高等数学实例教程 教案 课堂教学设计6 不定积分及其应用

课堂教学设计单元6不定积分及其应用(6-6)6.6有理函数及可化为有理函数的不定积分6.6.1简单有理函数的不定积分有理函数是指两个多项式之商的函数，即，其中：是非负整数，并且假定P(x)与Q(x)之间没有公因子．若，则称为有理真分式；若，则称为有理假分式．任何假分式都可以通过多项式除法化成一个多项式和一个有理真分式的和的形式．例如．次实系数多项式在实数范围内总可以分解成一次因式（可能有重因式）与二次质因式的乘积，然后就可以把真分式按分母的因式，分解成若干个简单分式之和．（1）当含有一次因式时，分解后对应有形如的部分分式，其中为待定常数．（2）当含有重一次因式时，分解后下列个部分分式之和：，其中A1，A2，…，Ak为待定常数．（3）当含有质因式时，分解后对应有形如的部分分式，其中为待定常数．（4）当含有质因式时，这种情况积分过于复杂，在此不讨论．（5）当既有因式又有质因式时，分解后有下列个部分分式之和：例如：＝，真分式经过上面的分解后，它的积分就容易求出了．【示例6.22】：求．解：由于，去分母，得合并同类项，得比较两端同次幂的系数，得方程组，解得于是，所以【示例6.23】：解：由于去分母，得合并同类项，得比较两端同次幂的系数，得方程组，解得于是所以=6.6.2可化为有理函数的简单无理函数的不定积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去，化为有理函数的积分．【示例6.24】求．解：设,即,则．6.6.3求三角函数的不定积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，用于三角函数有理式积分的变换:把sinx、cosx表成的函数,然后作变换，，．变换后原积分变成了有理函数的积分．【示例6.25】：求解：令，则，，x2arctanu，．于是【说明】:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分，例如，．【实例精讲】【实例6-6】求简单有理函数的不定积分【问题描述】（1）求．（2）求．（3）求．（4）求．【问题求解】（1）．（2）6ln|x3|5ln|x2|C．（3）7ln|x2|4ln|x1|C．（4）．【提示】：．【实例6-7】求简单无理函数的不定积分【问题描述】（1）求．（2）求．【问题求解】（1）设，即．则．（2）设，即．于是．【实例6-8】求三角函数的不定积分【问题描述】（1）求．（2）求．【问题求解】（1）作变换，则有，，．（2）．教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元6不定积分及其应用(6-7)知识目标掌握不定积分应用的相关知识，理解不定积分的疑难问题技能目标灵活应用不定积分解决实际问题态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用不定积分知识解决实际问题教学重点应用不定积分解决实际问题教学难点应用不定积分解决实际问题教学资源参考书《高等数学》——同济四版作业【应用拓展】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入明确教学目标、教学重点难点，熟悉教学方法讲授法5’释疑解难【问题6-1】函数的一个原函数就是该函数的不定积分吗？【问题6-2】初等函数在其定义区间上都可积分吗？【问题6-3】“微分运算”和“积分运算”互为逆运算【问题6-4】第一换元法与分部积分法的共同点是第一步都是凑微分【问题6-5】不定积分=是否正确？【问题6-6】不定积分=-cosx+C是否正确？启发式教学法70’应用求解【日常应用】【应用6-1】求自由落体运动的速度方程和运动方程【经济应用】【应用6-2】根据产品的边际成本求总成本与产量的函数关系【电类应用】【应用6-3】求电路中电流关于时间的函数【应用6-4】求电路中电容上的电量关于时间的函数【机类应用】【应用6-5】求曲柄连杆机构中滑块的运动方程启发式教学法同步训练【应用拓展】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿课堂教学讲稿单元6不定积分及其应用(6-7)【释疑解难】【问题6-1】函数的一个原函数就是该函数的不定积分吗？【问题6-2】初等函数在其定义区间上都可积分吗？【问题6-3】“微分运算”和“积分运算”互为逆运算【问题6-4】第一换元法与分部积分法的共同点是第一步都是凑微分【问题6-5】不定积分=是否正确？【问题6-6】不定积分=-cosx+C是否正确？【应用求解】【日常应用】【应用6-1】求自由落体运动的速度方程和运动方程【问题描述】一物体在地球引力的作用下开始作自由落体运动，重力加速度为g．（1）试求自由落体运行的速度方程和运动方程．（2）如果一只球从一幢楼的楼顶掉下，8秒钟落地，求这幢楼的高度．【问题求解】（1）由于物体只受地球引力的作用，由加速度与速度的关系，有a==g，且t=0时，v=0，积分后得：v==gt+C，将v(0)=0代入上式，得C=0，所以作自由落体运动的速度方程为：v=gt．又由v=，积分得：s==+C，将s(0)=0代入上式，得C=0，所以自由落体运动的运动方程为：s=．（2）因球做的是自由落体运动，所以它满足运动方程s=，将时间t=8代入上式，可得楼顶距地面的高度h为：h=g·82=32g．如果重力加速度取g=9.8m/，可得这幢楼的高度为：h=313.6(m)．【经济应用】【应用6-2】根据产品的边际成本求总成本与产量的函数关系【问题描述】某公司生产一种电器产品，已知每月生产产品的边际成本是，且固定成本为5000元，求总成本C与月产量Q的函数关系．【问题求解】因为所以C(Q)==2Q+7·=2Q+21（C1为任意常数）．又因为Q=0时，C=5000，所以C1=5000，从而有C=5000+2Q+21．【电类应用】【应用6-3】求电路中电流关于时间的函数【问题描述】已知一电路中电流关于时间的变化率为，若t=0时，i=2A，求电流关于时间的函数．【问题求解】因为，所以i==，而t=0时，i=2，于是C=2，所以电流关于时间的函数为：i=．【应用6-4】求电路中电容上的电量关于时间的函数【问题描述】如图6-5所示的RC串联电路中，设任意时刻t的电流i=，求电容C上的电量q=q(t)满足的函数式？（假设电容没有初始电量）．【问题求解】因为i=所以q==-+++C根据题意可知：t=0时，q=0，于是-+++C=0C=-=-所以，电容C上的电量q=q(t)满足的函数式为：q=++-．【机类应用】【应用6-5】求曲柄连杆机构中滑块的运动方程【问题描述】建筑机械中经常采用曲柄连杆机构，把圆周运动转化为直线运