二次函数解答压轴题（共62题）（解析版）

高考史习材料

专题13二次函数解答压轴题（62题）

一、解答题

1.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）已知二次函数歹=-/+云+。.

（1）当b=4,c=3时,

①求该函数图象的顶点坐标.

②当-1W3时，求V的取值范目.

（2）当xWO时，，的最大值为2：当x>0时，V的最大值为3,求二次函数的表达式.

【答案】（1）①（2,7）；②当—1工工43时，—2WyW7；（2）），=—/+21+2

【分析】（1）①将6=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解；

②已知顶点（2,7）,根据二次函数的增减性，得出当x-2时，V有最大值7,当x=-1时取得最小值，即可求

解；

（2）根据题意xWO时，V的最大值为2；x>0时，V的最大值为3,得出抛物线的对称轴x=g在V轴的

右侧，即/）>（）,由抛物线开口向下，xVO时，y的最大值为2,可知c=2,根据顶点坐标的纵坐标为3,

求出6=2,即可得解.

【详解】（1）解：①当b=4,c=3时，y=-v2+4x+3=-2）2+7,

・・・顶点坐标为（2,7）.

②•・•顶点坐标为（2,7）.抛物线开口向下，

当-1WXW2时，V随x增大而增大，

当24xW3时，随x增大而减小，

・••当x=2时，，有最大值7.

又2-（-1）〉3-2

・,•当x=-l时取得最小值,最小值--2；

・•・当一14x43时,-2WyW7.

（2）Vx<OB-j,V的最大值为2；x>0时，V的最大值为3,

・••抛物线的对称轴x=g在>轴的右侧，

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：.b>0,

•・•抛物线开口向下，XKO时，V的最大值为2,

c=2,

/./>=±2,

A>0,

/./>=2»

・•・二次函数的表达式为y=*+2]+2.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练学握二次函数的

性质是解题的关键.

2.(2023・浙江•统考中考真题)已知点(孙0)和(3肛0)在二次函数y=十'十3(。/足常数，"0)的图像

上.

⑴当m=-l时,求夕和b的值;

(2)若二次函数的图像经过点力(〃,3)且点力不在坐标轴上，当时，求〃的取值范围；

(3)求证：b2+4a=0.

【答案】⑴。=-1/=-2；(2)-4<〃<一2：(3)见解析

【分析】(1)由加=-1可得图像过点(L0)和(-3,0),然后代入解析式解方程组即可解答；

(2)先确定函数图像的对称轴为百线》=%则抛物线过点(〃⑶,(0,3),即〃=2小，然后再结合-2<小<-1

即可解答；

(3)根据图像的对称性得-《二〃?，即方=-2研，顶点坐标为(肛。/+加?+3)；将点(T*0)和(3肛0)分

别代入表达式并进行运算可得的？=-1;则am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4»进而得到

担二里=4,然后化简变形即可证明结论.

4a

【详解】(1)解：当刑=T时,图像过点(1,0)和(TO),

4,0==9a7+b6++33,解得a=-1

b=-2'

:.y=-x2-2x+3,

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a=-\,b=-2.

（2）解：•・•函数图像过点（-矶0）和（3私0）,

・•・函数图像的对称轴为直线x=〃L

•・•图像过点（〃,3）,（0,3）,

・•・根据图像的对称性得〃=2根.

■:-2<m<-1,

-4<n<-2♦

（3）解：•・•图像过点（一孙0）和（3肛0）,

・•・根据图像的对称性得-（=用.

:.b=-2am,顶点坐标为+bm+3）.

0=am'-bm+3®

将点（-%0）和（3见0）分别代人表之式可得•

0=9am~+3hm+3②

①x3+②得12M2+12=0,

••・am2=-i1

am2+bm+3=am2-2am2+3=-am24-3=4.

.\2a-b2)

，•---------=4.

4a

\2a-b2=16。•

；・/+4。=0.

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌

握二次函数的对称性是解答本题的关键.

3.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）在二次函数了二炉一加+3«>（））中,

⑴若它的图象过点（2,1）,贝h的值为多少？

⑵当04x43时，y的最小值为-2,求出/的值：

⑶如果力（〃「2,4,8（4,〃）《（〃?,〃）都在这个二次函数的图象上，且〃<力<3,求〃?的取值范围.

【答案（2），=石；（3）3<6<4或切>6

【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；

（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分0</W3,当x=f时，函数值最小，以及，>3,当x=3

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时，函数值最小，求得相应的,值即可得；

(3)由4〃L2,4),C(〃IM)关于对称轴对称得〃-1=/,且3在对称轴左侧,C在对称轴右侧;确定抛物线

与y轴交点(0,3),此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3),结合已知确定出〃?>3；再分类讨论：44都

在对称轴左边时，A,4分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可.

【详解】(1)将(2,1)代入y=f_2fx+3中，

得1=4-4，+3,

解得，弓；

(2)抛物线对称轴为x=f.

若0<f43,当x=f时，函数值最小，

.\r-2r+3=-2，

解得f=±&.

z>0,

t=4s

若经3,当x=3时，函数值最小，

/.—2=9—6/+3,

7

解得(不合题意，舍去)

综上所述/=石.

(3),••N(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称

.•.竺宁巴=%,加一1=八且彳在对称轴左侧，C在对称轴右侧

••抛物线与y轴交点为(0,3),抛物线对称轴为直线x=t,

此交点关于对称轴的对称点为(2川-2,3)

,:a<3,b<3且，>0

/.4<2m-2,解得m>3.

当,4,6都在对称轴左边时，

a<b

：.4<w-2,

解得〃?>6,

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.,.加>6

当儿8分别在对称轴两侧时

•：a<b8到对称轴的距离大于4到对称轴的距离

4-（w-l）>2）,

解得〃?<4

/.3</??<4

综上所述3<〃？<4或小>6.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是

解题的关键.

4.（2023•浙江杭州•统考中考真题）设二次函数旷=4/+反+1,（。/（），是实数）.已知函数值V和自变

量I的部分对应取值如下表所示：

X・・・-10123・・・

y•••m1n1P•••

（1）若加=4,求二次函数的表达式；

（2）写出一个符合条件的工的取值范围，使得y随工的增大而减小.

（3）若在小、〃、p这三个实数中，只有一个是正数，求。的取值范围.

［案］（l）y=f—2x+l：（2）当a>0时，则x<l时，V随》的增大而减小；当。<0时，则x>l时，V随x的

增大而减小；（3）。工-?

【分析】（1）用待定系数法求解艮」可.

（2）利用抛物线的对称性质求得勉物线的对称轴为直线x=l；再根据抛物线的增减性求解即可.

（3）先把（2,1）代入y+队+1,得/）二一2。，从而得y=a，一加丫+1,再求出〃i=3a+l,n=-a+\,

-a+1>0

p=3a+l,从而得〃?二P,然后加、小p这三个实数中，只有一个是正数，得。1,八，求解即可.

+1<0

【详解】（1）解:把（一1,4）,（2』）代入y=a，+瓜+i,得

[a-b+[=4[a=1

/”1一解得：A

[4。+2b+l=l[n=-2

/.y=<-2x4-1.

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(2)解：・・・(OJ),(2,1)在y=a/+6x+l图象匕

・•・抛物线的对称轴为直线x=等=1,

・•・当。>0时，则x<l时，V随x的增大而减小，

当”。时，则x>l时，，随x的增大而减小.

(3)解:把(2,1)代入y=o?+历+1,得

1=4。+2力+1,

/.h=—2a

：.y=ax2+bx+\=ax2-2ax+\

把(-1,m)代入y=ax2-lax+1得，小=a+%+I=3〃+1,

把(L〃)代入y=ax'-lax+1得，n=a-2a+\=-a+\,

把(3,0)代入歹二0¥2—20¥+1得，p=9a-6a+\=3a+\,

・•・阳=P,

•・•〃?、〃、〃这三个实数中，只有一个是正数,

-a+1>0

，解得：

3«+1<0

【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握川待定系数

法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键.

5.(2023•湖南常德・统考中考真题)如图，二次函数的图象与x地交于力(-1,0),8(5,0)两点，与y轴交于

点C,顶点为。.。为坐标原点，lan//CO=:.

备用图

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(1)求二次函数的表达式；

⑵求四边形力a4的面积；

(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若4AC0=/PBC,求尸点的坐标.

/I27、

【答案】(l)y=-(x+l)(x-5)；(2)30；(3)P

【分析】(1)用两点式设出二次函数的解析式，然后求得。点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求

得〃的值，再将a代入解析式中即可.

(2)先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案.

(3)根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数

与二次函数的解析式，求得点P的坐标.

【详解】(1)•・•二次函数的图象与“轴交于/(-1,0),5(5,0)两点.

・••设二次函数的表达式为y-(x+l)(x-5)

VAO=\,tanZACO=-,

5

/.OC=5,即C的坐标为(0,5)

则5=〃(0+1)(0-5),得〃=-1

・'•一次函数的表达式为歹=-(x+l)(x-5)；

(2)y=-(x+l)(x-5)=-Cv-2)2+9

・・・顶点的坐标为(2,9)

过。作。NJ,48于N,作。A/_L。。于

四边形ACDB的面积=S,M0C+S更形asv—^ACDA/+

=^-xlx5+2x9--x2x(9-5)+U<(5-2)<9=3O；

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VOC=OB=5,则aOCB为等腰百角三角形，ZOCB=45°.

由勾股定理得：。8=5及，

•:/ACO=/PBC,

tan/.ACO=tanZ.PBC,

1CECE

n即n二方二皿'

由CH_L8C,得NBCE=90。,

・•・Z.ECF=180°-/BCE-ZOCB=1800-90o-45°=45<.

•••△EFC是等腰直角三角形

・•・FC=FE=\

・•・£的坐标为(1,6)

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所以过8、石的直线的解析式为)，=-弓》+5

315

y=——xH---

令＜■22

y=-(x+\)(x-5)

1

x=—

X=5,或，2

解得

y=027

27

所以命直线与抛物线的两个交点为8(5,0),尸

(127、

即所求尸的坐标为尸

124J

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键

是将所学的知识灵活运用.

6.(2023・山东烟台•统考中考真题)如图，抛物线)，=川+瓜+5与x轴交于48两点，与V轴交于点

C,,4B=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线歹=履-1交于点。，与x轴交于点

备用图

(1)求直线AD及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点M,使得△XDW是以/。为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标;

若不存在，请说明理由；

(3)以点8为圆心，画半径为2的圆，点尸为04上一个动点，请求出PC+gp/l的最小值.

【答案】⑴直线4。的解析式为y=x-l：抛物线解析式为y=x、6x+5；(2)存在，点M的坐标为(4,-3)或

(0,5)或(5,0)；(3)741

【分析】(1)根据对称轴x=3,.48=4,得到点4及8的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；

(2)先求出点。的坐标，再分两种情况：①当ND4M=90。时，求出直线4W的解析式为y=-x+1,解方

程组《」「即可得到点M的坐标；②当N4DM=90。时，求出直线DW的解析式为y=r+5,

y=x—6x+5

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[y=-x+5

解方程组|j=/_6t+5，即可得到点M的坐标；

RFPR

(3)在48上取点尸，使8尸=1,连接C77,证得标=-^，又NPBF=N4BP,得至lj,推

PBAB

出所=；4,进而得到当点。、P、"三点共线时，尸。+；尸力的值最小，即为线段b的长，利用勾股定理

求出W即可.

【详解】(1)解：:抛物线的对称轴x=3,AB=4,

・・・4(1,0),3(5,0),

将4«0)代入直线y=h=l,得&-1:0,

解得左=1,

・•・直线AD的解析式为P=x-1；

将,4(1,0),4(5,0)代入户ad+瓜+5,得

。+6+5=04=1

解得'

25a+5b+5=0'b=—6’

••・抛物线的解析式为y=--6x+5；

(2)存在点M,

•.•直线/力的解析式为y=11,抛物线对称轴x-3与x轴交于点E.

・•・当x=3时，y=x-\=2,

・・・。(3,2),

①当NO4眩=90。时，

设直线4M的解析式为歹=r+J将点力坐标代入，

得-l+c=0,

解得c=l,

:.直线AM的解析式为y=-x+\,

y=-x+\

解方程组,，久〈，

y=x--6x+5

x=\x=4

得或，

y=0»=-3

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:.点M的坐标为(4,-3):

②当N4OM=90。时，

设直线DM的解析式为y=-x+d,将0(3,2)代入,

得-3+d=2,

解得d=5,

・•・直线。M的解析式为y=-x+5,

y=-x+5

解方程组

y=x2-6x+5

x=5

解得

y=0

，点M的坐标为(0,5)或(5,0)

综上，点”的坐标为(4,-3)或(0,5)或(5,0)；

(3)如图，在力4上取点尸，使B/=1,连接b,

•・•尸8=2,

.3F_\

**

••空二」

•一二一二,、

AB42

.BFPB

••,

PBAB

又,:NPBF=4ABP,

・•・APBFS/BP,

...”=竺」,即叫常，

PAPB22

/.PC+-PA=PC+PF>CF,

・•・当点C、P、/三点共线时，尸C+；口的值最小，即为线段"的长,

•・•OC=5,()F=()B-}=5-\=4,

，CF=yl0C2+0F2=，52+舒=<41，

・•・PC+g4的最小值为"T.

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【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，

勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键.

7.（2023•江苏苏州•统考中考真题）如图，二次函数y=x、6x+8的图像与x轴分别交于点48（点/在点

8的左侧），直线/是对称轴.点P在函数图像上，其横坐标大于4,连接尸4尸8,过点P作*4_L/,垂足

为M,以点M为圆心，作半径为，,的圆，PT与OM相切，切点为T.

⑴求点48的坐标；

（2）若以OM的切线长PT为边长的正方形的面积与的面积相等，且0M不经过点（3,2）,求PM长的

取值范围.

【答案】（1）力（2,0）1（4,0）：⑵1VpM<血或垃<p〃<2或PM>2

【分析】（1）令卜=。求得点48的横坐标即可解答；

（2）由题意可得抛物线的对称轴为戈=3,设尸（见/一6加+8）,则M（3,〃J—6〃7+8）：如图连接M7,则

MT1PT,进而可得切线长PT为边长的正方形的面积为（利-3『-r2；过点尸作?”jLx轴，垂足为〃，可

得S.p»B=；ABPH=m2-6m+8；由题意可得（〃L3『—/=〃尸_6/〃+8,解得r=1；然后再分当点M在点

N的.上方和下方两种情况解答即可.

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【详解】(1)解：令y=0,则有：x2-6x+8=o,解得：x=2或x=4,

・•・4(2,0),8(4,0).

(2)解：•・•抛物线过力(2,0),8(4,0)

・•・抛物线的对称轴为x=3,

设尸(w,6/〃+8),

丁PM11,

:.M(3,〃广—6m+8),

如图：连接M7,则

・•・PT2=PM2-MT2=(m-3)2-r2,

・•・切线尸厂为边长的正方形的面积为(〃L3『,

2

过点。作尸〃_Lx轴，垂足为H,则：SaP4B=^ABPH=m-6m+^f

(川-3『-/=m1-6m+8

Vr>0,

假设GM过点N(3,2)、则有以下两种情况：

①如图1：当点M在点N的上方，即M(3,3)

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，一6刑+8=3，解得:小=5或/〃=1,

•・•加>4

阳=5；

②如图2：当点M在点N的上方，即“（3,1）

；•〃?，-6加+8=1，解得：〃?二3±及，

Vm>4

，"?=3±y/2；

综上，PM=m-3=2或近.

・•・当0M不经过点（3,2）时，1〈尸必<也或正<PM<2或PM>2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本

题的关键.

8.（2023•山东东营・统考中考真题）如图，抛物线过点0（0,0）,E（IO,O）,矩形力8c。的边/8在线段OE上

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(点8在点力的左侧)，点C,。在抛物线上，设当/=2时，8c=4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当/为何值时，矩形“8CQ的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持/=2时的矩形48CO不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且

直线G”平分矩形川?CQ的面积时，求抛物线平移的距离.

1541

【答案】(1)歹=:*2-7X；(2)当/=1时，矩形力8CO的周长有最大值，最大值为工；(3)4

422

【分析】(1)设抛物线的函数表达式为》=成(4-10)(。工0),求出点。的坐标，将点C的坐标代入即可求

出该抛物线的函数表达式；

(2)由抛物线的对称性得力七=08=，则/8=10-21,再得出8。=-卜+3,根据矩形的周长公式，

列出矩形周长的表达式，并将其亿为顶点式，即可求解；

(3)连接4C,8。相交于点P,连接OC,取OC的中点。，连接P。，根据矩形的性质和平移的性质推

出四边形OCHG是平行四边形,则P。=，P。=.求出/=2时，点A的坐标为(8,()),则CH=；OA=4,

即可得出结论.

【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为丁=奴(》-1。)(。/0).

•・,当1=2时，8c=4,

，点。的坐标为(2,-4).

将点C坐标代入表达式，得2々(2-10)=-4,

解得。=；

4

・•・抛物线的函数表达式为y=^-x2-^x.

42

(2)解：由抛物线的对称性得：AE=OB=t,

・•.AB=10-2t.

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当x=l时，5C=--/2+-Z.

42

・•・矩形/8。力的周长为

2(AB+BC)=2(10-2/)+(一,2q)]

=--t2+Z+20

2

Iz1\241

=——(r-1)+——.

2V72

V--<0,

2

41

.••当f=l时，矩形48CD的周长有最大值，最大值为万.

(3)解：连接力C,4。相交于点尸，连接OC,取OC的中点0,连接尸。.

•・•直线GII平分矩形ABCD的面积，

・•・直线G”过点P..

由平移的性质可知，四边形OC〃G是平行四边形,

：.PQ=CH.

•・•四边形488是矩形，

・•・尸是4c的中点.

/.PQ=^OA.

当1=2时，点力的坐标为(8,0),

：,CH=-OA=4.

2

，抛物线平移的距岗是4.

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题

的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性

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质，以及平移的性质.

Q

9.（2023•内蒙古通辽•统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=+与x轴交于

点，4。0）和点8,与y轴交于点。（0,-4）.

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）P是抛物线上一动点（不与点心B,。重合），作尸。_Lx轴，垂足为。，连接尸C.

①如图，若点尸在第三象限，且tan/CPZ）=2,求点。的坐标：

②直线尸。交直线8C于点E,当点E关于直线PC的对称点£落在y轴上时，请直接写出四边形PECF的

周长.

【答案】⑴》=#+沁4；⑵①尸（一9,—曾②苧或卷

33\oloy44

【分析】（1）将力，。两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a,C,进而求得结果；

（2）①设P/彳/+尸-4,过点C作CE1PD于点E,求出MCE,根据tan/CTO=当=2列出方程

求出x的值即可：②可推出四边形PEC9是菱形，从而得出PE=CE,分别表示出PE和CE,从而列出方

程，进一步求得结果.

【详解】（1）•・•抛物线y=a/+$+c（。工0）与x轴交于点4Q,0）,与y轴交于点C（0=4）,

.•.把4<1,0）,。（0,-4）代入）,=/+白+。（。工0）得，

8

Q+-+C=0

,3,

c=-4

=4

解得，一二3,

c=-4

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42

・••抛物线的函数解析式为yx—4；

JJ

,过点。作CE1PO于点E,如图,

ZPFC=ZCFZ)=90°,

•・•C(0,-4),

0C=4,

•・•PO_Lx轴，

，£PD。=90°,

又NQOC=90°,

・•・四边形OOCE是矩形，

・•.DE=OC=4,DO=CE=-x,

(AQ、4Q

PE=PD-DE=-\-x2+-x-4-4=-7一、

U3)33

CE

*：tan4CPD=——=2,

PE

——=2

48'

——X2——X

33

13

/.^=--,x=0(不合题意，舍去)

X2

.4,8)77

・・-x+-x-4=-----,

3316

•Pf上上］

18，16卜

/42\

②设Pm,-nr+-m-4,

I。。/

4848

对干y=5/+§x_4,当y=0时，—X2+jx-4=0,

高考史习材料

解得，XI=l,x2=-3,

・•・8(-3⑼,

•・,0C=4,

由勾股定理得，BC=JOB'+OC?=5;

当点P在第三象限时，如图，过点E作七/1，轴广点E,

则四边形。七/O是矩形,

EF=DO=—in,

丁点E与点石'关于PC对称，

:.AECP=/ECP,CE=CE',

•••尸石〃歹轴，

£EPC=NPCE;

.・.乙EPC=4ECP,

:・PE=CE、

:・PE=CE：

・•・四边形F£C£是平行四边形,

・•・四边形PECF是菱形，

-：EF//OA,

；.ACEF~KBO,

.CEEF

••正一而

.CE-m

••=9

53

高考夏习材料

CE=——w,

3

设直线BC的解析式为>'=去+b,

-3k+b=0

把8(fO),C(O,-4)代入得，•

b=-4

k-

解得,3,

b=-4

4

・•・直线BC的解析式为y=-§x-4,

/.《也一？?一4),

.D口(4284n412

..rb=--m+—m-4+---m-4=---m2---tn,

[33)I3)33，

又CE=—]〃,且PE=CE,

7

解得，W1=--,w2=0(舍去)

.E5(7、35

4I4j16

・•・四边形PECE1的周长C=4cf=4x35?35；

164

17

解得，=-—,ni2=0(舍去)

85

Z.CE=--x12

47,T?

高考史习材料

:.四边形的周长C=4CE=4x-^=一；

164

综上，四边形尸EC£的周长为与或号.

【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量.

4

10.(2023•四川自贡•统考中考真题)如图，抛物线卜=-§/+比+4与X轴交于/(-3,0),4两点，与V轴

(1)求抛物线解析式及8,C两点2标；

(2)以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得N/CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴抛物线解析式为尸一$、3+4,6(1,0),。(0,4)；(2)。(一2,-4)或。(-4,4)或。(4,4)；

(27、

(3)E-1,-

\/，

【分析】(1)将点力(-3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令xj=0,即可求得仇C两

点的坐标；

(2)分三种情况讨论，当力8,，4C,8C为对角线时，根据中点坐标即可求解；

(3)根据题意，作出图形，作力G_LCE交于点G,产为4c的中点，连接GO,G/，则4QCG在。尸上,

根据等弧所对的圆周角相等，得出6在),二一%上，进而勾股定理，根据FG==建立方程，求得点G的坐标,

2

进而得出CG的解析式，即可求解.

4

【详解】⑴解：•・•抛物线7=一工/+瓜+4与x轴交于力(-3⑼，

4,

Z.-yx(-3)-3Z>+4=0

解得：b==,

高考夏习材料

AQ

・••抛物线解析式为》=-：/一号丫+4,

当工=0时，y=4,

/.C(O,4),

4Q

当y=0时，0=——x2——x+4

33

解得：4=-3,%=1，

・•・8(1,0)

(2)VJ(-3,0),8(1,0),C(0,4),

设£>(/“,〃),

•・•以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

7H+0-3+14+〃0+0

当月为对角线时,

32~=2~T~

解得：m=-2,n=-4,

工。(-2,-4)；

-3+0l+m4+00+〃

当4c为对角线时,

2~~2y~2

解得：m=T,〃=4

・•・D(-4,4)

-3+m0+10+40+〃

当8c为对角线时,

2

解得：m=4,”=4

・••可4,4)

综上所述，以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，。(-2,-4)或仪-4,4)或0(4,4)

(3)解：如图所示，作NG_LCE交于点G,厂为力C的中点，连接GO,G尸，

高考史习材料

・♦・△/GC是等腰直角三角形，

・•・4,0,CG在O尸上,

•・14(-3,0),C(0,4),

(3、,_________15

***F--»2*AC=y]AO2+C01=5»GF=-JC=-

\^/LL

'：/?1OG=N/1CG=45°,

・・・G在y=-x上，

3)

设G(1,T),则G「2=+(*2)2=

.2J2>

解得："-”=。(舍去)

77

・••点

GT2

设直线CG的解析式为y=H+4

77

・••一=-k+4

22

解得：女=g.

・•・直线CG的解析式y=；x+4

•.•,4(—3,0),5(1,0),

・•・抛物线对称轴为直线x==小=->

1,、27

当尸—1时，,X(-1)+4=-y-,

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾

高考夏习材料

股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

11.（2023•四川达州•统考中考真题）如图，抛物线y=a/+bx+c过点力（-l,0）,4（3,0）,C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出WBC的最大面积及此时点P的坐标；

（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以为边，点从CA/、N为顶

点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=--+2x+3；（2）AP8C的最大面积为（3）存在，（4,g）或卜,一行）或

（-2,旧+3）,（-2,-加+3）,见解析

【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；

（2）利用待定系数法先确定直线8C的解析式为W+3,设点尸卜,*+2》+3）（00<3）,过点P作

PQ_Lx轴于点。，交BC于点、E,得出「E=-X2+3X，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；

（3）分两种情况进行分析：若8c为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可.

【详解】⑴解：将点4（-l,0）,E（3,0）,C（0,3）代入解析式得:

a-b+c=0

'9〃+3〃+c=0,

。二3

a=-1

解得：6=2,

c=3

・•・抛物线的解析式为y=-/+2x+3；

（2）设直线8c的解析式为y=h+6,将点5、C代入得:

高考史习材料

同+6=0

[b=3'

解得：[『I，

0=5

・•・直线BC的解析式为y=-X+3,

•/8(3,0),

：.OB=3,

设点2卜,^2+2%+3)(0〈工＜3),过点P作尸。_Lx轴于点。，交8c于点E,如图所示:

:.PE=-x2+2x+3-(-x+3)=-/+3x,

114g377

•••S、pw・=—xPExOB=—x(-+3x)x3=—x"H—x=—x—H----,

""22v)222(2)8

327

・••当x=1时'APBC的最大面积为"，

o15

-/+2.r+3=--+3+3=—,

44

(33存在,N(2,2)或卜,炳)或［，-后)或卜2,加'+3),(T-Vii+3),证明如下:

・・・8(3,0),。(0,3),

•・•抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,

工对称轴为：x=l,

设点M(U)，N(xj),

高考夏习材料

若8c为菱形的边长，菱形BCMN,

则8c2=。〃2,即18=12+（”3『，

解得：乙=47+3,Z2=-X/T7+3,

♦•'3+l=0+x

0+/=3+/

/.x=4,y=1-3,

・・・M（4而），M（4,-717）；

若BC为菱形的边长，菱形BCNM,

则8c'=8M?,即18=（3-1）+广，

解得：/,=V14,4=一加，

••3+x=0+l

0+y=3+/

x=-2,y=3+/,

・・・M（-2,x/n+3）,（-2,-714-f-3）：

综上可得：

（4,而）或（4,一后）或（一2,加十3）,（-2,-N/14+3）.

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四

边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

12.（2023•四川泸州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOp中，已知抛物线y=a/+2*+c与坐标轴

分别相交于点儿B,C（O,6）三点，其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式;

高考史习材料

(2)点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线4b分别与V轴，直线BC交于点Q,E.

①当CQ=C£时，求CQ的长；

②若A。!。，KDE,△CM的面积分别为S，昆，S3，且满足，+品=252，求点尸的坐标.

【答案】(l)y=-g/+2x+6：⑵①8-2应；②尸(4,6)

【分析】(1)根据抛物线对称轴为工=2,可得-27=2,求得。=—51,再将C(0,6)代入抛物线，根据待定系

数法求得%即可解答；

(2)①求出点8,点A的坐标，即可得到直线8C的解析式为y=r+6,设8=。，则。(0,6-〃)，求得

4Z)的解析式，列方程求出点£的坐标，最后根据CQ=CE列方程，即可求出。。的长；

②过E尸分别作力8的垂线段，交/出于点G”,过点。作EG的垂线段，交EG于点/,根据，+$3=28，

可得力。+跖=2。£,即空=!，证明△OE/s△力必，设厂",一?/+2〃+6],得到直线/F的解析式，

求出点。的坐标，即可得到点E的坐标，将点E的坐标代入y=r+6解方程，即可解答.

【详解】(1)解：根据抛物线的对称轴为x=2,

得年=2，

2a

解得。=-工，

2

将C(0,6)代入抛物线可得6=c,

•.・抛物线的解析式为y=~x2+2x+6；

1.

(2)解：当y=o时，W0=--r+2x+6,

解得M=6,x2=-2,

-2,0),8(6,0),

设。8的解析式为，=任+〃，将C(0,6),8(6,0)代入丁=履+工

,6=b

"|0=6〃+//

解得｛A「，

b=6

.•.CB的解析式为y=r+6,

高考夏习材料

设co=4,则0(0,6—a),

设力。的解析式为y=A1x+。，将。(0,6-a),4(-2,0)代入y+”,

10=-2ki+a

_6-a

解得(l2,

U=6-a

.:AB的解析式为y=等工+6—a,

y=-x+6

联立方程Xx+6-a'

I2

2a

解得飞一二

r=〜

根据CO=CE,得a=«且丫，

以8-/18-。)

解得《=8-2拉，%=8+2啦，

经检验，4=8-2拉，的=8+2也是方程的解，

•••点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，

二。在y轴正半轴，

:.a<6,

.•.4=8-2上

即CQ的长为8-2《；

②解：如图，过瓦尸分别作力8的垂线段，交48于点G,4,过点。作EG的垂线段，交EG于点/,

[OGH个x

高考史习材料

Sj+S3=2S2,

/.AD+EF=2DE,

DE1

/.——=一，

AF3

（i、

设Fh,--h2+2h+6,则4”=/?+2,

I27

•/EGLAB.FHLAB,

EG//FH,

NDEI=NAFB,

DI1EG,

ZDIE=90°,

:4DEIS*AFB，

I17I2

D/=yR=y即点。的横坐标为:/?卜j,

EI=-FH=--h2+-h+2

363t

设"的解析式为^=网》+打，将力（一2,0）,尸（力,-；/+2人+6

0=-2k2+b2

代人得1/2k，

--/r+2h+6=kji+b2

k）=--/z+3

解得22,

b-,=-A+6

：.AF的解析式为y=（一；〃+3）x-h+6,

P（0,—/z+6）,BpDO=—h+6,

NDOG=90。，

••・四边形OOG/是矩形，

/.IG=DO=—h+6,

:.EG=EI+IG=--h2--h+8,gp-A+-,--A2--A+8

63（3363

将—,—h~—〃+8代入y=-x+6,

\3363J

得_"_1。+8=-。_。6,

6333

解得4-4,h2--4<0（舍去），

高考夏习材料

，尸（4,6）.

【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，

两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的