浪线标出关键规则(如“a※b=2a−3b”中的“2a”“−3b”）； 第二步：将题目中的新运算符号（如※、#、f(x)）按规则转化为整式的加减； 第三步：按整式加减的步骤（去括号、合并同类项）计算，若有求值要求，先化简再代入； 第四步：验证结果是否符合新定义的限制条件（如结果是否为整式、是否满足次数要求）。【例题15】．（2024-2025•阿克苏地区期末）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若a⊕(−6b)=−94，则（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为【变式题15-1】．（2024-2025•沐川县期末）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如：3−12=3×（1）数对（﹣3，﹣2），(−13，−2)（2）若（a，b）是“相伴有理数对”，则4ab−a+12(a+b−7ab)+2024=【变式题15-2】．（2024-2025•郸城县一模）定义：如果一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．（1）最小的“和谐数”是