第01讲不等式及其性质（知识解读题型精讲随堂检测）

第01讲不等式及其性质知识点1：不等式的定义知识点2：不等式的解集知识点3：不等式的基本性质（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．【题型1：不等式的定义】【典例1】下列式子：①−2<0，②2y−5>1，③m=1，④x2−x，⑤x≠−2，⑥x+1<2x−1中，是不等式的有（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号(>，<，≤，≥，≠)表示不等关系的式子，叫不等式．根据不等式的定义逐个判断即可．【详解】解：依题意，不等式有：①−2<0，②2y−5>1，⑤x≠−2，⑥x+1<2x−1，共4个，故选：C．【变式1】下列式子中，是不等式的是（

）A．x−2 B．x+y=3 C．a<5 D．m=7【答案】C【分析】本题考查了不等式的定义，正确理解不等式的定义是解题的关键．用不等号连接表示大小关系的式子，叫做不等式．根据不等式的定义判断即可．【详解】解：A、x−2是代数式，不是不等式，所以选项A不符合题意；B、x+y=3是方程，不是不等式，所以选项B不符合题意；C、a<5是不等式，所以选项C符合题意；D、m=7是等式，不是不等式，所以选项D不符合题意．故选：C．【变式2】下列各式：①−3<0；②2x−5>0；③2x=5；④x2−xy+y2；⑤x2A．5 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．运用不等式的定义进行判断．【详解】解：①−3<0，是不等式；②2x−5>0，是不等式；③2x=5，不是不等式；④x2⑤x2⑥a≠3，是不等式．故选：D【变式3】2025年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最高气温是28℃，最低气温是18℃，则该地这天气温t℃A．t≥18 B．18≤t≤28 C．t<28 D．t≤28【答案】B【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键．根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案．【详解】解：当天最高气温是28℃，最低气温是18℃，因此气温t℃的变化范围应满足最低气温≤t≤即18≤t≤28，故选：B．①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。②用数轴表示不等式解集解集x>−4在数轴上表示为解集x≥−4在数轴上表示为解集x<4在数轴上表示为解集x≤在数轴上表示为【题型2：不等式的解集】【典例2】若x=1是某不等式的一个解，则该不等式可以是（

）A．x>2 B．x>3 C．x<3 D．x<1【答案】C【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．【详解】解：A、x>2中不包含x=1，不符合题意；B、x>3中不包含x=1，不符合题意；C、x<3中包含x=1，符合题意；D、x<1中不包含x=1，不符合题意；故选：C．【变式1】下面各数中，是不等式x≥−3的解的是（

）A．−6 B．−5 C．−4 D．−1【答案】D【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为x≥−3，即找出满足不小于−3的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键．【详解】解：A、−6<−3，故选项不符合题意；B、−5<−3，故选项不符合题意；C、−4<−3，故选项不符合题意；D、−1>−3，故选项符合题意；故选：D．【变式2】下列说法中正确的是（）A．x=1是不等式2x<3的一个解 B．x=1是不等式2x<3的解集C．x=1是不等式2x<3的唯一解 D．x=1不是不等式2x<3的解【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；根据解集和解得定义去判定即可．【详解】∵2x<3，∴x<3A、x=1符合条件x<32，是不等式B、解集是一个范围，而x=1是一个固定值，故选项不符合题意；C、解集是一个范围，所以x=1不是不等式2x<3的唯一解，故选项不符合题意；D、x=1符合条件x<32，是不等式故选：A．【变式3】下列不等式的解集中，不包括−5的是（

）A．x≤5 B．x≥−5 C．x≤−6 D．x≥−6【答案】C【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可．【详解】解：x≤−6中不包括−5，故选：C．【题型3：在数轴上表示不等式的解集】【典例3】不等式x<3的解集在数轴上表示正确的是（

）C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式解集，正确掌握相关方法是解题的关键，根据不等式解集表示出即可．【详解】解：将不等式x<3的解集在数轴上表示为：故选：A．【变式1】不等式x≤−2在数轴上表示为（

A． B．【答案】C【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据不等式的意义和特殊点的表示方式，即可求解．【详解】解：∵x≤−2故选：C．【变式2】在数轴上表示不等式x≥−2的解集，正确的是（

）A． B．【答案】C【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意若解集是“≥或≤”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“>或<”，则在数轴上用空心点表示．根据在数轴上表示不等式的解集的方法解答即可．【详解】解：在数轴上表示不等式x≥−2的解集，如下：故选：C【变式3】不等式x≥1在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴表示不等式的解集时的“两定”．根据数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于解集为实心点，不含等于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．即可解答．【详解】解：x≥1，开口向数轴的正方向（向右），且x大于等于1，所以要实心．故选：D．基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果，那么如果，那么基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【题型4：不等式的性质】【典例4】下列不等式的变形正确的是（

）A．若a<b，则ac<bc B．若x>y，则xC．若a>b，则ac2>bc2【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答．【详解】解：A、若a<b，则ac<bc(c>0)，故不符合题意；B、若x>y，则xmC、若a>b，则acD、若ac2+d>b若c=0，则ac2=bc故c2>0，所以故选：D．【变式1】如果：a<b，则下列说法中不一定正确的是（）A．a+2<b+3 B．b−a>0 C．2a<2b D．a−2<b−3【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质以及反例法，逐项分析判断即可．【详解】解：A.因为a<b，所以a+2<b+2，所以a+2<b+3，故该选项正确，不符合题意；B.因为a<b，即b>a，所以b−a>0，故该选项正确，不符合题意；C.因为a<b，所以2a<2b，故该选项正确，不符合题意；D.可令a=2,b=2.5，则a−2=0,b−3=−0.5，因为0>−0.5，所以此时a−2>b−3，即a−2<b−3不一定正确，本选项符合题意．故选：D．【变式2】若m>n，则下列不等式中一定成立的是（

）A．m−3<n−3 B．m2>n2 C．【答案】C【分析】本题考查不等式的性质，注意不等式两边乘负数要变号是解题关键．不等式的性质：1．两边加减同数，不等号方向不变；2．两边乘除同正数，不等号方向不变；3．两边乘除同负数，不等号方向改变．【详解】A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，不符合题意．B．无法确定m，n的正负，所以无法确定C．∵m>n，∴−m<−n，∴−m+1<−m+1，故选项正确．D．c2可能为0，所以可能存在m故选：C．【变式3】若a<b，则下列结论错误的是（

）A．a+3<b+3 B．aC．a2−3<b【答案】D【分析】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：A、∵a<b，∴a+3<b+3，故本选项的结论正确；B、∵a<b，∴a5C、∵a<b，∴a2∴a2D、∵a<b，∴−2a>−2b，∴−2a+3>−2b+3，故本选项的结论错误．故选：D一、单选题1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(

)A．a2+b2≥0 B．a+b2【答案】B【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于0的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定“a与b和的平方”对应的代数式，再结合“非负数”的符号特征列出不等式．先分析文字表述：“a与b的和”表示为a+b，“和的平方”即对a+b整体平方，为(a+b)2；“非负数”表示该式的值大于等于0，即≥0【详解】解：A、选项表示“a的平方与b的平方的和为非负数”，并非“a与b和的平方”，此选项不符合题意；B、选项表示“a与b和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意；C、选项表示“a的平方与b的平方的和为正数”，既不是“和的平方”也排除了非负数中的0，此选项不符合题意；D、选项表示“a与b的和的平方为正数”，虽为“和的平方”但排除了非负数中的0，此选项不符合题意；故选：B．2．若α□6是不等式，则“□”代表的符号可以是（）A．≥ B．+ C．= D．×【答案】A【分析】本题主要考查的是不等式的定义，含有不等号的式子为不等式，直接根据定义进行判断即可．【详解】解：α□6是不等式，则“□”代表的符号可以是≥，故选：A．3．2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温25°C，最低气温15°C，则当天赫章的气温t°A．t≥25 B．t≤15C．t≠15，且t≠25 D．15≤t≤25【答案】D【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为25°C，最低温度为15°【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温t°C的变化范围是故选：D4．某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮≥1.2克/100毫升”，它的含义是（

）A．每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克B．每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克C．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克D．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克【答案】C【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．【详解】解：根据≥的含义，“氨基酸态氮≥1.2克/100毫升”，就是“每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克”，故选：C．【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．5．“a的5倍与3的和不超过−3”列出的不等式是（

）A．5a+3<−3 B．5a+3≤−3 C．5a+3≥−3 D．5a+3>−3【答案】B【分析】根据a的5倍与3的和，列式为5a+3，再根据不超过−3，则是小于或等于3，即可列出不等式5a+3≤3．【详解】解：由题意，得5a+3≤3，故选：B．【点睛】本题考查列不等式，掌握“不超过”即是“≤”是解题的关键．6．下列各数中是不等式x>3的解的是（

）A．－2 B．1 C．2 D．5【答案】D【分析】直接验证4个选项即可得到答案；【详解】解：选项中只有5是不等式x>3的解，故选D．【点睛】本题主要考查了不等式的解，在判断是否不等式的解时，要注意符号．7．已知a>b，则下列不等式一定成立的是（）A．a−1<b−1 B．a2<b2 C．【答案】D【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案．【详解】解：A、a>b，则a−1>b−1，选项错误，不符合题意；B、a>b，则a2C、a>b，则−a<−b，选项错误，不符合题意；D、a>b，则a+a>a+b，即2a>a+b，选项正确，符合题意，故选：D．二、填空题8．x减去y不大于−5，用不等式表示为．【答案】x−y≤−5【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为x−y，再表示“不大于−5”即为x−y≤−5．【详解】解：由题意得，x−y≤−5，故答案为：x−y≤−5．9．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为km/【答案】80（答案不唯一）【分析】本题