2025秋九年级数学上册第26章解直角三角形综合素质评价新版冀教版

第1页第二十六章综合素质评价一、选择题（共12个小题，每个3分，共36分）1．[［2024天津］]2cosA.0 B.1 C.22-【答案】A2．3tan(α+10∘A.40∘ B.30∘ C.20【答案】C3．把△ABC各边的长度都按相同的比例缩小得到△A'B'A.tanA=C.3tanA【答案】B4．已知∠A为锐角，且tanA=A.0∘<∠C.45∘<∠【答案】D5．如图，点A，B，C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC（第5题）A.13 B.14 C.1【答案】C【点拨】如图，取格点D,连接BD，由勾股定理，得AB=BD=AD=∴B∴△ABD∠ADB∴tan∠BAC=tan∠BAD6．如图，在△ABC中，∠C=90∘，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示.若设该直角三角形的三边长分别为a（第6题）A.cscB⋅sinC.cscA⋅cos【答案】C7．一名测量技术员在一个高为h（忽略身高）的建筑物上，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30∘，与地面的俯角为60A.23h B.45h【答案】C【点拨】如图，过A作AE⊥BC于E，则∵在Rt△ACE中，CE∴AE∴在Rt△AEB中，BE∴BC=BE8．如图所示，用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，其中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为4，∠α为直角三角形中的一个锐角，则∠（第8题）A.2 B.255 C.1【答案】B【点拨】∵小正方形与每个直角三角形的面积均为4,∴大正方形的面积为20，小正方形的边长为2，∴大正方形的边长为25.设直角三角形较短的直角边长为a(a>0),则较长的直角边长为a+2，∴a2+(9．如图，AD是△ABC的中线，AD=5，tan∠BAD=（第9题）A.5 B.210 C.25【答案】B【点拨】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为D，过点A作AF⊥DC，垂足为∵AD=5，tan∠BAD=∵AD是△∴S∴12×AB×∴在Rt△BDE中，BD易知BD=∵S△ADC∴在Rt△ADF中，DF∴FC∴在Rt△AFC中，AC10．宽与长的比是5-12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，AB'交CD于点（第10题）A.55 B.12 C.3【答案】A【点拨】由题意，令AD=BC=(5-∵四边形ABCD是矩形，∴AB∴∠DCA=∠BAC，∴∠令DE=x，则在Rt△ADE中，AD2解得x=5-1211．[［2025沧州校级模拟］]如图是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与（第11题）A.(30-C.(15-【答案】A【点拨】如图，延长BP交AM的延长线于点J，连接OP，OM，OJ，PM，OJ交PM于点K.∵∠OAJ=∠OBJ=90∴△OAJ≌△OBJ，∴∵∠AOB∴∠JOA∴∠PJO∵OA∴AJ由题意知PB=∴PJ又∵∠PJO∴JK⊥PM，PK∴PM故选A.12．对于题目“如图，AB⊥BC，AB=BC=6，P为线段AB上一动点，Q为点A关于点P的对称点.连接CQ.当△BCQ有一个内角为30∘时，求（第12题）A.只有甲的答案对B.甲、乙两人的答案合在一起才完整C.甲、丙两人的答案合在一起才完整D.甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整【答案】B【点拨】如图①，当点Q在线段AB上，∠QCB在Rt△QBC中，QB∴AQ如图②，当点Q在线段AB的延长线上，∠QCB同理，可求得QB=∴AQ=AB即点P在线段AB上，此种情况符合条件；如图③，当点Q在线段AB的延长线上，∠CQB在Rt△CBQ中，QB∴AQ=AB即点P不在线段AB上，此种情况不符合条件.综上，甲、乙两人的答案合在一起才完整.故选B.二、填空题（共4个小题，每个3分，共12分）13．已知cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，则cos15∘=__【答案】6+14．[［2025秦皇岛校级月考］]若关于x的方程x2-2x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___【答案】60∘15．如图，货船A在灯塔P的北偏西60∘方向，客船B在灯塔P的东北方向，客船B在货船A的正东方向，如果货船A与客船B相距50km，那么客船B与灯塔P的距离是____________km（第15题）【答案】(25【点拨】过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCB=∠PCA=90∘，由题意得∠CPB=45在Rt△ACP中，tan∠CPA=ACCP，∴16．如图，在平面直角坐标系中，A(3,（第16题）（1）∠ABO=（2）若D(m,3)(m>0)，把Rt△AOB沿着AB折叠得到Rt△AEB，若tan∠AED=32【答案】（1）60（2）7【解析】（1）【点拨】∵A(3,0)，B(0,3)（2）【点拨】连接BD并延长，交AE于点F，过点D作DG⊥AE于点G，∵B(0,3)，D(m,3)，∴BF//OA，∴∠DBA=∠BAO=30∘，由折叠知∠EBA=∠OBA=60∘，BE=OB=3，AE=OA=3，∴∠EBD=∠EBA三、解答题（共72分）17．（8分）计算：（1）tan45（2）3tan【答案】（1）【解】原式=1（2）原式=318．（10分）如图，在△ABC中，sinB=13，tan【解】过点A作AD⊥BC于点设AD=x，在Rt△ABD∴AB∴BD在Rt△ACD中，tan∴CD∵BD∴22x∴AD=1在Rt△ACD中，由勾股定理得AC19．（12分）桑梯（如图①）是我国古代发明的一种采桑工具，其示意图如图②所示，已知AB=AC=1.5m，AD=1.2m，AC与AB的张角为α，为保证安全，α（1）求绳索BC的长的最大值；（2）当α=40∘时，求桑梯顶端D到地面BC的距离.（参考数据：sin70∘≈0.94【答案】（1）【解】由题意得，当∠BAC=α∵AB∴此时△ABC∴BC即绳索BC的长的最大值为1.5m（2）过点D作DE⊥BC，垂足为∴∠DEC∵AB=AC∴∠ABC∵AD=1.2∴在Rt△DEC中，DE∴桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54m20．（12分）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A处的俯角为60∘，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为45∘，AP=10m，AB=8（1）求斜坡l的坡度；（2）求点M与点N的高度差.【答案】（1）【解】如图，过B作BE⊥AP于在Rt△ABE中，∵AB=∴AE∴斜坡l的坡度=BE（2）如图，过B作BF⊥MP于则EP=BF=(易知∠MBF=45∵∠ANP=90∴PN∴NF∴MN答：点M与点N的高度差为(1421．（14分）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB垂直于BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10cm，BC=（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度；（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=34(【答案】（1）【解】过点C作CE⊥AD，垂足为由题意得AB=CE=∵AD=50∴在Rt△CED中，CD∴可伸缩支撑杆CD的长度为1010（2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'由题意得四边形ABFG为矩形，∴AB=FG=10∵在Rt△ADG中，tan∴设DG=3xcm∴AD∵AD=50cm，∴AG=40∴BF=AG又∵BC∴CF∴在Rt△CFD中，CD∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20522．（16分）如图，在△ABC中，∠BCA=90∘，AC=8，sinB=45，点D是斜边AB的中点，点E是边AC的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，连接PE，作点C关于直线EP（1）AB的长为；（2）求PF的长（用含x的代数式表示）；（3）当点F落在直线CD上时，求x的值；（4）当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x【答案】（1）10（2）【解】∵点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，AB=10∵DP长为x，∴∵点C关于直线EP的对称点为点F，∴PF（3）如图①，当点F落在直线CD上时，PC⊥∵点E是边AC的中点，∴CE∵D为A