2025-2026学年（苏科版）数学八年级上册3.1勾股定理的探究培优训练 有答案

/苏科版数学八年级上册3.1勾股定理的探究培优训练一、折叠问题1．如图，Rt△ABC，∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合。若AB=6，AC=8，则折痕DE的长为（）

A．4 B．154 C．5 D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3．将△ABC折叠，使点C与边A．23 B．56 C．2 3．如图，三角形纸片中，AB=AC，BC=24，∠C=30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为.4．如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为．5．长方形ABCD中，AB=4，BC=3，P为AD上一点，将△ADP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点①求证：DP=EG②求6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，点D在AB边上运动，△CDB沿着CD折叠得到△CD（1）如图2，若AC=3，CB'（2）当△AB'（3）若AC=3，△EDB7．已知在直角三角形ABO中，OA=8，OB=6，D为斜边AB（1）OD=（2）如图1，连结BC交OD于点E．当∠CBO①求证：OD⊥②求△BEO（3）如图2，连结CD，将△ACD沿着CD折叠得到△A'CD．当A'8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点（1）把△ABC沿着过点P的直线折叠，使点A与点B重合，请求出此时t的值．（2）是否存在t值，使得△ABP为等腰三角形？若存在，求出t（3）现把△ABC沿着直线BP翻折，当t为何值时，点C翻折后的对应点C'恰好落在直线AB二、全等构造法（一线三等角、旋转手拉手）9．（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6，以AC为边在△ABC（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，若10．如图1，P是等边△ABC内一点，连结AP,BP．将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段B（1）求证：△APB（2）如图2，连结CP,①当∠APB=130°，且△C②当PB=2,AB=6，且PB∥C11．如图，△ABC中，∠B=90°，BC=8，BC上一点（1）若AD平分∠BAC，求点D到AC（2）若点D恰好在AC的垂直平分线上，求△ABD三、手拉手构造12．已知P为等边△ABC内一点，PA=1,PB=2,∠13．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ.若PA=6，PB=8，PC=10四、等腰三角形分类讨论14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AC=13,（1）BC=（2）求斜边AC上的高线长．（3）①当P在AB上时，AP的长为，t的取值范围是．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB15．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm（1）出发2秒后，求PQ的值；（2）从出发几秒钟后，△PQB（3）当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ16．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=5,（1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为___；（用含t的代数式表示）（2）若点P在∠ABC（3）在整个运动中，直接写出△ABP五、新定义三角形17．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．（1）如图，在△ABC中，AB=AC=5（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=618．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”．（1）判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”）（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C（3）如图3，在△ABC中，A=42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△19．根据以下素材，探索解决问题．如何作出“倍角三角形”？素材如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”问题解决项目操作如图1，△ABC中，AB=AC，∠项目探索若△ABC是倍角三角形，∠A>∠B>∠C，项目拓展如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，点E在CA延长线上，若AE=AB

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】284．【答案】35．【答案】证明：①∵四边形ABCD为矩形

∴∠A=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=3

由翻折可得：∠A=∠E=∠D=90°

∵OD=OE，∠DOP=∠EOG

∴△PDO≌△GEO

∴DP=EG

②∵△PDO≌△GEO

∴OG=OP

∵OD=OE

∴DG=PE=PA

设AP=x，则PD=EG=3-x，DG=AP=x

∴BG=BE-EG=1+x，CG=DC-DG=4-x

在Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2

即32+(4-x)2=(1+x)2

解得：x=2.4

∴AP=2.46．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∵BC=4，AC=3，

∴AB=AC2+BC2（2）解：根据翻折可得BC=B'C,BD=B'D，当△AB'C为等腰直角三角形时，

如图，当点B'在AC的右侧时，

则AC2=AB'2+CB'2=2CB'2或AC2（3）解：如图，当∠B'DB=90°时，过点C作CH⊥AB，则∠HCD=∠HDC=45°，

∴HD=CH=2.4，

∴HB=BC2−CH2=42−2.42=3.2，

∴BD=3.2−2.4=0.8，

∴当0<BD<0.8时，△B'DE为钝角三角形．

如图，当CB'⊥AB时，△EDB'是直角三角形，

则CE=2.4，BE=BC2−CE2=42−2.42=3.2，B'E=4−2.4=1.6，

设BD=x，则B'D=x,ED=3.2−x，

7．【答案】（1）5（2）①证明：∵∠AOB=90°

∴∠ABO+∠BAO=90°

∵D为斜边AB中点，

∴OD=BD=AD，

∴∠DOB=∠DBO；

∵∠CBO=∠BAO，

∴∠OEC=∠DOB+∠CBO=∠DBO+∠BAO=90°，

即OD⊥BC；

②解：由（1）知，OD=BD=5；（3）解：当A'D∥OA时，如图，则∠A'DC=∠ACD，

由折叠知，∠ADC=∠A'DC，

∴∠ADC=∠ACD，

∴AC=AD=5；

当A'D∥OB时，连接OD，如图，

则∠DEA=∠BOA=90°；

∵OD=AD=12AB=5，

∴AE=OE=12OA=4，

由勾股定理得：DE=AD2−8．【答案】（1）解：根据勾股定理，可得：AC=AB2−BC2=52−32=4，

由折叠性质知：DP垂直平分AB，

∴AP=BP=t，CP=4-t，

在直角三角形BCP中：BP2-CP2=BC2，

（2）解：存在，△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AP=AB=5时，t=5；

②当PA=PB时，由（1）知：t=258；

③当AB=BP时：AP=2AC=8

∴t=8，

综上所述，当△ABP（3）解：分成两种情况：①当点P在线段AC上时，如图2，由折叠性质知：PC=PC'，∠AC'P=∠ACB=90°，BC'=BC=3，

∵AP=t，

∴PC=PC'=4-t，BC'=BC=3，

∴AC'=5-3=2，

在直角三角形APC'中：AP2-PC'2=AC'2，

∴t2-(4-t)2=22，

解得：t=52；

②点P在AC的延长线上时：如图3，由折叠性质知：PC=PC'，A'C=AC=4，A'B=AB=5，

∵AP=t，

∴PC=PC'=t-4，A'C=A'B+BC=5+3=8，

在直角三角形A'CP中：A'P2-PC2=A'C2，

∴t2-(t-4)2=82，

解得：t=10.

图3

综上，t的值为52或10时，点C翻折后的对应点C'恰好落在直线AB9．【答案】解：（1）∵∠B=∠E=∠ACD，∠B+∠ACB+∠A=∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°，

∴∠ACB+∠A=∠ACB+∠DCE，

∴∠A=∠DCE，

在△ABC和△CED中

∠A=∠DCE∠B=∠EAC=CD

∴△ABC≌△CEDAAS，

∴AB=CE=8,BC=ED=4，

∴BE=BC+CE=12；

（2）延长BC，作∠DFC=60°，过点D作DH⊥BC于H，如图所示：

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°=∠ABC=∠DFC,AC=CD，

∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠FCD=120°，

∴∠BAC=∠FCD，

在△ABC和△CFD中

∠BAC=∠FCD∠ABC=∠DFCAC=CD

∴△ABC≌△CFDAAS10．【答案】（1）由题意可得：PB=∵△ABC∴AB∴∠ABC∴∠ABP在△APB和△AB=∴△APB（2）①∵PB∴△BP∴∠BPC由（1）知：△BAP∴∠C∴∠C∵△C∴PC=PP'当PC=PP∴∠CP∴∠CPB当PC=P'∴∠CPB当PP'∴∠CPB综上，当△CP'P为等腰三角形时，∠CPB的度数为100°②3311．【答案】（1）3（2）1212．【答案】513．【答案】24+9314．【答案】（1）12；（2）解：如图1，过点B作BD⊥AC于点∵S∴BD∴斜边AC上的高线长为6013（3）①3t−13，13（4）解：∵△PAB是以AB为一腰的等腰三角形，

①如图，当AB=AP=5∴t②如图，当AB=BP=5时，过点B作BD由（2）知BD=∴AD∵AB=BP∴AP∴CP∴t综上所述，△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为83或15．【答案】（1）解：出发2秒后，AP=1×2=2cm，所以BP=因为∠B=90°，根据勾股定理，（2）解：设从出发t秒钟后，△POB此时BP=8−t，当BP=BQ时，8−t（3）解：①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，AC=BC2+AB2=6+82=10cm，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5cm，

∴BC+CQ=11cm，

∴t=11÷2=5.5秒，

②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ16．【答案】（1）2（2）5（3）t的值为2516或517．【答案】（1）证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB=AC，AD⊥BC，BC=2，

∴AD是BC边上的中线，BD=12BC=12（2）解：如图，若Rt△ABC是“梦想三角形”，

∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，

∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，

有以下两种情况：

①当AC边上的中线BD=AC=6时，CD=12AC=12×6=3，

此时，BC=BD2−CD2=62−318．【答案】（1）假（2）解：存在“和谐分割线”，理由如下：作∠CAB的平分线AD交BC于点D，如图2:

∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

∴∠CAD=∠DAB=30°，

在Rt△ACD中，∠ADC=60°，

∴△ACD的三个内角与△ABC的三个内角相等，

∵∠DAB=∠B=30°，

∴△ABD是等腰三角形，

∴AD是“和谐分割线”；

过点（3）解：

①如图所示：

当DC=DB时，

∴∠B=∠DCB，

根据“和谐分割线”的概念可知，∠B=∠ACD，

∴∠B=∠ACD=∠DCB，

∴∠ADC=2∠B，

∴∠B+2∠B+42°=180°，

解得∠B=46°；

②如图所示：

当BC=BD时，

∴∠BDC19．【答案】解：项目操作：如图所示