专题37抛物线的标准方程和性质（举一反三讲义）数学人教A版选择性（原卷版）

专题3.7抛物线的标准方程和性质（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【题型1抛物线的定义及辨析】 1【题型2求抛物线的轨迹方程】 3【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】 3【题型4求抛物线的标准方程】 3【题型5根据抛物线的方程求参数】 4【题型6求抛物线上的点到定点的距离最值】 4【题型7抛物线上距离的和、差最值问题】 5【题型8判断抛物线的开口方向】 5【题型9抛物线的对称性及其应用】 8【题型10抛物线的实际应用问题】 8知识点1抛物线的标准方程1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.4．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【题型1抛物线的定义及辨析】【例1】（2425高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是4，则点P到y轴的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式11】（2425高二上·福建南平·期末）已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，若C上的点Mx0,5与焦点F的距离为3pA．1 B．2 C．3 D．4【变式12】（2425高二上·江西九江·期末）已知抛物线y2=2pxp>0上一点M2,yA．12 B．2 C．3 【变式13】（2425高二上·四川凉山·期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，若抛物线上一点M到直线x=−2的距离为5，则MF=（

A．3 B．4 C．5 D．6【题型2求抛物线的轨迹方程】【例2】（2425高二上·福建福州·阶段练习）已知动点P到点F2,0的距离比它到直线x=−1的距离大1，则动点P的轨迹方程为（

）A．y2=4x B．y2=−4x C．【变式21】（2425高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足5(x−2)2+(y−1)2A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式22】（2425高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=−1的距离比它到定点3,0的距离小2，则点P的轨迹方程为（

A．y2=6x B．y2=12x C．【变式23】（2425高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)A．x2=−12y B．x2=12y C．y【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2526高二上·全国·单元测试）抛物线x=−14y2A．x=−1 B．x=1 C．y=−1 D．y=1【变式31】（2025·上海徐汇·一模）下列抛物线中，焦点坐标为0,18的是（A．y2=12x B．y2【变式32】（2425高二下·广西南宁·开学考试）已知抛物线C的方程为x2+8y=0，则抛物线的焦点坐标为（A．−2,0 B．−4,0 C．0,−2 D．0,−4【变式33】（2425高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为y=4x2，则抛物线的准线方程为（A．y=−116 B．y=18 C．【题型4求抛物线的标准方程】【例4】（2425高二上·湖南·期末）若抛物线y2=2pxp>0上一点P6,A．y2=16x B．y2=12x C．【变式41】（2425高二上·重庆·期末）若抛物线C:y=mx2(m>0)过点(2,1)A．y=−1 B．y=−116 C．x=−1 【变式42】（2425高二下·陕西西安·期中）抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（A．x2=12y B．x2=10y C．【变式43】（2425高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，点Mx0,4在C上，且MFA．y2=4x B．y2=8x C．【题型5根据抛物线的方程求参数】【例5】（2425高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线C:x2=4y上一点P(m,1)，则m=A．m=±2 B．m=−2 C．m=2 D．m=【变式51】（2526高二上·全国·单元测试）抛物线y=mx2(m<0)上一点Ax0A．−18 B．−14 C．【变式52】（2425高二上·广东·期末）已知A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为9，到x轴的距离为4，则p=A．4 B．5 C．8 D．10【变式53】（2425高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若△AFB是边长为2的等边三角形，则pA．1 B．3 C．2 D．2【题型6求抛物线上的点到定点的距离最值】【例6】（2425高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线x2=2pyp>0，点A4,4在抛物线上，点B0,3，若PA．8 B．22 C．9 【变式61】（2425高三上·广东·开学考试）设点P为圆(x−3)2+y2=1上的一动点，点Q为抛物线yA．1−22 B．22−1 C．【变式62】（2425高二上·上海闵行·期末）已知抛物线C1:y2=8x，圆C2:x−22+y2=1，若点P、QA．35 B．45 C．34【变式63】（2425高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线C:y=a2x2的焦点为0,2，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A．26 B．5 C．27【题型7抛物线上距离的和、差最值问题】【例7】（2526高二上·全国·单元测试）已知直线l1:3x−4y−6=0和直线l2:y=−2，抛物线x2=4y上一动点P到直线A．2 B．3 C．115 【变式71】（2425高二上·安徽黄山·期末）已知点P是抛物线y=14x2上的动点，定点A1,0，则P到点A的距离与PA．2−1 B．12 C．3−1【变式72】（2425高二上·辽宁·期末）已知抛物线C:32x=y2的焦点为F，点H4,2，P是抛物线C上的一个动点，则PFA．8 B．10 C．12 D．16【变式73】（2425高二上·河南新乡·期末）已知抛物线C:y2=4x的准线为l，直线l′:3x+y+53=0，动点M在C上运动，记点M到直线lA．23 B．33 C．43知识点2抛物线的简单几何性质1．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤02．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【题型8判断抛物线的开口方向】【例8】（2425高二上·江苏扬州·期中）对抛物线y=18x2A．开口向上，焦点为0，2 B．开口向上，焦点为0，C．开口向右，焦点为2，0 D．开口向右，焦点为1【变式81】（2425高二上·陕西榆林·阶段练习）在同一坐标系中，方程y2a2+xA． B．C． D．【变式82】（2425高二上·山东济宁·期中）下列关于抛物线y=2x2的图象描述正确的是（A．开口向上，焦点为0,18 C．开口向上，焦点为0,12 【变式83】（2425高二上·重庆·期末）已知a≠0，则方程ax−yx−ay+aA． B．C． D．【题型9抛物线的对称性及其应用】【例9】（2425高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个等边三角形的边长为（A．83 B．42 C．43【变式91】（2425高二·全国·课后作业）若点(m,n)在抛物线y2=−13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是（A．(−m,−n) B．(m,−n) C．(−m,n) D．(−n,−m)【变式92】（2425高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线C：y=14x2，则过抛物线A．4037 B．4044 C．2019 D．2022【变式93】（2425高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点，若∠OAP=120°，则四边形OAPBA．643 B．64 C．803【题型10抛物线的实际应用问题】【例10】（2425高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（

）A．43m B．45m C．【变式101】（2425高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=1，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则焦点F的坐标为（

A．92,0 B．94,0 C．【变式102】（2425高二上·全国·课后作业）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈