专题13三角函数的应用（举一反三讲义）数学北师大版九年级下册（原卷版）

专题1.3三角函数的应用（举一反三讲义） 【北师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1仰角俯角问题】 2【题型2方向角问题】 4【题型3坡度坡角问题】 5【题型4实物建模问题】 7【题型5物理实验问题】 9【题型6方案设计问题】 11【题型7临界值问题】 14【题型8其它问题】 16知识点解直角三角形在实际问题中的应用1.利用解直角三角形解决实际问题的步骤：（1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．2.常见类型（1）仰角、俯角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．如图（1）所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把∠AOC称为仰角，∠BOC图（1）图（1）图（2）（2）方位角正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角．如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°．（3）坡度、坡角坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=hl，坡度通常写成坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作α，于是有i=tan【题型1仰角俯角问题】【例1】2025·贵州遵义·二模）2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面DF下500米A点处测得俯角为28°正前方的海底C点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：tan28°≈0.53）．【变式11】（2025·河南驻马店·模拟预测）汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门PQ的高度（PQ垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点A处，在此处测得汝南北城门顶端P的俯角为25°，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行6.06m到达点B，此时测得妆南北城门底端Q的俯角为45°，若A, B, P, Q在同一平面内，求汝南北城门【变式12】（2025·贵州遵义·模拟预测）近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园D处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑AC．小刚想测量纪念碑AC的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是1.6米．若小刚站在水平地面D处用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为65.6°，径直向后退6米到F处，又用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为56.5°．(1)请你帮助小刚在图2上补全他设计的测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）；(2)根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑AC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：tan56.5°≈1.5，【变式13】（2025·陕西西安·模拟预测）陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下：如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿DE方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器GF，测得塑像顶端C的仰角为51.3∘．测得眼睛离地面高度AB=1.6米，BE=2米，EF=4米，GF=1.4米，AB⊥BD，GF⊥BD，CD⊥BD.求塑像CD的高度.(平面镜大小忽略不计，参考数据：sin51.3∘【题型2方向角问题】【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇家位于学校正东方向200m处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西53°方向，距离学校500m(1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图；(2)求体育馆到淇淇家的直线距离；(3)若淇淇步行从家出发，先以50m/min的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以60m/min的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以80m【变式21】（2025·河南信阳·三模）我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东53°方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据：sin53°≈【变式22】（2025·重庆·模拟预测）2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场，对面就是朝天门，小明同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的A点或者弹子石的D点观看演出．小明根据所学知识画了如图所示的方位图，B为朝天门，C为春晚主舞台所在地弹子石广场，C在A的北偏东60°方向，B在A的东南方向的1200米处，C在B的北偏东15°方向，D在C的北偏西30°方向的6002米处，且D在B的正北方向，AC与BD交于点E．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73(1)求B，C两地间的距离；(2)小明查资料得知，当观看地点到B，C的距离之和越小，观看效果越佳，请通过计算说明小明应在A，D两处中选择哪一处观看？【变式23】（2025·重庆·模拟预测）周末，小智和小慧去参加户外趣味闯关活动，如图是活动场地图，共有两条赛道，出发点均为A，终点C在出发点A的正北方向，赛道1的任务点B在出发点A的西北方向3002米处，终点C在任务点B的北偏东60°方向；赛道2的任务点D在出发点A的北偏东75°方向，终点C在任务点D的西北方向．（参考数据：(1)求出发点A与终点C之间的距离；（结果精确到个位）(2)小智选择赛道1且以每秒2米的速度从出发点A到达任务点B，做任务花费2分钟，然后以原速前往终点C，小慧选择赛道2且以每秒3米的速度从出发点A到达任务点D，做任务花费3分20秒后以原速前往终点C，请你通过计算，判断谁先到达终点C．【题型3坡度坡角问题】【例3】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与CD平行），层高AD为8m，坡角∠ACD=20°．（1）要使身高1.8m的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段（上坡段自动扶梯）、EF段（水平平台，即EF∥DC）、FC段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．AE段和FC段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过1:2，商场希望尽可能延长平台EF的长度，以方便顾客休息．（2）求出平台EF的最大长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin20°取0.34，cos20°取0.94，【变式31】（2025·山西吕梁·三模）2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息：①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑；②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角∠ABC=26.5°，∠DCB=30°，∠DEC=45°，坝顶AD=5米，坝底黏土宽度BE=17.5米，且AD∥BC，点B，E，请根据上述数据，计算背水坡CD的长．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，【变式32】（2025·山西晋城·三模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构.小明及其学习小组想知道山上信号钢支架AB的高度，在山脚D处测得信号钢支架顶端A的仰角为45°，沿着斜坡从点D走到点E处测得信号钢支架顶端A的仰角为70°，已知DE的坡度为3:4，学习小组画出如图所示的示意图，AC⊥DC于点C，EB⊥AC于点B，DE=50米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架AB的高度．（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，【变式33】（2025·江西上饶·模拟预测）滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡AB，斜坡AB的坡度i=1:3，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角∠DBE为60°，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°(1)求斜坡的高度AC；(2)求滕王阁的高度DE．【题型4实物建模问题】【例4】（2025·广西梧州·三模）如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=142°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高的高度为．（结果精确到0.01）（参考数据：sin52°≈0.79，cos【变式41】（2025·河北邯郸·三模）如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形ABCD，点D落在底座GH上（底座厚度忽略不计），起钉时∠CDH=15°．已知AD=AN=2cm，MN=12cm，∠MND=135°，且(1)求起钉时∠NDG的大小；(2)求起钉时点M到底座GH的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：sin15°取0.26，cos15°取【变式42】（2025·江苏盐城·三模）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A．CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．(这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分)．已知(1)∠CAB的度数(2)点P距离地面的高度．(结果精确到1cm．参考数据∶sin【变式43】（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔（jiégão），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．当水桶在井里时，∠AOD=120°．如图2，此支点O到小竹竿AC的距离是米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时【题型5物理实验问题】【例5】（2425九年级上·福建莆田·期中）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n=sinαsinβ称为折射率（其中观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，GH为法线，测得BF=36cm，DF=48cm(1)求入射角α的度数；(2)若光线从空气射入水中的折射率n=43，求光斑移动的距离【变式51】（2025·辽宁抚顺·三模）物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放的镜框是否稳固，与桌面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关．角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险．角度过大，镜框易倾倒．经过多次实验，发现在图1中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在60°至75°之间较为稳固．图中镜框AB长5分米，靠在竖直的墙AO上．(1)AO等于3分米时镜框是否较为稳固？请说明理由；(2)保证镜框较为稳固时，求出BO的可调节范围（BO最大值与最小值的差）大约是多少分米？（结果精确到0.1分米）．（参考数据：3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259（参考知识：当0°<α<90°，sinα随α的增大而增大，cosα随【变式52】（2425九年级上·辽宁·期末）在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度．如图一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车．若该人水平向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为v．将v按照题干所述方式分解为v1和v2，与绳和地面的位置关系如图所示．若v=10m/s(1)求绳子运动的速度和v2(2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为40m，绳子由滑轮到人的距离为5m，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos【变式53】（2025·内蒙古·模拟预测）无动力帆船是借助风力前行的，如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力P为800N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被能的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F=AD=800【题型6方案设计问题】【例6】（2025·湖南·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．课题探究物理实验装置中的几何测量问题成员组长：×××组员：×××，×××，×××实验工具木块、测角仪、皮尺、摄像机等测量方案示意图方案一(已知PC⊥AC)方案二(已知PB⊥AC)说明点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置测量方案一AB=3.55米，∠PBC=48°，∠PAB=22°方案二AC=7.7米，∠PCB=48°，∠PAB=22°请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离．(结果精确到0.1米，参考数据：，tan48°≈1.11，tan【变式61】（2025·贵州遵义·二模）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表：项目课题测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度测量工具拍摄三角支架CF为0.8m，标杆为BE为1.6测量情况情况一情况二测量方案示意图说明BE⊥AB，EH⊥ADBE⊥AB，FC⊥AB，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上数据AB=8m，AB=8(1)求“多彩贵州吉祥蛇”AD的高度；(2)求支架到标杆的水平距离BC的长度（精确到0.1m）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82【变式62】（2025·海南海口·三模）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图

说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN测量数据∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9请你根据上表中的测量数据回答以下问题：(1)∠BCA=______°，∠ABM=______°；(2)计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37【变式63】（2025·安徽合肥·模拟预测）综合与实践某校致学社团的同学们想要利用所学的知识测量一棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表．课题测量银杏树AB的高度测量工具测量角度的仪器、皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点C，D在点B的正西方向．GH是银杏树旁的房屋．EF是银杏树正西方向的指路牌，借助EF进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方．测量数据∠C=37°，∠ADB=60°，CD=12m∠AGE=37°，∠BGE=45°．EF=9m∠P=37°，∠AFB=60°．(1)第________小组的数据无法计算出银杏树的高度；(2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan【题型7临界值问题】【例7】（2025·江苏·二模）随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座AB与地面垂直，基座AB=1米，大臂BC=2米，小臂CD=3米，大臂与水平线的张角为α，小臂与大臂的张角为β，其中30°≤α≤60°,15°≤β≤90°（图中点线在同一个平面内）．(1)经过实验发现，当β取最大值，且点D、B、A三点共线时（如图2），抓手D距离地面高度最大，则抓手D距离地面的最大高度是米．（结果保留根号）(2)设抓手D到直线AB的水平距离为r．①当α=40°,β=73°时，求r的值．②当α=60°时，则r的最大值为米（结果保留两位小数，参考数据：sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,【变式71】（2025·吉林四平·模拟预测）如图是某电脑显示器示意图，由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC的中点O固定在支架直杆OP的一端，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知AB=36cm，∠BAC=58°．为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，求支架直杆OP的最小值（结果精确到1cm，参考数据：tan58°≈1.60，cos58°≈0.53【变式72】如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图2，长度MC=180厘米，AM=50厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，AM与地面ME成45°角，AB∥ME，椅背BC与水平线成30°角，其中BP是躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于30°(1)若点B恰好是MC的分割点(MB>BC)，人躺在上面才会比较舒适，求此时点C与地面的距离．（结果精确到1厘米）(2)午休结束后，老师会把AM和伸缩支架BP收起紧贴AB，在（1）的条件下，求伸缩支架BP可达到的最大值．（结果精确到1厘米）（参考数据：2≈1.4，3≈1.7【变式73】（2025·山西·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线MN轴对称，线段PE和PF是可伸缩连接杆，点E，F的位置固定不变，在海浪波的带动下点P处齿轮组可以在MN上来回滑动生成动力．已知AB∥CD，AB=2m，CD=4.8m，MN=9.82m，∠EAB=127°，∠ECD=118°【题型8其它问题】【例8】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与CD平行），层高AD为8m，坡角∠ACD=20°．（1）要使身高1.8m的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段（上坡段自动扶梯）、EF段（水平平台，即EF∥DC）、FC段（上坡楼梯），