浙江省杭二中2025年数学高二上期末统考试题含解析

浙江省杭二中2025年数学高二上期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含2．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（）A. B.C.5 D.53．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（）A.8 B.6C.4 D.34．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.54 B.45C.27 D.815．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.6．直线被椭圆截得的弦长是A. B.C. D.7．设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为()A.128 B.129C.47 D.08．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为A. B.C. D.9．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（）A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为B.前七个矩形块中所填写的数字之和等于C.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列D.按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是10．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（）A. B.C.2 D.111．等比数列的各项均为正数，且，则（）A.5 B.10C.4 D.12．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为（）A.1 B.C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足，则__________.14．若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.15．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.16．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列的公差d不为0，满足成等比数列，数列满足.（1）求数列与通项公式：（2）若，求数列的前n项和.18．（12分）已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.（1）当P为弦的中点时，求直线l的方程；（2）若直线l与直线平行，求弦的长.19．（12分）已知的展开式中二项式系数和为16（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求20．（12分）已知三角形的内角所对的边分别为，且C为钝角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面积.21．（12分）设函数，且存在两个极值点、，其中.（1）求实数的取值范围；（2）若恒成立，求最小值.22．（10分）分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴，短轴长为2，离心率为；（2）短轴一端点P与两焦点，连线所构成的三角形为等边三角形

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.2、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），则||＝＝5故选：C3、C【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.故选：.4、B【解析】由三视图可得该几何体是由平行六面体切割掉一个三棱锥而成，直观图如图所示，所以该几何体的体积为故选B点睛：本题考查了组合体的体积，由三视图还原出几何体，由四棱柱的体积减去三棱锥的体积.5、A【解析】根据条件可知四边形为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：A.6、A【解析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长【详解】将直线y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为故选A【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题7、A【解析】先化简A－B，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可【详解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后计算出结果，属于基础题8、C【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，则，且，又是的中点，则是的中位线，则，且，由双曲线定义可知，由勾股定理知，，，即，渐近线方程为，所以渐近线方程为故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.9、B【解析】根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求.【详解】设每个矩形块中的数字从大到小形成数列，则可得是首项为，公比为的等比数列，，所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为，故A错误；前七个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故C错误；按照这个规律继续下去，第个矩形块中所填数字是，故D错误.故选：B.10、C【解析】先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【详解】因为数列满足，，所以，同理可得，…所以数列每四项重复出现，即，且，而，所以该数列的前2021项的乘积是.故选：C.11、A【解析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则=5.故选：A12、C【解析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.【详解】因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当的外接圆与y轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必经过的外接圆圆心，所以弦的中点为（3，0），故弦中点的横坐标即为的外接圆半径，即，由垂径定理可得，圆心坐标为，故的外接圆的方程为，所以点R的纵坐标为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题，用累乘法求得通项公式：，则，通过裂项求和即可得出结果.【详解】由题，所以累乘法求通项公式：，所以，经验证时，符合.所以，则.故答案为：14、①.②.【解析】根据直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，利用斜率公式，结合二次函数性质求解；设其倾斜角为，，利用正切函数的性质求解.【详解】因为直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，所以l的斜率为，所以l的斜率取值范围为，设其倾斜角为，，则，所以其倾斜角的取值范围为，故答案为：，15、【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.【详解】，当时，，所以切线方程为，即；令可得，令可得；所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.16、【解析】建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出的表达式，转化求解最小值即可.【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则设，由，则，所以两边平方并整理得，所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，为半径的圆，所以，，则有，则的最小值为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差，即可求出的通项公式，由，当时，求出，当时，两式作差，即可求出；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；【小问1详解】解：由已知，又，所以故解得（舍去）或∴∵①故当时，可知，∴，当时，可知②①②得∴又也满足，故当时，都有；【小问2详解】解：由（1）知，故③，∴④，由③④得整理得.18、（1）（2）【解析】（1）由题意，，求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解；（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.小问1详解】解：由题意，圆心，P为弦的中点时，由圆的性质有，又，所以，所以直线l的方程为，即；【小问2详解】解：因为直线l与直线平行，所以，所以直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离，又半径，所以由弦长公式得.19、（1）（2）【解析】（1）由二项式系数和的性质得出，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；（2）由通项得出，利用赋值法得出，再求解【小问1详解】由题意可得，解得．，展开式中二项式系数最大的项为；【小问2详解】，其展开式的通项为，令，得∴常数项令，可得展开式中所有项系数的和为，∴20、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积【小问1详解】因为，由正弦定理得因，所以.因为角为钝角，所以角为锐角，所以【小问2详解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合题意舍去，故的面积为=21、（1）（2）【解析】（1）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；（2）适当构造函数，并注意与关系，转化为函数求最大值问题，即可求得的范围.【小问1详解】（），，函数存在两个极值点、，且，关于的方程，即在内有两个不等实根，令，，即，，实数的取值范围是.【小问2详解】函数在上有两个极值点，由（1）可得，由，得，则，，，，，，，，令，则且，令，，，再设，则，，，即在上是减函数，（1），，在上是增函数，（1），，恒成立，