专题02二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期北京版

专题02二次函数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律二次函数图象与性质能熟练画出二次函数y=ax2能根据二次函数的解析式，直接说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等核心性质。掌握系数a,b,c与函数图象的关系，能根据图象判断

【易错点】•忽略a的符号：讨论开口方向、最值时，首先看a>0还是•顶点坐标公式记忆错误：顶点坐标为-b2a,4ac•混淆对称轴与最值：最值在顶点处取得，是顶点的纵坐标，而非横坐标。【命题趋势】•常以选择题形式，给图判断a,b•常与一次函数、反比例函数图象结合，比较函数值大小。二次函数的解析式能根据已知条件，灵活运用一般式(y=ax2+bx+c会根据题目的特征（如给出顶点、与x轴交点等）选择最简捷的方法设出解析式。【易错点】•设解析式时遗漏a：顶点式和交点式前的系数a不能省略，它影响开口大小和方向。•不同形式间转化时计算错误，特别是配方和因式分解。【命题趋势】•解答题第一问常考待定系数法求解析式，为第二问的综合应用做铺垫。二次函数的平移变换能描述二次函数y=a(x-h)2能根据平移规则，写出平移后的新抛物线解析式【易错点】•平移方向搞反：口诀“左加右减（对h），上加下减（对k）”，其中的“加减”是针对自变量x和整体函数值y而言的，学生极易混淆。【命题趋势】•平移变换多与其他知识点（如求新函数解析式、与新图象结合）融合考查，纯平移题目较少。二次函数与方程、不等式能理解二次函数与一元二次方程的关系，会通过观察二次函数图象与x轴的交点情况判断一元二次方程ax2能利用二次函数图象解一元二次不等式ax2+bx+c【易错点】•数形结合不熟练：解不等式时，无法准确找到对应x的取值范围。口诀“大于零取两边，小于零取中间”的前提是a>•忽略端点：不等式若含等号（≥或≤），则解集要包含方程的解（即与x轴的交点横坐标）。【命题趋势】•常作为选择题或解答题中的一小问，考查数形结合思想。二次函数的实际应用能通过分析实际问题中的数量关系，建立二次函数模型。能利用二次函数的性质（如求顶点坐标）解决实际问题中的最值问题，如“最大利润”、“最大面积”、“最高点”等，并注意自变量的实际取值范围。【易错点】•忘记自变量取值范围：实际问题中，自变量（如长度、销量）常有实际限制，所求最值必须在定义域内取得，否则需结合函数单调性判断。•单位错误或答非所问：求出顶点纵坐标后，要明确其实际意义（如利润、面积），并给出完整答案。【命题趋势】•北京卷高频考点！常以解答题形式出现，背景多与经济利润、图形面积、抛球运动相关，区分度大，是拉分关键。知识点01二次函数的概念核心概念：一般地，形如y=ax2+bx+c是常数，(解析式形式：一般式：y=ax顶点式：y=a(x-h)2+交点式：y=a(x-x1)(x-x示例：y=y=3(y=-2(x+3)(易错点：忽略二次项系数a≠0的条件。当a知识点02二次函数的图象与基本性质核心概念：二次函数的图象是一条抛物线。核心性质：开口方向：由系数a决定。a>0→a<0→对称轴：一条垂直于x轴的直线。对于一般式y=ax2+bx+c，对称轴为直线顶点：抛物线的最高点或最低点，是对称轴与抛物线的交点。对于一般式，顶点坐标为(-b对于顶点式，顶点坐标为(h最值：当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值，为顶点的纵坐标当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，为顶点的纵坐标示例：函数y=-2(x-1)2+3中，a易错点：混淆顶点坐标：将顶点横坐标公式x=-b2a误记为知识点03系数a,b,c的作用核心法则：a：决定开口的方向和大小。|a|越大，抛物线开口越窄；∥a∥b：与a共同决定对称轴的位置。对称轴x=-“左同右异”：对称轴在y轴左侧时，a,b同号；对称轴在y轴右侧时，a,b异号；对称轴是c：决定抛物线与**y轴交点**的位置。图象与y轴交于点(0示例：函数y=2x2-4x+1，a=2>0，开口向上；b=-易错点：单独判断b的符号，而忽略其必须与a结合看。知识点04二次函数图象的平移规律核心法则：二次函数y=a(x-h)2+k口诀：“左加右减（对h），上加下减（对k）”。将y=ax2向左平移h(h>0)个单位→y向右平移h(h>0)个单位→y向上平移k(k>0)个单位→y向下平移k(k>0)个单位→y示例：将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移1易错点：平移方向搞反：口诀中的“加减”是针对自变量x和整体函数y的，方向极易混淆。知识点05二次函数与一元二次方程的关系核心概念：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程Δ>0→抛物线与x轴有两个交点→Δ=0→抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）→Δ<0→抛物线与x轴无交点→示例：函数y=x2-4x+3，Δ=(-4)易错点：混淆“与x轴交点个数”和“方程根的个数”。知识点06二次函数的实际应用核心思路：将实际问题中的数量关系转化为二次函数模型，利用函数的性质（尤其是求最值）解决问题。常见题型：最值问题：如“最大利润”、“最大面积”、“最高高度”等。抛物线形问题：如“喷泉的水流路径”、“弹道曲线”、“拱桥”等。解题步骤：设变量：找出题目中的自变量x和因变量y。建模型：根据题意，列出二次函数解析式。求最值：将函数化为顶点式或利用顶点坐标公式，求出在自变量取值范围内的最值。验证作答：验证结果的合理性，并写出符合题意的答案。易错点：忽略自变量取值范围：实际问题中，自变量（如长度、时间、销量）常有实际限制，求最值时必须考虑定义域，顶点可能不在取值范围内。题型一二次函数系数符号判断(a,b,c,Δ,代数式)解｜题｜技｜巧此题型通常给定二次函数y=ax2+bx+c(看开口：决定a的符号。开口向上→a>0；开口向下→看交点：决定c的符号。图象与y轴交于正半轴→c>0；交于负半轴→c<0看对称轴：决定b的符号及与a的关系。对称轴x=-对称轴在y轴右侧→-b2a>0→对称轴在y轴左侧→-b2a<0→简称：“左同右异”。看顶点：决定顶点的纵坐标4ac-b看与x轴交点：决定判别式Δ=b2两个交点→Δ>0一个交点→Δ=0无交点→Δ<0看特殊点：将图象上的点（如x=1时的点(1,a+b【解析】【详解】解：∵抛物线开口向下，∵对称轴在轴左侧，∵抛物线与轴交于轴正半轴，故选：A．【变式1】图象顶点在第四象限，且开口向上，判断b2-4ac与【详解】开口向上→a>0。顶点在第四象限→顶点纵坐标k=4ac-因为a>0，所以4ac-b2<0题型二二次函数与方程、不等式综合问题解｜题｜技｜巧函数视角看方程：方程ax2+bx+c=0的解⇔函数函数视角看不等式：ax2+bx+c>0的解集⇔ax2+bx+c<0的解集⇔解题步骤：先画出函数示意图，标出关键点（与x轴交点、顶点）。再将方程或不等式问题转化为图形问题。口诀：“大于零取两边，小于零取中间”（前提是a>0，若【典例1】求不等式-x2【详解】不等式两边同乘-1，不等号方向改变：x2函数y=x2-4x+3开口向上，与x轴交于1和3。y≥0对应图象在x轴及上方的部分，即交点及两侧的区域，∴x≤1或【变式1】若关于x的方程x2-4x+3=【详解】此方程可理解为：函数y=x2-4x+3与水平直线先将函数y=x2-4x+3其顶点为(2,-1)，开口向上，与x轴交于(1,0)和(3,0)。画出示意图。要使水平线y=m与其有4个交点，y=m必须介于顶点纵坐标和x轴之间，即-1<m<0。题型三二次函数实际应用之最值问题解｜题｜技｜巧“三步法”：Step1:建模。识别问题中的变量与常量，用自变量x表示因变量y，建立二次函数解析式y=Step2:求最值。将函数式化为顶点式y=a(x-h)2+k，则当x=h时，Step3:验证作答。最重要的一步！检查Step2中求得的x=h是否在实际问题的自变量取值范围内。若在，则答案就是【典例1】某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足关系：y=-(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润w（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式。(2)求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少【详解】(1)【建模】销售利润=(单件售价单件进价)×销售量已知：单件进价=40元，单件售价=x元，销售量y=-2x+200。∴w=(x-40)⋅y=(x-40)(-2x+200)。展开得：w=-2x∴函数关系式为：w=-2x(2)【求最值】方法一（顶点式）：w=-2(=-2[(=-2(x-70=-2(x-70)∵a=-2<0，∴w有最大值。当x=70时，最大w最大方法二（公式法）：a=-2,b=280,c=-8000。x=-b将x=70代入：w=-2×(70)【验证作答】必须检查x=70是否合理。售价70元，代入销售量y=-2×70+200=60>0，合理。答：每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元。【变式1】若商场每天要获得不低于1600元的利润，每件商品的售价应定为多少？【详解】此题是不等式问题。需解w≥1600。即-2x整理得：-2x两边除以-2，变号：x2解方程x2-140x+4800=0，得(x-60)(x-80)=0，∵二次函数y=x2-140x+4800开口向上，∴不等式x2-140x+4800≤0还需考虑实际意义：售价x必须使销售量y>0，即-2x+200>0，x<100。60≤x≤80在x<100范围内。∴售价应定在60元到80元之间（含60和80元）。【变式2】如果该商品的进价是30元，并且规定每件售价不能高于65元，那么最大利润是多少？【详解】【建模】进价变了，新的函数关系式为：w=(x-30)(-2x+200)=-2x【求最值】x=-b【验证作答】题目规定x≤65。我们求得的顶点横坐标x=65正好在取值范围边界上。∴当x=65时，利润最大。最大w最大答：此时最大利润为2450元。5．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大．【答案】52【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，故答案为：52．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（

）【答案】D【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平移．2．抛物线y＝ax2和y＝－ax2在同一坐标系内，下面结论正确的是(

)A．顶点坐标不同 B．对称轴相同C．开口方向一致 D．都有最低点【答案】B3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．6．某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？【答案】每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．【分析】根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，根据二次函数可判断最大利润．【详解】解：设每件童装降价x元，利润为y元，即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的顶点判断最大利润．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）【答案】D故选：D．2．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（）A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1）C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，∴该函数图象开口向下，故选项A错误；顶点坐标为（0，1），故选项B错误；当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．二次函数y=﹣x2