第01讲导数的概念及其意义导数的运算（复习讲义）（原卷版）

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1平均变化率 3知识点2导数的概念 4知识点3导数的几何意义 4知识点4基本初等函数的导数公式 5知识点5导数的运算法则 5知识点6曲线的切线问题 6题型破译 6题型1导数的概念 6题型2导数的运算 7题型3在点P处的切线 8【方法技巧】“在”型切线求解步骤题型4过点P处的切线 9【方法技巧】“过”型切线求解步骤题型5已知切线或切点求参数 10题型6公切线问题 10【方法技巧】公切线求解关键点题型7已知切线条数求参数 11【方法技巧】已知切线求参数关键求解点题型8距离最值转化为相切问题 11【方法技巧】平移切线法题型9奇偶函数切线问题 1204真题溯源·考向感知 1305课本典例·高考素材 13考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）导数的定义（2）导数的运算（3）导数的几何意义单选题多选题填空题解答题全国一卷T12（5分）天津卷T20（1）（4分）全国甲卷（理）T6（5分）全国II卷T16（1）（5分）全国I卷T13（5分）天津卷T20（1）（4分）全国乙卷（文）T20（1）（5分）全国甲卷（文）T8（5分）全国乙卷（理）T21（1）（4分）天津卷T20（1）（4分）考情分析：高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主，也涉及到公切线问题．复习目标：（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识点1平均变化率1．变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.2．平均变化率3．如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：自主检测函数f(x)=x2在区间1,3上的平均变化率为（A．6 B．3 C．2 D．4知识点2导数的概念2．定义法求导数步骤：自主检测设函数fx的导函数为f'x，且f'xA．1 B．4 C．3 D．2知识点3导数的几何意义自主检测若曲线y=x2−lnxA．1 B．−1 C．22 D．知识点4基本初等函数的导数公式基本初等函数导数自主检测已知fx=−1x3A．−3x3 B．3x4 知识点5导数的运算法则自主检测若函数fx=xlnx知识点6曲线的切线问题1．在型求切线方程2．过型求切线方程自主检测已知函数fx=x3−x+1，则fA．4x+y−5=0 B．4x−y−3=0C．2x+y−3=0 D．2x−y−1=0题型1导数的概念例11已知函数fx=log2例12已知函数f(x)=x2+1xA．1 B．12 C．2 【变式训练11】已知f′(x0)=4A．4 B．2 C．8 D．16【变式训练12】设函数fx满足limΔx→0fxA．1 B．2 C．12 【变式训练13】已知函数fx=−12xA．e B．−2 C．−12题型2导数的运算例21求下列函数的导数：(1)y=x(2)y=ln(3)y=cos(4)y=ln例22求下列函数的导数(1)y=−3x(2)y=x⋅(3)y=【变式训练21】求下列函数的导数.(1)y=(2)y=(3)y=【变式训练22】求下列函数的导数：(1)f(2)f(3)y=(4)y=(5)y=x−(6)y=tanx题型3在点P处的切线例31曲线y=sinxcosx−1在点A．x−2y+2=0 B．x+2y−2=0C．x−y−1=0 D．x−y+1=0例32曲线y=ex+1x+2在x=0A．y=e4x B．y=3e4x方法技巧（在型切线求解步骤）【变式训练31】（2025·湖南长沙·模拟预测）函数fx=23x【变式训练32·变考法】已知函数f(x)=x2−3x,x∈0,22fx−2,x∈A．8x+y−40=0 B．2x+y−10=0C．2x−y−10=0 D．2x+y−2=0【变式训练33·变考法】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数fx=sinx+f′0题型4过点P处的切线例41过点0,−4作函数fx=x−4A．y=5x−4 B．y=4x−4C．y=3x−4 D．y=2x−4例42已知fx=x2−2x+3，则过点A方法技巧“过”型切线求解步骤【变式训练41】（多选）过点0,1向曲线y=x3−3A．4x−15y+15=0 B．3x+y−1=0C．x+3y−3=0 D．15x−4y+4=0【变式训练42】已知曲线y=2ex，过点0,2作切线l，则l的方程为【变式训练43·变题型】若曲线y=x+aex存在过原点的切线，则实数a题型5已知切线或切点求参数例51若曲线fx=x2−32alnA．3 B．5 C．2 D．1例52（2025·河南郑州·三模）若直线y=x为曲线y=eax+b的一条切线，则ba【变式训练51】函数f(x)=ex+ax在x=0处的切线与直线3x−2y−5=0平行，则实数a=A．−1 B．1 C．12 D．【变式训练52】设曲线y=eax在点0,1处的切线斜率为2，则a的值是（A．12 B．−12 C．2【变式训练53】（2025·河北张家口·三模）已知曲线C:y=2a+lnxe−x在x=1处的切线与y题型6公切线问题例61若直线l是曲线y=lnx−1与y=ln(x−1)的公切线，则直线例62（2025·辽宁·模拟预测）曲线y=ex与曲线y=2方法技巧公切线求解关键点公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．【变式训练61·变考法】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线y=lnx在x=1处的切线与曲线y=ex【变式训练62·变考法】已知曲线fx=lnx+1与g【变式训练63·变考法】（2025·辽宁·二模）若曲线f(x)=x与曲线g(x)=a+lnx存在公切线，则a题型7已知切线条数求参数例71．过点Pt,−2t作曲线y=−2x3的切线，若切线有3条，则tA．−∞,−1∪1,+∞B．−1,1 例72若过点(1,m)可以作曲线y=x−2xx>0方法技巧已知切线求参数关键点【变式训练71】过点1,0可以做三条直线与曲线f(x)=xex−t相切，则实数tA．−5e2,0 B．−5e【变式训练72】已知过点Pt,t与曲线fx=x(1+ln【变式训练73】已知fx=ax2+x+1ex.若题型8距离最值转化为相切问题例81点A是曲线y=32x2−lnxA．510 B．55 C．35例82（2025·陕西西安·二模）若M是曲线f(x)=2x2−lnx上任意一点，则点M方法技巧平移切线法利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.【变式训练81】已知P是曲线y=lnx上的一个动点，则点P到直线x−y+2=0的最小距离为【变式训练82·变考法】1．已知lnx1−A．M的最大值为255 B．MC．M的最小值为45 D．M的最小值为题型9奇偶函数切线问题例91已知偶函数fx的定义域为R，且当x<0时，fx=ln−3x+1A．14+e B．12+e C．例92已知fx是定义在R上的奇函数，若x>0时，fx=2lnx+2，则曲线y=f【变式训练91】已知函数fx的定义域为R，fx是偶函数，当x<0时，fx=ln1−2x，则曲线A．25 B．−25 C．2【变式训练92】已知fx为奇函数，当x＜0时，fx=−x2，则曲线y=fA．－2 B．2 C．－e D．e【变式训练93】已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x<0时，f(x)=ln(1−3x)，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数fx=ex+2sinx1+xA．16 B．13 C．122．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线y=exx+1在点1,A．y