2021北京高一数学上学期期末汇编：等式与不等式（解答题3）

1/12021北京高一数学上学期期末汇编：等式与不等式（解答题3）一、解答题1．（2021·北京·高一期末）某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？2．（2021·北京·高一期末）设函数是定义在上的减函数，并且满足，（1）求和的值（2）如果，求的取值范围3．（2021·北京·高一期末）已知集合，.（1）若，求集合，集合；（2）若，求实数的取值范围.4．（2021·北京丰台·高一期末）记不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.

5．（2021·北京·101中学高一期末）设是由个实数构成的一个有序数组，记作．其中称为数组的“元”，称为数组的“元”的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的“子数组”．定义两个数组，的“关系数”为．（1）若，，且中的任意两个“元”互不相等，的含有两个“元”的不同“子数组”共有个，分别记为．①；②若，，记，求的最大值与最小值；若，，且，为的含有三个“元”的“子数组”，求的最大值．

2021北京高一数学上学期期末汇编：等式与不等式（解答题3）参考答案1．（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元【分析】（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【详解】解：（1）由题意知，年总收入为万元年维护总费用为万元.∴总利润，即，（2）年平均利润为∵，∴当且仅当，即时取“”∴答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.2．（1）；（2）.【分析】（1）根据对、进行赋值即可得到答案；（2）利用赋值法得，然后结合转化已知不等式为，最后根据单调性求出所求.【详解】解：（1）令，则，∴又即：∴（2）∴∴，又由，又由是定义在上的减函数，得：，解得：.∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用赋值法求解抽象函数的函数值，利用单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，属于中档题.3．（1），；（2）.【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出、，最后根据并集的定义计算可得；（2）由，可得，即可得到不等式组，解得即可.【详解】解：（1）因为，所以，或.当时，所以或.所以或.（2）因为，所以.当时，，则；当时，由题意得，解得.综上，实数的取值范围是.【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．4．（1）（2）【分析】（1）分别求出集合，再求并集即可.（2）分别求出集合和的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.【详解】（1）当时，的解为或（2）a的取值范围为5．（1）①6；②最大值为199，最小值为5；（2）1【分析】（1）①根据“子数组”的定义可得；②不妨设，则可得，根据可得最值；（2）分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，再结合不等式的性质即可求解.【详解】（1）①根据“子数组”的定义可得，的含有两个“元”的不同“子数组”有共6个，；②不妨设，，因为，则当时，取得最大值为，当是连续的四个整数时，取得最小值为；（2）由，且可知，实数具有对称性，故分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”的对称性，可只计算的最大值，因为，则，可得，故当时达到最大值，故；②当0