复附高三上11月数学第一次测试

复旦大学附属中学2025—2026学年第一学期高三年级（上）数学十一月第一次测试班级__________________学号__________________姓名__________________一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合，，则__________.2.不等式的解集为__________.3.直线的倾斜角为__________.4.已知函数为奇函数，则__________.5.在的二项展开式中，项的系数为__________.6.方程的解集为_________.7.从名数学老师中选出人安排在天的假期中值班，每天有且只有一人值班，若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为__________.8.已知，其中为虚数单位，为正整数，当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为__________.9.已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则__________.10.如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）．11.已知，若存在、，且，使得成立，则正实数的取值范围是____________.12.已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为______.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．14．已知向量，，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．以上都不对A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点，使得D．直线与直线所成的角可能为16．在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（

）A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立C．（1）成立，（2）不成立 D．（1）不成立，（2）成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，.（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解.19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）19.我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：（1）估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分；（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设双曲线的方程为(常数.(1)若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角；(2)设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标；(3)设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数，若点是函数图像的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，